2020二轮复习(理)　等差数列、等比数列作业 5页

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．[一题多解]已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于(　　)‎ A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3‎ C　[法一：(基本量法)由题设得解得故选C.‎ 法二：(性质法)因为S3＝＝12，所以a1＋a3＝8，所以‎2a2＝8，即a2＝4.又a3＝6，故公差d＝a3－a2＝6－4＝2.故选C.]‎ ‎2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)‎ A．28 B．14‎ C．7 D．2‎ B　[∵{an}是等差数列，∴a3＋a6＝a4＋a5＝a5＋2，‎ ‎∴a4＝2.‎ ‎∴S7＝‎7a4＝7×2＝14.故选B.]‎ ‎3．[易错题]在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的两根，则的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．±2 D．±4‎ A　[∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，‎ ‎∴a‎3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，∴a9＝a3q6＞0.由等比数列的性质知，a‎1a17＝a＝a‎3a15＝8，∴a9＝2，＝2，故选A.]‎ ‎4．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，若S2＝‎3a2＋2，S4＝‎3a4＋2，则a1等于(　　)‎ A．－2 B．－‎1 ‎‎ C. D. B　[S4－S2＝a3＋a4＝‎3a4－‎3a2 ，即‎3a2＋a3－‎2a4＝0，即‎3a2＋a2q－‎2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，当q＝ 时，代入S2＝‎3a2＋2，‎ 得a1＋a1q＝‎3a1q＋2，解得a1＝－1，故选B.]‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a‎6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)‎ A．6 B．7 ‎ C．12 D．13‎ C　[∵a1>0，a‎6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0, a1＋a13＝‎2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]‎ ‎6．[易错题]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝，S3＝，则公比q＝________.‎ ‎1　[(1)当公比q＝1时，S3＝‎3a1＝‎3a2＝，满足题意．‎ ‎(2)当公比q≠1时，由S3＝a1＋a2＋a3＝，可知a1＋a3＝3，∴＋＝3得q＝1(舍去)．‎ 综上可知，q＝1.]‎ ‎7．(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，则m＝________.‎ ‎1 010　[设公差为d，由题知S3＝a5，即‎3a1＋3d＝a1＋4d，又a1＝1，故d＝2，于是an＝1＋2(n－1)＝2n－1，再由‎2m－1＝2 019，得m＝1 010.]‎ ‎8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ ‎8　[∵{an}成等差数列，∴由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，‎ 又a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0，故a8＞0，a9＜0，‎ ‎∴当n＝8时，Sn最大．]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎9．(2019·马鞍山二模)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则Sn与an的关系是(　　)‎ A．Sn＝2an－1 B．Sn＝2an＋1‎ C．Sn＝4an－3 D．Sn＝4an－1‎ A　[设等比数列的公比q(q＞0)，由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，得‎2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2，∴an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，则Sn＝2an－1.故选A.]‎ ‎10．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan＝________.‎ ‎－　[∵{an}是等比数列，{bn}是等差数列，‎ 且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，‎ ‎∴a＝()3,3b6＝7π，‎ ‎∴a6＝，b6＝，‎ ‎∴tan＝tan ‎＝tan＝tan＝－.]‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为________．‎ ‎10或11　[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取最小值．]‎ ‎12．(2019·长春三模)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋2n＋1，b1＝1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解](1)证明：根据题意，数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，‎ 等式两边除以2n＋1得＝＋，‎ 故数列是以＝1为首项，为公差的等差数列．‎ ‎(2)根据题意，由bn＋1＝bn＋2n＋1得bn＋1－bn＝2n＋1，‎ 则bn－bn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，‎ 则bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1‎ ‎＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2.‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 等差数列基本量的运算，等差数列的性质 以等差数列为载体，考查数列中“知三求二”的基本量求法，考查等价转化能力和解方程的意识，具有较好的代表性 ‎2‎ 等比数列的概念，等差(比)数列的前n项和公式 以数列递推关系为载体，考查等差(比)数列的基本概念及判定方法，考查考生的逻辑推理及数学运算能力 ‎【押题1】　正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a3＋a7－a＋15＝0，且Sn＝45，则n＝(　　)‎ A．8　　　　　 B．9‎ C．10 D．11‎ B　[因为{an}是正项等差数列，a3＋a7－a＋15＝0，‎ 所以a－‎2a5－15＝0，解得a5＝5(a5＝－3舍去)．‎ 设{an}的公差为d，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝5，解得d＝1.‎ 所以Sn＝＝＝＝45，即(n＋1)n＝90，进而得n2＋n－90＝(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9(n＝－10舍去)，故选B.]‎ ‎【押题2】　已知数列{an}满足a1＝a,2an－an＋1＝n－1，设bn＝an－n.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(2)若a＝2，求{an}的前n项和Sn.‎ ‎[解](1)根据题意，数列{an}满足2an－an＋1＝n－1，‎ 变形可得2an－2n＝an＋1－(n＋1)，‎ 又由bn＝an－n，则2bn＝bn＋1，‎ 又由a1＝a，则b1＝a－1，‎ 当a≠1时，b1≠0，则数列{bn}为等比数列，‎ 当a＝1时，b1＝0，则数列{bn}不是等比数列．‎ ‎(2)由(1)的结论，a＝2，则b1＝a－1＝1，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 则bn＝1×2n－1＝2n－1，‎ 即an－n＝2n－1，则an＝2n－1＋n，‎ 则Sn＝20＋1＋21＋2＋22＋3＋…＋2n－1＋n ‎＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝2n－1＋.‎