【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-5-1简单的三角恒等变换学案 15页

‎§4.5　简单的三角恒等变换 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ ‎4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.‎ ‎1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))‎ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝(T(α－β))‎ tan(α＋β)＝(T(α＋β))‎ ‎2．倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3.半角公式 cos ＝±， ‎ sin ＝±， ‎ tan ＝±， ‎ 概念方法微思考 ‎1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？‎ 提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．‎ ‎2．怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？‎ 提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)‎ ‎(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)‎ ‎(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　∵α是第三象限角，‎ ‎∴sin α＝－＝－，‎ ‎∴sin＝－×＋×＝－.‎ ‎3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .‎ 答案　 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ ‎4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .‎ 答案　 解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，‎ ‎∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)‎ ‎＝－tan 10°tan 50°，‎ ‎∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．化简：＝ .‎ 答案　 解析　原式＝ ‎＝＝＝.‎ ‎6．(2018·抚顺模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .‎ 答案　－ 解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①‎ θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，‎ 可求得sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴sin θ＝，cos θ＝，‎ ‎∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.‎ 方法二　∵θ∈且sin＝，‎ ‎∴cos＝，‎ ‎∴tan＝＝，∴tan θ＝.‎ 故tan 2θ＝＝－.‎ ‎7．化简：＝ .‎ 答案　4sin α 解析　＝＝＝4sin α.‎ 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　和差公式的直接应用 ‎1．(2018·呼和浩特质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.‎ ‎2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　D 解析　∵tan＝，tan＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝tan ‎＝＝＝1.‎ ‎3．(2018·辽阳调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，‎ 又tan β＝－，‎ ‎∴tan(α－β)＝＝＝－.‎ ‎4．计算的值为 ．‎ 答案　 解析　＝ ‎＝＝＝.‎ 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ 题型二　和差公式的灵活应用 命题点1　角的变换 例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .‎ 答案　 解析　依题意得sin α＝＝，‎ 因为sin(α＋β)＝α，‎ 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　因为α为锐角，且cos＝，‎ 所以sin＝＝，‎ 所以sin＝sin 2 ‎＝2sincos＝2××＝，故选B.‎ 命题点2　三角函数式的变换 例2 (1)化简： (0<θ<π)；‎ ‎(2)求值：－sin 10°.‎ 解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，‎ ‎∴＝＝2cos .‎ 又(1＋sin θ＋cos θ) ‎＝ ‎＝2cos ‎＝－2cos cos θ，‎ 故原式＝＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝－sin 10° ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 引申探究 化简： (0<θ<π)．‎ 解　∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin ，‎ 又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2 ‎＝2sin ，‎ ‎∴原式＝ ‎＝－cos θ.‎ 命题点3　公式的逆用与变形 例3 (1)已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .‎ 答案　－ 解析　∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，‎ ‎∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，‎ 即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①‎ sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②‎ ‎①＋②得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.‎ ‎(2)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．‎ 答案　－ 解析　∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.‎ 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．‎ ‎(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．‎ 跟踪训练　(1)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________．‎ 答案　 解析　cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，‎ ‎∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.‎ ‎(2)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .‎ 答案　 解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝×－×＝.‎ ‎(3)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .‎ 答案　± 解析　由sin x＋cos x＝，得2sin＝，‎ 即sin＝，所以cos＝±，‎ 所以tan＝±，‎ 即tan＝tan＝±.‎ 用联系的观点进行三角变换 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．‎ 例 (1)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．‎ 答案　 解析　∵α为锐角且cos＝>0，‎ ‎∴α＋∈，∴sin＝.‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin 2cos －cos 2sin ‎＝sincos－ ‎＝××－ ‎＝－＝.‎ ‎(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．‎ 答案　2‎ 解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋1＝2.‎ ‎(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .‎ 答案　－ 解析　＝ ‎＝cos α－sin α，‎ ‎∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，∴原式＝－.‎ ‎1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ ‎2．若cos θ＝，θ为第四象限角，则cos的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由cos θ＝，θ为第四象限角，得sin θ＝－，‎ 故cos＝(cos θ－sin θ)＝×＝.故选B.‎ ‎3．(2018·包头模拟)若sin α＝，则sin－cos α等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝×＝.‎ ‎4．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan等于(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　D 解析　由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝.∴tan 2α＝－，‎ ‎∴tan＝＝ ‎＝－.‎ ‎5．已知α为锐角，若sin＝，则cos等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由于α为锐角，且sin＝，‎ 则cos＝，‎ 则cos＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝，故选A.‎ ‎6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为α∈，所以2α∈(0，π)，‎ 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ 所以sin 2α＝＝，‎ 而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，‎ 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)‎ A．α<<β B．β<<α C.<α<β D.<β<α 答案　B 解析　∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴<α<.‎ 又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，‎ ‎∴α＋β＝，‎ 又α>，∴β<<α.‎ ‎8．的值是________．‎ 答案　 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎9.＝________.‎ 答案　 解析　＝ ＝＝.‎ ‎10．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.‎ 答案　 解析　由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，‎ 解得sin 2α＝－，‎ 所以sin2＝ ‎＝＝＝.‎ ‎11．化简：·＝________.‎ 答案　 解析　原式＝tan(90°－2α)· ‎＝·· ‎＝··＝.‎ ‎12．(2018·营口模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.‎ 答案　 解析　依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.‎ 又β是第三象限角，所以cos β＝－.‎ 所以sin＝－sin ‎＝－sin βcos －cos βsin ‎＝×＋×＝.‎ ‎13．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由3cos 2α＝sin可得 ‎3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，‎ 又由α∈可知，cos α－sin α≠0，‎ 于是3(cos α＋sin α)＝，‎ 所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故选C.‎ ‎14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．‎ 答案　 解析　因为coscos ‎＝ ‎＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.‎ 所以cos 2θ＝.‎ 故sin4θ＋cos4θ＝2＋2‎ ‎＝＋＝.‎ ‎15．化简：·＝_________________________________.‎ 答案　－4 解析　原式＝·＝· ‎＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.‎ ‎16．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝________.‎ 答案　 解析　由sin ＋cos ＝，平方可得sin α＝.‎ ‎∵α∈，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又∵－<α－β<，sin(α－β)＝－，‎ ‎∴cos(α－β)＝.‎ 故sin β＝sin ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