2019届二轮复习基本不等式及其应用课件（72张）（全国通用） 72页

§ 7.3 　基本不等式及其应用 第七章　 不等式 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 1. 探索并了解基本不等式的证明过程 . 2 . 会用基本不等式解决简单的最大 ( 小 ) 值问题 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 ZHISHISHULI (1) 基本不等式成立的条件 ： . (2) 等号成立的条件： 当且仅当 时 取等号 . 2. 几个重要的不等式 (1) a 2 ＋ b 2 ≥ ( a ， b ∈ R ). a >0 ， b >0 a ＝ b 2 ab 2 以上不等式等号成立的条件均为 a ＝ b . 3. 算术平均数与几何平均数 设 a >0 ， b >0 ， 则 a ， b 的算术平均数 为 ， 几何平均数为 ， 基本 不等式 可 叙述 为 两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 4. 利用基本不等式求最值问题 已知 x >0 ， y >0 ， 则 (1) 如果积 xy 是定值 p ， 那么当且仅当 时 ， x ＋ y 有 最 值 .( 简记：积 定 和 最小 ) (2) 如果和 x ＋ y 是定值 p ， 那么当且仅当 时 ， xy 有 最 值 .( 简记：和定 积 最大 ) x ＝ y x ＝ y 小 大 1. 若两个正数的和为定 值 ， 则 这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示　 不一定 . 若这两个正数能 相等 ， 则 这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不 相等 ， 则 这两个正数的积无最大值 . 【 概念方法微思考 】 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 (3)( a ＋ b ) 2 ≥ 4 ab ( a ， b ∈ R ).( 　　 ) × × √ × × √ 1 2 3 4 5 6 (6) 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 .( 　　 ) 题组二　教材改编 2 . 设 x >0 ， y >0 ， 且 x ＋ y ＝ 18 ， 则 xy 的最大值 为 A.80 B.77 C.81 D.82 √ 1 2 3 4 5 6 3 . 若 把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形 场地 ， 则 矩形场地的最大面积是 ___ m 2 . 1 2 3 4 5 6 解析　 设矩形的一边为 x m ， 面积 为 y m 2 ， 当且仅当 x ＝ 10 － x ， 即 x ＝ 5 时 ， y max ＝ 25. 25 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 题组三　易错自纠 √ 1 2 3 4 5 6 即当 f ( x ) 取得最小值 时 ， x ＝ 3 ， 即 a ＝ 3 ， 故 选 C. √ 6. 若正数 x ， y 满足 3 x ＋ y ＝ 5 xy ， 则 4 x ＋ 3 y 的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 3 4 5 6 √ 1 2 3 4 5 6 故 4 x ＋ 3 y 的最小值为 5. 故选 D. 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　利用基本不等式求最值 命题点 1 　配凑法 例 1 　 (1) 已知 0< x <1 ， 则 x (4 － 3 x ) 取得最大值时 x 的值为 ___. 多维探究 解析　 ∵ x >1 ， ∴ x － 1>0 ， 命题点 2 　常数代换法 √ 解析　 由题意可 得 ， a 1 ＝ q ， ∴ a 1 · q m － 1 ·( a 1 · q n － 1 ) 2 ＝ ( a 1 · q 3 ) 2 ， 即 q m · q 2 n ＝ q 8 ， 即 m ＋ 2 n ＝ 8. 当且仅当 m ＝ 2 n 时 ， 即 m ＝ 4 ， n ＝ 2 时 ， 等号 成立 . 命题点 3 　消元法 √ 解析　 ∵ a 2 － b ＋ 4 ≤ 0 ， ∴ b ≥ a 2 ＋ 4 ， ∴ a ＋ b ≥ a 2 ＋ a ＋ 4. 当且仅当 a ＝ 2 ， b ＝ 8 时取等号 . 故选 B. (1) 前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”. (2) 要根据式子的特征灵活 变形 ， 配 凑出积、和为常数的 形式 ， 然后 再利用基本不等式 . (3) 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活 变形 ， 利用 常数 “ 1 ” 代换的方法；三是配凑法 . 思维升华 A.8 B.9 C.12 D.16 √ 当且仅当 a ＋ 1 ＝ 2( b ＋ c ) ， 即 a ＝ 1 ， b ＋ c ＝ 1 时 ， 等号 成立 . 故选 B. A.2 B.3 C.4 D.6 √ 解析 　 ∵ a ， b ， c 都是 正数 ， 且 a ＋ b ＋ c ＝ 2 ， ∴ a ＋ b ＋ c ＋ 1 ＝ 3 ， 且 a ＋ 1>0 ， b ＋ c >0. 