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- 2021-06-16 发布
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数学试卷
一、单选题（共20题；共20分）
1.若复数z为纯虚数且（1+i）z=a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|=（ ）
A. B. C. 2 D.
2.i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. D. 2
3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10轮每轮罚球30个．命中个数的茎叶图如下．若10轮中甲、乙的平均水平相同，则乙的茎叶图中x的值是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
4.已知函数 ， 若,则实数的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
5.设O，A，B，M为平面上四点， = +（1﹣λ） ，λ∈（0，1），则（ ）
A. 点M在线段AB上 B. 点B在线段AM上 C. 点A在线段BM上 D. O，A，B，M四点共线
6.已知点P（ ，﹣ ）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义在R上的函数 恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为 ，双曲线N的离心率为 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
9.已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右焦点分别是 ，在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A. B. C. D.
10.组合数恒等于（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 .若 ， ，则函数 在 上的零点之和为（ ）
A. B. C. D.
12.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
13.已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
14.设数列 满足 ，且 ，若 表不不超过 的最大整数，则 （ ）
A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018
15.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
16.如图是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
17.已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
18.将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为（ ）
A. B. C. D.
19.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 ( ) ．
A. 600天 B. 800天 C. 1000天 D. 1200天
20.已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为： ， 若目标函数仅在点
处取到最大值，则有( )
A. B. C. D. 或
二、填空题（共6题；共10分）
21.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________
22.已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项 ________．
23.设θ为钝角，若sin（θ+ ）=﹣ ，则cosθ的值为________．
24.设{an}是首项为a1 ， 公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1 ， S2 ， S4成等比数列，则a1的值为________．
25.在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于________．
26.在 ，点M是△ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为________．
三、解答题（共9题；共70分）
27.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组
[50，60)
[50，60)
[50,60)
[50,60)
[50,60)
频数
2
8
14
10
6
（1）（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分 散 程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
28.已知函数f（x）=2 sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．
29.在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA．
（1）求证：A=B；
（2）若A= ，a= ，求△ABC的面积．
30.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为 （φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C1 ， C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1 ， C2交于M，N两点，求|MN|的值．
31.已知函数f（x）= mx2-lnx-1，f'（x）是f（x）的导函数。
（1）当m=0时，求f（x）的单调减区间；
（2）若f（x）存在两个不同的零点x1 ， x2。
①求实数m的取值范围；
②求证：f'（x1）+f'（x2）<0。
32.已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若函数 存在零点，求 的求值范围．
33.已知椭圆 的右焦点为F.直线 被称作为椭圆C的一条准线.点P在椭圆C上(异于椭圆左、右顶点)，过点P作直线 与椭圆C相切，且与直线 相交于点Q.
（1）求证： .
（2）若点P在x轴的上方， ，求 面积的最小值.
34.已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在区间 有两个零点，分别为 ，求证： .
