2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第3讲　圆的方程 8页

‎[基础题组练]‎ ‎1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1‎ 解析：选A.设圆心为(0，a)，则＝1，‎ 解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.‎ ‎2．(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0‎ C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0‎ 解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.‎ ‎3．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：选D.由题意得即或 故原方程表示两个半圆．‎ ‎4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为(　　)‎ A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0‎ C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0‎ 解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.‎ 法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，‎ 解方程组，得或(舍去)，即B，因为A(8，0)，所以k AB＝＝－，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.‎ ‎5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|＋|的最大值为(　　)‎ A.＋2 B．＋4‎ C．2＋4 D．2＋2‎ 解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则＋＝2，|＋|＝|2|，||的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝＝，所以d＋r＝＋2.‎ 所以|2|的最大值为2＋4.故选C.‎ ‎6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．‎ 解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为.因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为×＝3.‎ 答案：3‎ ‎7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．‎ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，‎ 解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎8．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．‎ 解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，‎ 所以圆心为C(0，4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2‎ ‎9．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．‎ 解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，‎ 所以设所求圆的圆心为(3a，a)，‎ 又所求圆与y轴相切，‎ 所以半径r＝3|a|，‎ 又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，‎ 所以d2＋()2＝r2，‎ 即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.‎ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ 法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，‎ 所以r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.　①‎ 由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2，　②‎ 又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，‎ 所以a－3b＝0，　③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ 法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为，‎ 半径r＝.‎ 在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.‎ 由于所求圆与y轴相切，‎ 所以Δ＝0，则E2＝4F.　①‎ 圆心到直线y＝x的距离为d＝，‎ 由已知得d2＋()2＝r2，‎ 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．　②‎ 又圆心在直线x－3y＝0上，‎ 所以D－3E＝0.　③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ 答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0‎ ‎10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ 的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0‎ C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0‎ 解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．‎ 因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，‎ 所以|PO|2＋r2＝|PC|2，‎ 所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，‎ 即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.‎ ‎2．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A.－2 B． C.－2 D．－2‎ 解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.故选C.‎ ‎3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．‎ 解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ 则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，‎ 所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，‎ 所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2.‎ 答案：5－2 ‎4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．‎ 解析：由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．‎ 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ 设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①‎ 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，‎ 所以(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得或 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．‎ 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ 答案：x＋y－3＝0　(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40‎ ‎5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.‎ ‎(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．‎ 解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x ‎－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.‎ ‎(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．‎ 解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.‎ 设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.‎ 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.‎ 由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，‎ 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，‎ 故所求圆的方程为＋y2＝.‎ ‎(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，‎ 将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，‎ 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，‎ 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.‎ 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.‎