题型二　基本不等式的综合应用 多维探究 命题点 1 　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 √ 解析　 根据题意，结合向量数量积的定义式， 即 a 2 ＋ b 2 ＝ 9 ，结合基本不等式， 命题点 2 　求参数值或取值范围 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 即正实数 a 的最小值为 4 ， 故 选 B. 求参数的值或范围：观察题目 特点 ， 利用 基本不等式确定相关成立 条件 ， 从而 得参数的值或范围 . 思维升华 √ 解析　 由 △ ABC 的面积为 2 ， 当且仅当 b ＝ 2 ， c ＝ 4 时 ， 等号成立 ， 故 选 C. √ 解析　 由函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ， 得 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b ， 由函数 f ( x ) 的图象在点 ( 1 ， f (1 )) 处的切线斜率为 2 ， 所以 f ′ (1) ＝ 2 a ＋ b ＝ 2 ， 数学建模是对现实问题进行数学 抽象 ， 用 数学的语言表达 问题 ， 用 数学的方法构建模型解决问题 . 过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进 模型 ， 最终 解决实际问题 . 核心素养之数学建模 HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO 利用基本不等式求解实际问题 例 　 某 厂家拟在 2019 年举行促销 活动 ， 经 调查 测算 ， 该 产品的年销售量 ( 即该厂的年产量 ) x 万件与年促销费用 m 万元 ( m ≥ 0) 满足 x ＝ 3 － ( k 为常数 ) ， 如果 不 搞促销 活动 ， 则 该产品的年销售量只能是 1 万件 . 已知 2019 年生产该产品的固定投入为 8 万元 . 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万 元 ， 厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍 ( 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 ). (1) 将 2019 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； 解　 由 题意 知 ， 当 m ＝ 0 时 ， x ＝ 1 ， ∴ 1 ＝ 3 － k ⇒ k ＝ 2 ， (2) 该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元 时 ， 厂家 的利润最大？ ∴ y ≤ － 8 ＋ 29 ＝ 21 ， y max ＝ 21( 万元 ). 故该厂家 2019 年的促销费用投入 3 万元 时 ， 厂家 的利润最大为 21 万元 . 素养提升　 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的 表达式 ， 建立数学模型 ， 再 利用基本不等式求得函数的最值 . 3 课时作业 PART THREE A.3 B.4 C.6 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当 x ＝ ±2 时 ， 等号成立 ， 故 选 B. 基础 保分练 A. x ＝ y B. x ＝ 2 y C. x ＝ 2 且 y ＝ 1 D. x ＝ y 或 y ＝ 1 解析　 ∵ x >0 ， y >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题意 知 ， 正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1 ， 4. 若 a >0 ， b >0 ， lg a ＋ lg b ＝ lg( a ＋ b ) ， 则 a ＋ b 的最小值为 A.8 B.6 C.4 D.2 解析　 由 lg a ＋ lg b ＝ lg( a ＋ b ) ， 得 lg( ab ) ＝ lg( a ＋ b ) ， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当 a ＝ b ＝ 2 时等号 成立 ， 所以 a ＋ b 的最小值为 4 ， 故 选 C. 5. 已知函数 f ( x ) ＝ e x 在点 ( 0 ， f (0 )) 处的切线为 l ， 动 点 ( a ， b ) 在直线 l 上 ， 则 2 a ＋ 2 － b 的 最小值是 A.4 B.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题意得 f ′ ( x ) ＝ e x ， f (0 ) ＝ e 0 ＝ 1 ， k ＝ f ′ (0) ＝ e 0 ＝ 1 . 所以 切线方程为 y － 1 ＝ x － 0 ， 即 x － y ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ a － b ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ a － b ＝－ 1 ， √ 6. 《几何原本》卷 2 的几何代数法 ( 以几何方法研究代数问题 ) 成了后世西方数学家处理问题的重要 依据 ， 通过 这一 原理 ， 很多 的代数的公理或定理都能够通过图形实现 证明 ， 也 称之为无字证明 . 