35.已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】 A
4.【答案】 A
5.【答案】 A
6.【答案】 C
7.【答案】D
8.【答案】 B
9.【答案】B
10.【答案】 D
11.【答案】 B
12.【答案】 C
13.【答案】D
14.【答案】 B
15.【答案】 C
16.【答案】 B
17.【答案】D
18.【答案】 D
19.【答案】 B
20.【答案】 B
二、填空题
21.【答案】
22.【答案】
23.【答案】
24.【答案】 ﹣
25.【答案】
26.【答案】2
三、解答题
27.【答案】 （1）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。
（2）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
28.【答案】 解：（I）函数f（x）=2 sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1= sin2x+cos2x+a
=2 +a．
∴f（x）的最小正周期T= =π．
（II）∵x∈[﹣ ， ]，∴ ≤2x+ ≤ ，∴ ∈ ．
∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．
∴a﹣1+a+2=2，解得a=
29.【答案】 （1）证明：∵sin（A﹣B）= sinAcosB﹣ sinBcosA，
∴sinAcosB﹣cosAsinB= sinAcosB﹣ sinBcosA，
利用正弦定理可得：acosB﹣bcosA= cosB﹣ cosA，
化为：cosA=cosB，又A，B∈（0，π），
∴A=B．
（2）解：∵A=B，∴b=a= ．
∴c=2bcosA=2 cos ，
∴S△ABC= bcsinA= ×2 cos ×sin
=3sin =3sin =3 = ．
30.【答案】解：（I）曲线C1的参数方程为 （φ为参数）， 利用平方关系可得：（x﹣1）2+y2=1，化为x2+y2﹣2x=0．
利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=y．
（II）联立 ，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ= ，cosθ= ，
则M ，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1=2cos =2sinθ= ．
N ，代入ρ=sinθ，可得：ρ2=sin =cosθ= ．
可得：|MN|=ρ1+ρ2=
31.【答案】 （1）解：当m=0时，f（x）=-lnx-1，f'（x）= ，因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），故f'（x）= <0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的单调减区间为（0，+∞）。
（2）解：f'（x）=mx- =
①（ⅰ）当m≤0时，由f'（x）<0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，不合题意：
（ⅱ）当m>0时，由f'（x）=0，得x= 。
当0 时，f'（x）>0，f'（x）单调递增，所以f（x）min=f（ ）=- + lnm。
若两数f（x）有两个零点，则- + lnm<0，解得0 > 。
因为f（ ）= >0，故f（ ）f（ ）<0，又函数f（x）在（0， ）上单调递减．所以由零点存在性定理可知f（x）在（0， ）上恰有一个零点，
记s（x）=-x-1-lnx，则s'（x）=1- =
当x∈（0，1）时，s'（x）<0，函数s（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，s'（x）>0，函数s（x）在（1，+∞）上单调递增，所以s（x）≥s（1）=0，故函数f（ ）= -1-ln ≥0，所以f（ ）f（ ）≤0，因为 >0，所以 > 。
又f（x）在（ ，+∞）上单调递增。
所以由零点存在性定理知函数f（x）在区间（ ，+∞）上恰有一个零点
综上所述，实数m的取值范围为（0，e）。
②由于x1 ， x2是函数f（x）的两个零点，不妨设x10。
记t（x）=2lnx+ -x，x∈（0，1），则t'（x）= - -1= <0
所以t（x）在（0，1）上单调递减，所以t（x）>0，
所以2ln >0，即f'（x）1+f'（x2）<0成立。
32.【答案】 （1）解：有题不等式可化为 ，
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，不满足，舍去；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，
所以不等式的解集为
（2）解：因为 ，
所以若函数 存在零点则可转化为函数 与 的图像存在交点，
函数 在 上单调增，在 上单调递减，且 .
数形结合可知 ．
33.【答案】 （1）解：点 的坐标为 . 联立方程 ,消去 后整理为 有 ,可得 ， ， . 可得点 的坐标为 . 当 时，可求得点 的坐标为 ， ， . 有 . 故有
（2）解：若点 在 轴上方，必有 由(1)知 因为 时.由(1)知 ， ， 由函数 单调递增，可得此时 . 故当 时， 的面积取得最小值为1
34.【答案】 （1）解：由 ，有 . 曲线 在点 处的切线方程为
（2）解：不妨设 .令 . 由 .有 两边取对数，有 又由 若证 ，只需证 .可化为 . 令 ， 可得函数 单调递增.所以 . 故当 时， 故若函数 在区间 有两个零点，必有：
35.【答案】 （1）证明：令 ，则 ，当 时， ， 故 在 上单调递增，所以 ， 即
，所以 .
（2）解：由已知， ， 依题意， 有3个零点，即 有3个根，显然0不是其根，所以 有3个根，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，故 在 单调递减，在 ， 上 单调递增，作出 的图象，易得 . 故实数 的取值范围为 .
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