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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年吉林省“五地六校”合作高一第一学期期末考试 数学(解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 若集合A={x x2-2x<0}，B={x x ≤1}，则A∩B=( )
A. [-1,0) B. [-1,2) C. (0,1] D. [1,2)
【答案】C
【解析】解：求解二次不等式可得：A={x 020=1，
01(2a-1)x+4a,x≤1是(-∞,+∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A. (0,1) B. (0,12) C. (16,12) D. [16,12)
【答案】D
【解析】解：由f(x)在R上是减函数，
得 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上分别递减，且其图象左高右低．
令2a-1<000)-1x(x<0)，则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的与x轴交点的个数为( )
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】解：因为f(x+2)=f(x)，所以函数y=f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[-1,1]时，f(x)=1-x2，所以作出它的图象，则y=f(x)的图象如图所示：(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)=lgx (x>0)-1x(x<0)的图象，
容易得出到交点为8个．
故选：C．
由f(x+2)=f(x)，知函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的函数，进而根据f(x)=1-x2与函数g(x)=lgx (x>0)-1x(x<0)的图象得到交点为8个．
注意周期函数的一些常见结论：若f(x+a)=f(x)，则周期为a；若f(x+a)=-f(x)，则周期为2a；若f(x+a)=1f(x)，则周期为2a；另外要注意作图要细致．
12. 己知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω≤12,ω∈N*,0<φ<π)，图象关于y轴对称，且在区间[π4,π2]上不单调，则ω的可能值有( )
A. 7个 B. 8个 C. 9 个 D. 10个
【答案】C
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω≤12,ω∈N*,0<φ<π)，图象关于y轴对称，
∴φ=π2，∴f(x)=sin(ωx+π2)=cosωx．
在区间[π4,π2]上不单调，则ω⋅π2>π，
∴ω>2，∴ω=3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10个，
经过检验，ω=4不满足条件，
故满足条件的ω有9个，
故选：C．
先求出φ，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出ω的范围，可得结论．
本题主要考查正弦函数的奇偶性、以及图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 函数y=log12tanx的定义域是______．
【答案】{x kπ0,ω>0, φ <π2)的部分图象如图所示：则函数f(x)的解析式为______．
【答案】f(x)=2sin(π8x+π4)
【解析】解：由图象得到f(x)的最大值为2，周期为16，且过点(2,2)
所以A=2，
又T=2πω=16，
所以ω=π8，
将点(2,2)代入f(x)
， φ <π2．
得到φ=π4，
所以f(x)=2sin(π8x+π4)
故答案为f(x)=2sin(π8x+π4)．
由图象得到f(x)的最大值为2，周期为16，且过点(2,2)，然后利用三角函数的周期公式求出函数的解析式．
本题是基础题，考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．
15. 4cos50∘-tan40∘=______．
【答案】3
【解析】解：4cos50∘-tan40∘=4sin40∘-tan40∘
=4sin40∘cos40∘-sin40∘cos40∘
=2sin80∘-sin(30∘+10∘)cos40∘
=2cos10∘-12cos10∘-32sin10∘cos40∘
=32cos10∘-32sin10∘cos40∘
=3cos(30∘+10∘)cos40∘
=3．
故答案为：3．
表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
16. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60∘，∠BCO=90∘，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为______cm2．
【答案】π4
【解析】解：∵∠BOC=60∘，△B'OC'是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B'OC'=60∘，△BCO=△B'C'O，
∴∠B'OC=60∘，
∠C'B'O=30∘，
∴∠B'OB=120∘，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC'=12，
∴B'C'=32，
∴S扇形B'OB=120π×12360=π3，
S扇形C'OC=120π×14360=π12，
∴阴影部分面积=S扇形B'OB+S△B'C'O-S△BCO-S扇形C'OC=S扇形B'OB-S扇形C'OC=π3-π12=π4；
故答案为：π4．
根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）
17. (1)若sinα-2cosα=0，求sinα+cosαsinα-cosα+cos2α的值．
(2)计算：lg5(lg8+lg1000)+(lg23)2+lg16+lg0.06
【答案】解：(1)∵sinα-2cosα=0，
∴tanα=2．
∴sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=tanα+1tanα-1+11+tan2α=2+12-1+11+22=165；
(2)lg5(lg8+lg1000)+(lg23)2+lg16+lg0.06
=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-2
=3lg5⋅lg2+3lg5+3(lg2)2-2
=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2
=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1．
【解析】(1)利用三角函数基本关系式化弦为切求解即可；
(2)利用对数的运算性质求解即可．
本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数基本关系式的应用，考查了对数的运算性质，是中档题．
18. 已知函数f(x)=cosx(3cosx-sinx)-32.求：
(Ⅰ)函数y=f(x)的对称轴方程；
(Ⅱ)函数y=f(x)在区间[0,π2]上的最值．
【答案】(Ⅰ)f(x)=3cos2x-sinxcosx-32
=3⋅1+cos2x2-12sin2x-32
=32cos2x-12sin2x
=-sin(2x-π3)，
令2x-π3=kπ+π2(k∈Z)，
解得x=kπ2+5π12(k∈Z)，
故y=f(x)的对称轴方程为x=kπ2+5π12(k∈Z)．
(Ⅱ)由0≤x≤π2⇒2x-π3∈[-π3,2π3]，
∴-32≤sin(2x-π3)≤1，
∴-1≤-sin(2x-π3)≤32，
∴ymin=-1，ymax=32．
