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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年度第一学期期中测试
高一数学试卷(西郊中学)
(本试卷满分150分考试时间120分钟)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知全集,,,那么集合是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求解,,,,即可得出答案.
【详解】
故选:D.
【点睛】本题考查了集合的补集,并集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键,属于基础题.
2.设,且,则 ( )
A. B. 10 C. 20 D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】
将指数式化为对数值,然后利用对数运算公式化简,由此求得的值.
【详解】由得,所以,,故选A.
【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化,考查对数运算,属于基础题.
【此处有视频,请去附件查看】
3.若函数满足,则的解析式是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:设
,故选B.
考点:换元法求解析式
4.已知为偶函数,则在区间上为( )
A. 增函数 B. 增函数 C. 先增后减 D. 先减后增
【答案】C
【解析】
试题分析:因为为偶函数,所以,即,
根据对应系数相等可得,,.
函数的图像是开口向下对称轴为轴的抛物线,
所以此函数在上单调递增,在上单调递减.故C正确.
考点:1偶函数;2二次函数的单调性.
【方法点睛】本题重点考查偶函数和二次函数的单调性,难度一般.本题可以根据偶函数的定义由对应系数相等求得的值,也可以根据偶函数图像关于轴对称求得的值,但此方法前须验证时不满足题意.二次函数的单调性由图像的开口方向和对称轴决定,根据这两点即可求得二次函数的单调性.
5.某企业去年销售收入1000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为( )
A. 10% B. 12% C. 20% D. 25%
【答案】D
【解析】
【分析】
欲求税率,只须求出去年的总收入即可,而总收入由两部分构成:去年的利润,广告费超支.根据税率公式计算即得答案.
【详解】由题意得,去年的利润为:
(万元)
广告费超支:(万元)
税率为:
故选:D.
【点睛】根据题意列出利润,广告费超支和税率是解题关键,考查运算求解能力,解决实际问题的能力,属于基础题.
6.已知,则为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据自变量范围代入对应解析式,解得结果.
【详解】
故选:A
【点睛】本题考查分段函数求值,考查基本分析求解能力,属基础题.
7.若,则等于( )
A. 0 B. 2或0 C. 2 D. -2或0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质,可将原方程化为,通过换元法求解的值,即可得到答案.
【详解】
,
令,则
解得:或
或
故选:B.
【点睛】解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键.
8.函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:根据零点存在性定理,因为,所以函数零点在区间(3,4)内,故选择B
考点:零点存在性定理
9.已知,则方程实数根个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 与a无关
【答案】A
【解析】
【分析】
画出和的函数图像,根据图像即可得出交点个数.
【详解】画出和的函数图像
由图像可知两函数图像有两个交点,故方程有两个根.
故选:A.
【点睛】将求解实数根个数转化为求解和的函数交点个数,数形结合是解本题的关键.
10.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又f(7)=6,则f(x)( )
A. 在[-7,0]上是增函数,且最大值是6
B. 在[-7,0]上是减函数,且最大值是6
C. 在[-7,0]上是增函数,且最小值是6
D. 在[-7,0]上是减函数,且最小值是6
【答案】B
【解析】
【详解】
∵函数是偶函数,而且在[0,7]上为增函数,
∴函数在[-7,0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数,右边是减函数,且f(7)=f(-7),
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
11.已知y=f(x)与y=g(x)的图像如下图:
则F(x)=f(x)·g(x)的图像可能是下图中的( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:在时,沿
轴正方向f(x)先为负值后为正值,而g(x)恒为正值,所以F(x)=f(x)·g(x)也必须先为负值,后为正值,可能选项为A,D,同理在时,f(x)先为负值后为正值,而g(x)恒为负值,所以F(x)=f(x)·g(x)也必须先为正值,后为负值,可能选项为A;综上所述,正确选项应该为A.
考点:函数的图象.
【方法点睛】本题主要考查函数的图象,判断函数的大致图像是否正确,主要从以下几点取判断:1、函数的零点(多适用于某函数零点已知);2、函数正负值所对区间(多适用于两函数相乘);3、函数的单调性区间(适合于两函数求和或者求差).本题为f(x)·g(x)所以选用函数正负值所对区间这一方法.
