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- 2021-06-16 发布
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四川省宜宾叙州区第二中学2020届第一次高考适应性考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题(60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数z=对应的点位于
A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限
2.已知集合A={x|x(x﹣2)<0},B={y|y=},则A∩B=
A.[1,2) B.(0,2) C.[0,2) D.[0,+∞)
3.已知函数,则=
A. B. C.﹣log32 D.log32
4.α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则α∥β”是“m∥β”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为
A.45 B.60 C.75 D.100
6.已知函数f(x)=(2x+2﹣x)ln|x|的图象大致为
A.B. C.D.
7.为得到函数y=cos(2x+)的图象,只需将y=sin2x的图象
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
8.《九章算术●衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是
A.甲付的税钱最多 B.乙、丙两人付的税钱超过甲
C.乙应出的税钱约为32 D.丙付的税钱最少
9.若,则cos(3﹣2α)=
A. B. C. D.
10.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间[0,+∞)上为增函数,且f()=0,则不等式f(logx)>0的解集为
A.(,2) B.( 2,+∞)
C.( 0,)∪( 2,+∞) D.(,1 )∪( 2,+∞)
11.已知函数f(x)=x2+mx+2,x∈R,若方程f(x)+|x2﹣1|=2在(0,2)上有两个不等实根,则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0),点P(x0,y0)是直线bx﹣ay+4a=0上任意一点,若圆(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是
A.(1,2] B.(1,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞)
第II卷 非选择题(90分)
二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设等差数列的前n项和为,,,则
14.若实数x,y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1,则实数m= .
15.奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1﹣x),当0<x≤1时,f(x)=log2(4x+a),若,则a+f(a)= .
16.在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD=1,BC=CD=BD=,则四棱锥的外接球的表面积为 .
三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分
17.(12分)某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况,随机调查100 名用户,根据这100名用户对该电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,如图所示,其中样本数据分组为,,…….
(I)估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率,并估
计对该电讯企业评分的中位数;
(II)现从评分在的调查用户中随机抽取2人,求2
人评分都在的概率.
18.(12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果A、B、C成等差数列且b=.
(I)当A=时,求△ABC的面积S;
(II)若△ABC的面积为S,求S的最大值.
19.(12分)如图,在四棱锥中,平面,在四边形中,,,,,,.
(I)证明:平面;
(II)求B点到平面的距离
20.(12分)焦点在x轴上的椭圆C:经过点,椭圆C的离心率为.F1,F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)若点M为OF2的中点(O为坐标原点),过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在实数λ,使得λ|OP|2=|MA|•|MB|;若存在,请求出λ
的值,若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知函数.
(I)若f'(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)=f'(x)﹣x﹣alnx的单调性;
(II)若(e是自然对数的底数),求证:f(x)>0.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的方程为,定点M(6,0),点N是曲线C1上的动点,Q为MN的中点.
(I)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(II)已知直线l与x轴的交点为P,与曲线C2的交点为A,B,若AB的中点为D,求|PD|的长.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣3|
(I)若a=﹣1,解不等式;
(II)若存在实数x,使得成立,试求a的取值范围.
四川省宜宾叙州区第二中学2020届第一次高考适应性考试
文科数学参考答案与试题解析
1-5:DBAAB 6-10:BABDC 11-12:CB
13.. 14.5 15.2. 16.5π
17.(1)由题意,该地区用户对该电讯企业评分的频率分布如下表:
评分
频率
0.04
0.06
0.20
0.28
0.24
0.18
因此可估计评分不低于70分的概率为;对该电讯企业评分的中位数设为x,可得,则,解得,
所以可估计对该电讯企业评分的中位数为;
(2)受调查用户评分在的有人,若编号依次为1,2,3,4,从中选2人的事件有、
、、、、,共有个基本事件;
受调查用户评分在的有人,若编号依次为1,2,3,..9,10,从中选2人,
可得共有个基本事件;因此2人评分都在的概率.
18.解:△ABC中,角A、B、C所对边分别是a、b、c,三内角A、B、C成等差数列,
则:A+C=2B,解得:B=60°.
(1)因为:=⇒a=.
∴b2=a2+c2﹣2accosB⇒3=2+c2﹣2c×⇒c2﹣c﹣1=0⇒c=,(负值舍);
∴△ABC的面积S=acsinB=×××=.