现有如图所示 图形 ， 点 F 在半圆 O 上 ， 点 C 在直径 AB 上 ， 且 OF ⊥ AB ， 设 AC ＝ a ， BC ＝ b ， 则 该图形可以完成的无字证明为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 设 x ， y 均为 正数 ， 且 xy ＋ x － y － 10 ＝ 0 ， 则 x ＋ y 的最小值是 ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 解析　 设正项等比数列 { a n } 的公比为 q ( q >0 ) ， ∵ S 7 － S 5 ＝ a 7 ＋ a 6 ＝ 3( a 4 ＋ a 5 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题意得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － bc ， ∴ a 2 ≥ 2 bc － bc ＝ bc ＝ 3( 当且仅当 b ＝ c 时 ， 等号 成立 ) ， 解析　 由题意得 ( a － b ) 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 4 ab ， 代入已知得 ( a ＋ b ) 2 ＝ 4( ab ) 3 ＋ 4 ab ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当 ab ＝ 1 时取等号 . 11. 已知 x >0 ， y >0 ， 且 2 x ＋ 5 y ＝ 20. (1) 求 u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 ∵ x >0 ， y >0 ， 当且仅当 2 x ＝ 5 y 时 ， 等号 成立 . 此时 xy 有最大值 10. ∴ u ＝ lg x ＋ lg y ＝ lg( xy ) ≤ lg 10 ＝ 1. ∴ 当 x ＝ 5 ， y ＝ 2 时 ， u ＝ lg x ＋ lg y 有最大值 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 ∵ x >0 ， y >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 某人准备在一块占地面积为 1 800 平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大 棚 ， 大 棚周围均是宽为 1 米的小路 ( 如图所示 ) ， 大 棚占地面积为 S 平方米 ， 其中 a ∶ b ＝ 1 ∶ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) 试用 x ， y 表示 S ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 由 题意可得 xy ＝ 1 800 ， b ＝ 2 a ， 则 y ＝ a ＋ b ＋ 3 ＝ 3 a ＋ 3 ， (2) 若要使 S 的值 最大 ， 则 x ， y 的值各为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝ 1 808 － 240 ＝ 1 568 ， 即 x ＝ 40 时等号 成立 ， S 取得最大 值 ， 所以当 x ＝ 40 ， y ＝ 45 时 ， S 取得最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 则 x ＝ 40 ， 当 0< x <40 时 ， f ′ ( x )>0 ； 当 x >40 时 ， f ′ ( x )<0. 所以当 x ＝ 40 时 ， S 取得最大 值 ， 此时 y ＝ 45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ (2 a － c )cos B ＝ b cos C ， 由正弦定理得 (2sin A － sin C )cos B ＝ sin B cos C ， ∴ 2sin A cos B ＝ sin C cos B ＋ sin B cos C ＝ sin( B ＋ C ) ＝ sin A . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝ a 2 ＋ c 2 － ac ≥ 2 ac － ac ＝ ac ， ∴ ac ≤ 16 ， 当且仅当 a ＝ c 时等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ B ， D ， E ， C 共线， ∴ m ＋ n ＝ 1 ， λ ＋ μ ＝ 1 ， 则 x ＋ y ＝ m ＋ n ＋ λ ＋ μ ＝ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 当 q ＝ 1 时， a p ＋ 1 ＝ a p · a 1 ＝ 2 a p ， ∴ 数列 { a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， ∴ S n － 1 ＝ 2 n － 2 ， S n － 1 ·( S n － 1 ＋ 2) ＝ (2 n － 2)·2 n ， 当且仅当 2 n ＝ 16 ，即 n ＝ 4 时，等号成立， f ( n ) min ＝ 30.