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  • 2021-06-16 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第九章 第3讲 圆的方程

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‎[基础题组练]‎ ‎1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(  )‎ A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1‎ C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1‎ 解析:选A.设圆心为(0,a),则=1,‎ 解得a=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A.‎ ‎2.(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为(  )‎ A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0‎ C.x2+y2-4x=0 D.x2+y2+2x-3=0‎ 解析:选C.由题意设所求圆的方程为(x-m)2+y2=4(m>0),则=2,解得m=2或m=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.故选C.‎ ‎3.方程|x|-1=所表示的曲线是(  )‎ A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 解析:选D.由题意得即或 故原方程表示两个半圆.‎ ‎4.(一题多解)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(8,0),以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交点为B,则直线AB的方程为(  )‎ A.x+2y-8=0 B.x-2y-8=0‎ C.2x+y-16=0 D.2x-y-16=0‎ 解析:选A.法一:如图,由题意知OB⊥AB,因为直线OB的方程为y=2x,所以直线AB的斜率为-,因为A(8,0),所以直线AB的方程为y-0=-(x-8),即x+2y-8=0,故选A.‎ 法二:依题意,以OA为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=16,‎ 解方程组,得或(舍去),即B,因为A(8,0),所以k AB==-,所以直线AB的方程为y-0=-(x-8),即x+2y-8=0,故选A.‎ ‎5.(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则|+|的最大值为(  )‎ A.+2 B.+4‎ C.2+4 D.2+2‎ 解析:选C.取AB的中点D(2,-3),则+=2,|+|=|2|,||的最大值为圆心C(1,2)与D(2,-3)的距离d再加半径r,又d==,所以d+r=+2.‎ 所以|2|的最大值为2+4.故选C.‎ ‎6.点M,N是圆x2+y2+kx+2y-4=0上的不同两点,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的半径为________.‎ 解析:圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为.因为点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,所以直线x-y+1=0经过圆心,即-+1+1=0,k=4.所以圆的方程为x2+y2+4x+2y-4=0,圆的半径为×=3.‎ 答案:3‎ ‎7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________________.‎ 解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,‎ 解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|==3,‎ 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.‎ 答案:(x-2)2+y2=9‎ ‎8.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为________________.‎ 解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,‎ 所以圆心为C(0,4),半径为4.‎ 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).‎ 由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.‎ 即(x-1)2+(y-3)2=2.‎ 由于点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.‎ 答案:(x-1)2+(y-3)2=2‎ ‎9.(一题多解)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为________.‎ 解析:法一:因为所求圆的圆心在直线x-3y=0上,‎ 所以设所求圆的圆心为(3a,a),‎ 又所求圆与y轴相切,‎ 所以半径r=3|a|,‎ 又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=,‎ 所以d2+()2=r2,‎ 即2a2+7=9a2,所以a=±1.‎ 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.‎ 法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,‎ 则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,‎ 所以r2=+7,即2r2=(a-b)2+14. ①‎ 由于所求圆与y轴相切,所以r2=a2, ②‎ 又因为所求圆的圆心在直线x-3y=0上,‎ 所以a-3b=0, ③‎ 联立①②③,解得或 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.‎ 法三:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心的坐标为,‎ 半径r=.‎ 在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.‎ 由于所求圆与y轴相切,‎ 所以Δ=0,则E2=4F. ①‎ 圆心到直线y=x的距离为d=,‎ 由已知得d2+()2=r2,‎ 即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F). ②‎ 又圆心在直线x-3y=0上,‎ 所以D-3E=0. ③‎ 联立①②③,解得或 故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.‎ 答案:x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0‎ ‎10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.‎ 由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ 的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为(  )‎ A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0‎ C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0‎ 解析:选D.由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.‎ 因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,‎ 所以|PO|2+r2=|PC|2,‎ 所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,‎ 即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.‎ ‎2.设点P是函数y=-的图象上的任意一点,点Q(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为(  )‎ A.-2 B. C.-2 D.-2‎ 解析:选C.如图所示,点P在半圆C(实线部分)上,且由题意知,C(1,0),点Q在直线l:x-2y-6=0上.过圆心C作直线l的垂线,垂足为点A,则|CA|=,|PQ|min=|CA|-2=-2.故选C.‎ ‎3.(2020·福建厦门一模)在△ABC中,AB=4,AC=2,A=,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则·的最小值为________.‎ 解析:如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.‎ 则A(0,0),B(4,0),C(1,),设P(x,y),则=(4-x,-y),=(1-x,-y),‎ 所以·=(4-x)(1-x)-y(-y)=x2-5x+y2-y+4=+-3,其中+表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min=|AM|-1=-1=-1,‎ 所以(·)min=(-1)2-3=5-2.‎ 答案:5-2 ‎4.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.则直线CD的方程为________,圆P的方程为________.‎ 解析:由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).‎ 则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.‎ 设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.①‎ 又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,‎ 所以(a+1)2+b2=40.②‎ 由①②解得或 所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).‎ 所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.‎ 答案:x+y-3=0 (x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40‎ ‎5.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.‎ ‎(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.‎ 解:(1)由D2+E2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x+2y-4=0得x=4-2y;将x=4-2y代入x2+y2-2x ‎-4y+m=0得5y2-16y+8+m=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为OM⊥ON,所以·=-1,即x1x2+y1y2=0.因为x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2,所以x1x2+y1y2=16-8(y1+y2)+5y1y2=0,即(8+m)-8×+16=0,解得m=.‎ ‎(3)设圆心C的坐标为(a,b),则a=(x1+x2)=,b=(y1+y2)=,半径r=|OC|=,所以所求圆的方程为+=.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.‎ 解:由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.‎ 设A(x1,0),B(x2,0),则可得Δ=m2-8m>0,x1+x2=m,x1x2=2m.‎ 令x=0,得y=2m,即C(0,2m).‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-.‎ 由Δ>0得m<0或m>8,所以m=-,‎ 此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,半径r=|CM|=,‎ 故所求圆的方程为+y2=.‎ ‎(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,‎ 将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,‎ 所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,‎ 整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.‎ 令可得或 故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.‎

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