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- 2021-06-16 发布
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数学试卷
试卷满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
2.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲乙丙丁四个社区做分层抽样的调查，驾驶四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人，若在甲乙丙丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A．101 B．808 C．1212 D．2012
3．圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
4.已知直线， ，若，则的值为（ ）
A．8 B．2 C． D．
5.椭圆的短轴长是（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
6.已知集合,在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆的内部的概率为（ )
A. B. C. D.
7.方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（ ）
A. B. C. D.
9.随机抽取一个年份，对鄂州市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率是（ ）
A. B． C． D．
10.已知圆O1： x2＋y2＝1，圆O2： (x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a为（ ）
A. B． C．或 D．或
11.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是（ ）
A. B． C． D．
12.已知抛物线与过抛物线焦点且斜率为1的直线相交于A,B两点，以A,B为切点与抛物线相切的直线PA,PB相交于点P，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）
13.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.
14.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为16，则该圆锥的体积为____________.
15.已知曲线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是____________.
16.设无论取何值，直线恒过定点，已知双曲线（）的左右焦点依次为,且为双曲线右支上任意一点（轴上的点除外），当点运动时，焦点三角形△内切圆圆心始终在直线
上运动，则双曲线的渐近线方程为____________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知直线,不经过第二象限，求的取值范围？
18.（本小题满分12分）已知圆C：（x–1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角是45°时，求弦AB的长．
19.（本小题满分12分）
某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验。
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；并预报当温差为时，种子发芽数.
附：回归直线方程：，其中；
20.（本小题满分12分）已知正方体.
(1)求证:.
(2)求二面角的大小.
21．(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.
(1)求样本容量及样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数；
(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为求这批产品平均每个的利润.．
22．（本小题满分12分）椭圆： 的离心率为，短轴端点与两焦点围成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且过点，为坐标原点，当△为直角三角形，求直线的斜率．
高二数学参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
C
B
B
B
A
A
C
D
D
A
二、 填空题：
13. 0.1 14.
14. 16.
三、 解答题：
17.解：
（1）当直线过一，三，四象限时，
，解得； ……………………………………………5分
（2） 当直线过原点时，
，解得; ……………………………………………7分
（3）当直线斜率不存在时，
，代入满足题意; ……………………………………………9分
综上所述. ……………………………………………10分
18.(1)已知圆的圆心为，
∵直线过点，， ∴，
直线的方程为，
即； ......................................6分
(2)当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离为，
又∵圆的半径为，∴弦的长为． ........................ ........12分
19.解：(Ⅰ)设这五组数据分别记为：
则从中任取两组共有10个结果：分别为，，，；不相邻的结果有：，，
则,……………………………………………………………5分
(Ⅱ)由数据得： ，由公式：，
所以线性回归方程： ,…………………………………………………………10分
所以：当时，，即种子发芽数为32,……………………12分
20.
解：
(1) 连接,
平面是正方形,
,
是正方体，
,
，
. ……………………………………………6分
(2)设正方体棱长为1.作于E,连结DE.
由正方体的性质知，.
所以 为二面角的平面角，且,
所以.
所以二面角的大小为.
(其余方法酌情打分) ……………………………………………12分
21.解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300
设样本容量为n.
∵样本中产品净重小于100克的个数是36. ………………………………….........2分
∴＝0.300，∴n＝120 ………………………………….........3分
.∵样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的频率为(0.05+0.100＋0.150)×2＝0.600 …………………………………….........4分
∴样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数是120×0.600＝72
……………………………………………6分
(2) 产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，
(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750, 0.075×2＝0.150，
……………………………………………8分
∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，
……………………………………………10分
∴这批产品平均每个的利润为×(4×12＋5×90＋6×18)＝5.05(元)
……………………………………………12分
22.（1）由已知，.....................................1分
又，解得，.....................................3分
所以椭圆的方程为； .....................................4分
（2）根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，................5分
联立，消去y得，.....................................6分
，令，解得．........................7分
设、两点的坐标分别为，
ⅰ）当为直角时，
则，.....................................8分
因为为直角，所以，即，.....................................9分
所以，
所以，解得． .....................................10分
ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，
此时， ，所以，即①
又②
将①代入②，消去得，
解得或（舍去），.....................................11分
将代入①，得所以，
经检验，所求值均符合题意.
综上， 的值为和．.....................................12分
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