【解析】(Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换，可求得f(x)=-sin(2x-π3)，利用正弦函数的对称性可求得函数y=f(x)的对称轴方程；
(Ⅱ)0≤x≤π2⇒2x-π3∈[-π3,π3]⇒-32≤sin(2x-π3)≤1，从而可求函数y=f(x)在区间[0,π2]上的最值．
本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的对称性与单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
19. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-x-1；
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间．
【答案】解：(1)设x<0，则-x>0
∴f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1，
又∵函数
f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=-f(-x)=-x2-x+1，
当x=0时，由f(0)=-f(0)，
∴f(0)=0．
故f(x)=x2-x-1x>00x=0-x2-x+1x<0．
(2)由函数图象…(11分)
易得函数的增区间为：(-∞,-12)，(12,+∞)．
【解析】(1)根据函数的奇偶性的性质即可求f(x)的解析式；
(2)利用分段函数作出函数图象即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性的应用以及分段函数图象的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
20. 已知f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x-π3)+2cos2x,x∈R
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调减区间；
(3)若函数g(x)=f(x)-m在区间[-π4,π4]上没有零点，求m的取值范围．
【答案】解：(1)f(x)=12sin2x+32cos2x+12sin2x-32cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π4)+1，
∵ω=2，∴T=π；
(2)由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z得：π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调减区间为[kπ+π8,kπ+5π8]，k∈Z；
(3)作出函数y=f(x)在[-π4,π4]上的图象如下：
函数g(x)无零点，即方程f(x)-m=0无解，
亦即：函数y=f(x)与y=m在x∈[-π4,π4]上无交点从图象可看出f(x)在[-π4,π4]上的值域为[0,2+1]，
则m>2+1或m<0．
【解析】(1)函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值即可求出函数的最小正周期；
(2)根据正弦函数的单调减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k∈Z，求出x的范围即可；
(3)作出函数y=f(x)在[-π4,π4]上的图象，函数g(x)无零点，即方程f(x)-m=0无解，亦即：函数y=f(x)与y=m在x∈[-π4,π4]上无交点从图象可看出f(x)在[-π4,π4]上的值域为[0,2+1]，利用图象即可求出m的范围．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．
21. 如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在AB正前方36m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为45∘．
(1)求建筑物CD的高度；
(2)一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)？
【答案】解：(1)如图，作AE⊥CD于E，则AE//BD．
所以DE=AB=18，AE=BD=36．
因为tan∠DAE=1836=12，
所以tan∠CAE=tan(45∘-∠DAE)=1-tan∠DAE1+tan∠DAE=13．
所以CE=36tan∠CAE=12．
答：建筑物的高度为30米．
(2)设在第n层M
处拍摄效果最佳，则摄影高度为3(n-1)米(如图)
(1≤n≤6,n∈N)．
作MN⊥CD于N，则DN=3(n-1)，
CN=30-3(n-1)=33-3n．
tan∠CMN=CNMN=11-n12，tan∠DMN=DNMN=n-112，tan∠CMD=tan(∠CMN+∠DMN)=tan∠CMN+tan∠DMN1-tan∠CMN⋅tan∠DMN=11-n12+n-1121-11-n12⋅n-112
=120n2-12n+155=120(n-6)2+119≤120119(当n=6时取等号)．
因为函数y=tanx在(0,π2)上
是单调增函数，
所以当n=6时，张角∠CMD最大，
拍摄效果最佳．
答：该人在6层拍摄时效果最好．
【解析】(1)作AE⊥CD于E，则AE//BD.通过求解三角形即可求解建筑物的高度．
(2)设在第n层M处拍摄效果最佳，则摄影高度为3(n-1)米(如图)(1≤n≤6，n∈N).作MN⊥CD于N，则DN=3(n-1)，CN=30-3(n-1)=33-3n.通过tan∠CMN=CNMN=11-n12，tan∠DMN=DNMN=n-112，利用两角和的正切函数以及二次函数的性质，求出最值.然后求拍摄效果最好层数．
本题考查解三角形的实际应用，二次函数的性质两角和与差的三角函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．
22. 设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求 值；
(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)=32，且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2，求m的值．
【答案】解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)=0，…(2分)
∴1-(k-1)=0，∴k=2.…(4分)
(2)∵函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，∴a-1a<0
，又a>0，
∴1>a>0.…(6分)
由于y=ax单调递减，y=a-x单调递增，故f(x)在R上单调递减．
不等式化为f(x2+tx)x-4，即 x2+(t-1)x+4>0恒成立，…(8分)
∴△=(t-1)2-16<0，解得-332，舍去…(17分)
综上可知m=2.…(18分)
【解析】(1)根据奇函数的性质可得f(0)=0，由此求得 值．
(2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)，f(1)<0，求得1>a>0，f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2+tx)0恒成立，由△<0求得t的取值范围．
(3)由f(1)=32求得a的值，可得g(x)的解析式，令t=f(x)=2x-2-x，可知f(x)=2x-2-x为增函数，t≥f(1)，令h(t)=t2-2mt+2，(t≥32)，分类讨论求出h(t)的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．
本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．
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