2019届二轮复习（理）第八章立体几何与空间向量第6节课件（35张）（全国通用） 35页

第 6 节　空间向量及其运算 最新考纲　 1. 了解空间向量的概念 ， 了解空间向量的基本定理及其意义 ， 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 ， 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 . 1. 空间向量的有关概念 知 识 梳 理 名称 定义 空间向量 在空间中， 具有 ______ 和 ______ 的 量 相等向量 方向 ______ 且模 ______ 的 向量 相反向量 方向 ______ 且模 ______ 的 向量 共线 向量 ( 或平行向量 ) 表示空间向量的有向线段所在的直线 互相 _____ 或 _____ 的 向量 共面向量 平行 于 _________________ 的 向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 同一个平面 2. 空间向量的有关定理 ( 1) 共线向量定理：对空间任意两个向量 a ， b ( b ≠ 0 ) ， a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ ， 使得 ________ . ( 2) 共面向量定理：如果两个向量 a ， b 不共线，那么向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是 存在 ______ 的 有序实数对 ( x ， y ) ，使 p ＝ ________ . ( 3) 空间向量基本定理：如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ， z } ，使得 p ＝ _____________ ， 其中， { a ， b ， c } 叫做空间的一个基底 . a ＝ λ b 唯一 x a ＋ y b ＋ z c x a ＋ y b [0 ， π ] 互相垂直 4. 空间向量的坐标表示及其应用 设 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ). a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 a 1 ＝ λb 1 ， a 2 ＝ λb 2 ， a 3 ＝ λb 3 a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 ＝ 0 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) ( 1) 空间中任意两非零向量 a ， b 共面 .( 　　 ) ( 2) 对任意两个空间向量 a ， b ，若 a·b ＝ 0 ，则 a ⊥ b .( 　　 ) ( 3) 若 { a ， b ， c } 是空间的一个基底，则 a ， b ， c 中至多有一个零向量 .( 　　 ) ( 4) 若 a·b ＜ 0 ，则〈 a ， b 〉是钝角 .( 　　 ) 解析 　 对于 (2) ， 因为 0 与任何向量数量积为 0 ， 所以 (2) 不正确；对于 (3) ， 若 a ， b ， c 中有一个是 0 ， 则 a ， b ， c 共面 ， 所以 (3) 不正确；对于 (4) ， 若〈 a ， b 〉＝π ， 则 a · b <0 ， 故 (4) 不正确 . 答案 　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 诊 断 自 测 2. 若 { a ， b ， c } 为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 ( 　　 ) A. a ， a ＋ b ， a － b B. b ， a ＋ b ， a － b C. c ， a ＋ b ， a － b D. a ＋ b ， a － b ， a ＋ 2 b 解析 　 若 c ， a ＋ b ， a － b 共面 ， 则 c ＝ λ ( a ＋ b ) ＋ m ( a － b ) ＝ ( λ ＋ m ) a ＋ ( λ － m ) b ， 则 a ， b ， c 为共面向量 ， 此与 { a ， b ， c } 为空间向量的一组基底矛盾 ， 故 c ， a ＋ b ， a － b 可构成空间向量的一组基底 . 答案 　 C 4. 已知 a ＝ (2 ， 3 ， 1) ， b ＝ ( － 4 ， 2 ， x ) ，且 a ⊥ b ，则 | b | ＝ ____________. 5. 已知 a ＝ (cos θ ， 1 ， sin θ ) ， b ＝ (sin θ ， 1 ， cos θ ) ，则向量 a ＋ b 与 a － b 的夹角是 ________. 解析　 a ＋ b ＝ (cos θ ＋ sin θ ， 2 ， cos θ ＋ sin θ ) ， a － b ＝ (cos θ － sin θ ， 0 ， sin θ － cos θ ) ， ∴ ( a ＋ b )·( a － b ) ＝ (cos 2 θ － sin 2 θ ) ＋ (sin 2 θ － cos 2 θ ) ＝ 0 ， 规律方法 　 1. 选定空间不共面的三个向量作基向量 ， 这是用向量解决立体几何问题的基本要求 . 用已知基向量表示指定向量时 ， 应结合已知和所求向量观察图形 ， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 ， 然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算 . 2 . 首尾相接的若干向量之和 ， 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 ，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 . 提醒 　 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 . 考点二　共线、共面向量定理的应用 【例 2 】 已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，用向量方法求证： ( 1) E ， F ， G ， H 四点共面； ( 2) BD ∥ 平面 EFGH . 由共面向量定理知 E ， F ， G ， H 四点共面 . 因为 E ， H ， B ， D 四点不共线，所以 EH ∥ BD . 又 EH ⊂ 平面 EFGH ， BD ⊄ 平面 EFGH ， 所以 BD ∥ 平面 EFGH . 【迁移探究 1 】 本例的条件不变，求证： EG ⊥ AB . 【迁移探究 2 】 本例的条件不变，求 EG 的长 . 【迁移探究 3 】 本例的条件不变，求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值 . 【训练 3 】 如图所示 ，四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1 ，且两两夹角为 60 ° . ( 1) 求 AC 1 的长； ( 2) 求证： AC 1 ⊥ BD ； ( 3) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值 .