【数学】甘肃省张掖市临泽一中2019-2020学年高二下学期期中考试（理） 10页

甘肃省张掖市临泽一中2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 测试范围： 选修2-2．‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）‎ A．1 B．‎-1 ‎C． D．‎ ‎2．曲线与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎3．已知复数z满足，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．利用反证法证明“若，则”时，假设正确的是（ ）‎ A．都不为2 B．且都不为2‎ C．不都为2 D．且不都为2‎ ‎5．设，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数等于（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C． D． ‎ ‎7．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．用数学归纳法证明（，）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（ ）‎ A．假设时，命题成立 B．假设（）时，命题成立 C．假设（）时，命题成立 D．假设（）时，命题成立 ‎9．函数的部分图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）‎ A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．一辆汽车沿直线方向行驶，刹车后汽车速度（v的单位：m/s，t的单位：s），则该汽车刹车后至停车时的距离为____________米.‎ ‎14．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则____.‎ ‎15．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式________________________________成立.‎ ‎16．已知函数，若函数有四个零点，则实数的的取值范围是__________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知复数，且为纯虚数．‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若，求复数的模．‎ ‎18．（12分）已知（i为虚数单位），求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）类比，探讨（，为虚数）的性质，求的值.‎ ‎19．（12分）已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且.‎ ‎（1）求的解析式．‎ ‎（2）求曲线与曲线所围成的图形的面积.‎ ‎20．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）‎ ‎21．（12分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.‎ ‎（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？‎ ‎（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.‎ ‎（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）‎ ‎22．（12分）已知函数 ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上无零点，求的最小值.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D D C A B B C D D B B ‎13．18 14． 15．16．.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎∵是纯虚数 ‎∴，且 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）3 （2）—1 （3）‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，，，，‎ ‎.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）由（1）可知，，.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1） （2）9‎ ‎【解析】（1）设，则 所以，.‎ ‎（2）或.‎ ‎.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）当时，，∴ ‎ 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增∴在时取最小值； ‎ ‎（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增,∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：,实数的取值范围为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，‎ 则由， ‎ ‎∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大. ‎ ‎（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.‎ 则.‎ ‎.‎ 则当时，；当时，.‎ ‎∴当x=4时，g(x)取得最大值.‎ 即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）.‎ ‎【解析】（1）当时，，定义域为，‎ 则，‎ 令，得，令，得 的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎ ‎（2）函数在区间上无零点，‎ 在区间上，恒成立或恒成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎①当时，，‎ 在区间上，，‎ 记，‎ 则，‎ 在区间上，，‎ 在区间上，单调递减，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即在区间上恒成立，满足题意；‎ ‎②当时，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.‎ 综上所述，，此时，函数在区间上无零点，的最小值为.‎