广东省深圳市外国语学校2020届高三4月综合能力测试数学（文）试卷 9页

数学（文）试卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． ‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不按以上要求作答无效．‎ ‎3．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则A∩B=（ ）.‎ ‎ A. [－2,－1] B. [－1,2) C. {－2,－1} D. {－1,2}‎ ‎2.已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第（ ）象限 ‎ A.一 B.二 C.三 D.四 ‎3.平面向量与的夹角为60°，且，为单位向量，则（ ）‎ ‎ A. B. C. 19 D. ‎ ‎4.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D .‎ ‎5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了 C．新农村建设后，养殖收入没有增加 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎6.已知等比数列的前项和为，若，则 ( )‎ ‎ A. B. C. D. 6‎ ‎7．海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆。中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式。现在有周长为的△ABC满足，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　 ）‎ ‎ A. B. C. D. 12‎ ‎8.函数的图象大致为( )‎ A B C D ‎9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则角C=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ ‎ A.(-1，1) B. C. D.‎ ‎11.已知函数，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A.存在，使得成立 B.存在，使得成立 ‎ C.存在，使得在上单调递减D.若存在，使得，则必有 ‎ 12. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B‎1C（含端点）上的一动点，则 ‎①OE⊥BD1； ②OE∥面A‎1C1D；‎ ‎③三棱锥A1﹣BDE的体积不是定值；④OE与A‎1C1所成的最大角为90°．‎ 上述命题中正确的个数是（　　）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.‎ ‎14. 已知满足，且的最大值等于 .‎ ‎15.函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为：_________‎ ‎16. 已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆圆心为，半径为r1，的内切圆圆心为，半径为r2，则直线的方程为：______；若r1=3r2，则 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(12分)已知数列的前项和为，满足，.‎ ‎(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和为 ‎18.(12分)如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若四边形的面积等于，‎ 求三棱锥的体积.‎ ‎19.(12分)十九大报告要求，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真脱贫。某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：‎ 方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；‎ 方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元.‎ 扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：‎ 保养次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 台数 ‎1‎ ‎10‎ ‎19‎ ‎14‎ ‎4‎ ‎2‎ 记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数.‎ ‎（1）用样本估计总体的思想，求“x不超过3”的概率；‎ ‎（2）按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？‎ ‎20.(12分)已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，当时，证明：．‎ ‎21.(12分)在平面直角坐标系中，已知，动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点M为（1）中轨迹上一动点，，直线MA与的另一个交点为N；记，若t值与点M位置无关，则称此时的点A为“稳定点”。是否存在 “稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．‎ ‎23.(10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为 ‎（1）求的值 ‎ ‎（2）已知为正数,且,证明: ‎ 数学（文）参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B C D A C A D B D C 13. ‎_______ 14.___1_____ ‎ ‎15.________ 16._____, ____________‎ ‎17.【解】（Ⅰ）由可知数列是公比为2的等比数列， 所以. ‎ 又因为， 所以， 所以. ‎ 所以数列的通项公式为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，‎ ‎18.【解】(Ⅰ)证明：‎ 取的中点为，连结.‎ 由是三棱台得，平面平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴⊥平面，而平面，‎ ‎∴. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面.‎ ‎∵直角梯形的面积等于，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎ 19.【解】（1）从上表中可以看出50台机器维修次数不超过3次的台数共44台，故“不超过2”的概率为.‎ ‎（2）在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为 ‎（元）.‎ 所以每年每台平均费用为元.‎ 在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为（元）.‎ 所以每年每台平均费用为元.因为，‎ 所以扶贫办应选择第二种方案更合算.‎ ‎20.解：（1）‎ 当时，，则函数在上为增函数 当时，由可得，由可得 则函数在上为增函数，在上为减函数 ‎（2）证明：令 则 令，则 ‎∵，∴，又，∴‎ ‎∴在上为增函数，则，即 由可得，所以．‎ ‎21.（1）‎ 由可知：，化简得 即动点的轨迹的方程为：‎ ‎（2）设，设直线的方程为，联立得..‎ 由对称性，不妨设.‎ ‎①当时，同号，‎ 又 ‎，‎ 不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.‎ ‎②当时，异号.‎ 又，‎ 当且仅当时，与无关，此时的点为“稳定点”.（12分）‎ ‎22.解析：（1）将代入，整理得，‎ 所以直线的普通方程为．‎ 由得，‎ 将，代入，‎ 得，即曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设，的参数分别为，．‎ 将直线的参数方程代入曲线的角坐标方程得，化简得，‎ 由韦达定理得，于是．‎ 设，则，即．‎ 所以点到原点的距离为．‎ ‎23.解：（1），所以M=2‎ ‎ (2)由，同理 则，‎ 即当且仅当时等号成立