(2)∵b2=a2+c2﹣2accosB;
即:3=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac,当且仅当a=c时等号成立;
∴S△ABC=acsinB=ac≤;即S的最大值为:.
19解:(1)在平面中,,,,则,又,
∴,即,又平面,则,又,
∴平面.
(2)在平面中,过A作BC的平行线交CD的延长线于M,
因为,,,则,又因为,,所以.
所以
又,则,所以,在中,
.
因为,则面,所以;由
可知:,,
所以,则,因此P点到平面的距离为.
20.解:(1)由已知可得,,a2=b2+c2,解得,b=c=2,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)若直线的斜率不存在时,|OP|=2,,所以;
当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立直线l与椭圆方程,消去y,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣8=0,
所以.因为OP∥l,设直线OP的方程为y=kx,
联立直线OP与椭圆方程,消去y,得(2k2+1)x2=8,解得.
∴,∴,
同理,∴|MA|•|MB|=(1+k2)|(x1﹣1)(x2﹣1)|,
因为,∴,
故,存在满足条件,综上可得,存在满足条件.
21.解:(1)因为,所以,
=,
(ⅰ)当﹣a≤0即a≥0时,所以x+a>0,且方程g'(x)=0在(0,+∞)上有一根,
故g(x)在(0,1)上为增函数,(1,+∞)上为减函数,
(ⅱ)当﹣a>0即a<0时,
所以方程g'(x)=0在(0,+∞)上有两个不同根或两相等根,
(ⅰ)当a=﹣1时,g(x)在(0,+∞)上是减函数;
(ⅱ)当a<﹣1时,由g'(x)>0得1<x<﹣a,
所以g(x)在(1,﹣a)上是增函数;在(0,1),(﹣a,+∞)上是减函数;
(ⅲ)当﹣1<a<0时,由g'(x)>0得﹣a<x<1,
所以g(x)在(﹣a,1)是增函数;在(0,﹣a),(1,+∞)上是减函数;
(2)证明:因为,令,则,
因为,所以,
即h(x)在(0,+∞)是增函数,
下面证明h(x)在区间上有唯一零点x0,
因为,h(2a)=ln2a+1,
又因为,所以,,
由零点存在定理可知,h(x)在区间上有唯一零点x0,
在区间(0,x0)上,h(x)=f'(x)<0,f'(x)是减函数,
在区间(x0,+∞)上,h(x)=f'(x)>0,f'(x)是增函数,
故当x=x0时,f(x)取得最小值,
因为,所以,
所以=,
因为,所以f(x)>0,所以,f(x)>0.
22.解:(1)∵曲线C1的方程为,
∴4=36,
∴曲线C1的直角坐标方程为,
设点N(x′,y′),Q(x,y),由中点坐标公式得,
代入中,得到点Q的轨迹C2的直角坐标方程为x2+(y﹣)2=3.
(2)P点坐标为P(,0),设l的参数方程为,(t为参数),
代入曲线C2的直角坐标方程,得:,
设点A,B,D对应的参数分别为t1,t2,t3,
则,∴|PD|=|t3|=||=.
23.解:(1)若a=﹣1,则f(x)=|x+1|﹣|x﹣3|,若x≥3,由f(x)≥2,
得(x+1)﹣(x﹣3)≥2不等式显然成立,若﹣1≤x<3,由f(x)≥2,
得(x+1)+(x﹣3)≥2,解得x≥2.又﹣1≤x<3,∴2≤x<3.若x<﹣1,由f(x)≥2,
得﹣(x+1)+(x﹣3)≥2不等式不成立.∴不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥2}.
综上所述,不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥2};
(2)不等式f(x)≤﹣即|x﹣a|﹣|x﹣3|≤﹣.
|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|(x﹣a)﹣(x﹣3)|=﹣|a﹣3|,
若a>3,等号成立当且仅当x≥3,若a=3,等号成立当且仅当x∈R,若a<3,等号成立当且仅当x≤3.
∴﹣|a﹣3|≤﹣,即|a﹣3|≥,若a≥3,则(a﹣3)≥,解得a≥6.若a<3,则﹣(a﹣3)≥,解得a≤2.∴a的取值范围是(﹣∞,2]∪[6,+∞).综上所述,a的取值范围是(﹣∞,2]∪[6,+∞).