12.若函数f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,是奇函数,则a+b的值是
A. B. 1 C. D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性求得a,b的值,然后计算a+b的值即可.
【详解】偶函数满足,即:,解得:,
奇函数满足,则,解得:,
则.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查奇函数的性质,偶函数的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数的定义域为[0,2],则函数的定义域是_______.
【答案】
【解析】
【详解】由,得0≤x<1,
即定义域是[0,1),故答案为.
14.函数y=lnx的反函数是__________.
【答案】
【解析】
分析】
由函数解得,把与互换即可得出
【详解】 函数
把与互换可得:
原函数的反函数为:
故答案为:
【点睛】在求解反函数时,要先求出原函数的值域,因为原函数的值域是反函数的定义域,这是解本题关键.
15.函数的递增区间是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令,当,是增函数;当,是减函数.对于在定义域上是减函数, 根据复合函数单调性同增异减,即可得出函数的递增区间.
【详解】令
当 是增函数
当 是减函数
对于在定义域上是减函数
根据复合函数单调性同增异减
在上是单调递增.
故答案为:.
【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.
16.函数与函数的图像有四个交点,则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
试题分析:函数的图象如下图所示,结合图象可得:当时,函数与的图象有四个交点,所以实数的取值范围是.
考点:方程根的存性及根的个数的判定.
【方法点晴】本题主要考查了方程根存在性及根的个数的判定,着重考查了一元二次函数的图象与性质,函数与方程关系等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化思想和数形结合思想的应用,本题解答的关键在于作出函数的图象,借助数形结合法求解.属于中档试题.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(1)计算:
(2)解方程
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用指数的运算法则即可得出答案.
(2)将化简为,即可得出答案.
【详解】(1)
(2)由方程 得,
经检验,是原方程的解,故原方程的解为
【点睛】本题考查了指数的运算和求解对数方程.解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键,属于基础题.
18.讨论函数(a>0)在的单调性并证明.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取,且,可通过作差法比较和大小,即可得到单调性
【详解】在函数的定义域内任取,且
则
故
故在上是单调增函数.
【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性.在用定义法证明函数单调时要注意在所给定义内要任取两个自变量,化简表达式, 时单调递增, 时单调递减.
19.已知奇函数.
(1)求实数的值;
(2)做的图象(不必写过程);
(3)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
【答案】(1)2;(2)图象见解析;(3).
【解析】
【分析】
(1)求出当x<0时,函数的解析式,即可求得m的值;
(2)分段作出函数的图象,即可得到y=f(x)的图象;
(3)根据图象,利用函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,建立不等式,即可求a的取值范围.
【详解】(1)设x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=﹣x2﹣2x
∵函数是奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=x2+2x(x<0)
∴m=2;
(2)函数图象如图所示:
(3)要使在区间上单调递增,结合图象可知,﹣1<a﹣2≤1,∴1<a≤3.所以实数a的取值范围是.
【考点】利用奇函数的定义求解析式,从而确定m值;利用函数的单调性确定参数a的取值范围.
【点睛】利用数形结合的方法是解决本题的关键.
20.已知函数的定义域为集合,函数的值域为集合,且,求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【详解】试题分析:根据函数的定义域和指数函数的性质,得到集合,再利用,即可求解实数的取值范围.
试题解析:由题意得
由,得
即,,,得
考点:函数的定义域与值域;集合的运算.
21.已知集合.
(1)若是空集,求的取值范围;
(2)若中只有一个元素,求的值,并把这个元素写出来.
【答案】(1)(2)时,;时,
【解析】
【详解】试题分析:(1)有由是空集,可得方程无解,故,由此解得的取值范围;(2)若中只有一个元素,则或,求出的值,再把的值代入方程,解得的值,即为所求.
试题解析:(1)要使为空集,方程应无实根,应满足解得.
(2)当时,方程为一次方程,有一解;
当,方程为一元二次方程,使集合只有一个元素的条件是,解得,.
∴时,,元素为:
;
时,.元素为:
22.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)−f()<2.
【答案】(1) (2)
【解析】
分析】
(1)令,即可求得.
(2)利用和对,结合单调性即可求出答案.
【详解】(1)
令得: 故:
(2)
化简为:
即
又 可得:
是定义在(0,+∞)上的增函数
则:
解①得
解②得
解③:当得:
得方程的解为:
综上所述,原不等式的解集为 .
【点睛】利用函数单调性解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉"",转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.