高中数学选修2-2课时提升作业(七) 1_3_3 13页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(七)‎ 函数的最大(小)值与导数 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.函数f(x)=x3-4x+4在区间[-3，4]上的最小值为(　　)‎ A.- B.‎-12 ‎ C.-1 D.-9‎ ‎【解题指南】先对函数f(x)求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后判断端点值和极值的大小进而得到最小值.‎ ‎【解析】选C.因为f′(x)=x2-4，‎ 所以由f′(x)=0，得x=±2.‎ 因为f(-3)=7，f(-2)=，f(2)=-，f(4)=，所以f(x)min=f(2)=-，故选C.‎ ‎2.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2，2]上有最大值3，则m的值是(　　)‎ A.-37 B.‎-29 ‎ C.-5 　 D.3‎ ‎【解析】选D.f′(x)=6x2-12x，由f′(x)>0，得x<0或x>2，故f(x)max=f(0)=m，故选D.‎ ‎3.(2014·石河子高二检测)设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f′(x)(　　)‎ A.等于0 B.小于‎0 ‎ C.等于1 D.不确定 ‎【解析】选A.因为M=m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)=0，故选A.‎ ‎4.(2014·信阳高二检测)已知a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x在[0，‎ ‎1]上的最大值为4，则f(x)在[-1，0]上的最小值为(　　)‎ A.- B. C.-2 D.2‎ ‎【解题指南】先求导函数f′(x)，再分别判断函数f(x)在区间[0，1]和[-1，0]上的单调性，从而求出最大值(含a，b的式子)，求出最小值(含a，b的式子)，最后将a+b整体代入即得结果.‎ ‎【解析】选A.因为a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x，所以导函数f′(x)=3ax2+b+2xln2，因为a，b为正实数，所以当0≤x≤1时，3ax2≥0，2xln2>0，所以f′(x)>0，即f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(1)最大且为a+b+2=4⇒a+b=2‎ ‎　 ①‎ 又当-1≤x≤0时，3ax2≥0，2xln2>0，‎ 所以f′(x)>0，即f(x)在[-1，0]上是增函数，‎ 所以f(-1)最小且为-(a+b)+　 ②‎ 将①代入②得f(-1)=-2+=-，故选A.‎ ‎5.(2014·聊城高二检测)函数y=x+2sinx在区间上的最大值是(　　)‎ A. B.　‎ C.+ D.以上都不对 ‎【解析】选C.y=x+2sinx，则y′=1+2cosx.当x∈时，y′>0，此时函数y=x+2sinx单调递增；当x∈时，y′<0，此时函数y=x+2sinx单调递减.所以当x=时，y=x+2sinx取到最大值为+，故选C.‎ ‎【误区警示】此题易出现直接把两个端点的函数值作为最大值或最小值的错误.‎ ‎6.(2014·桂林高二检测)已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.≤a<1 B.01两种情况利用导数求出f(x)的最大值即可.‎ ‎【解析】选A.f(x)=x2-2x+loga，‎ 因为a>0，且>0，‎ 所以定义域为{x|x>1}，f′(x)=2x-2-.‎ ‎①当00，函数f(x)在上是增函数，‎ 要满足题意，须f≤0，即：-3+loga(‎2a)≤0，‎ 即：loga2≤-，解得：a≥.‎ 又01时，由f′(x)=0得：x=1+，‎ 当x<1+时，f′(x)<0，‎ 当x>1+时，f′(x)>0，‎ 由此得函数f(x)在x<1+时是减函数，‎ 在x>1+时是增函数，‎ 而f=-3+loga(‎2a)=loga2+>0，‎ 所以a>1时，不能保证在内f(x)恒小于0，故a>1不合题意，舍去.‎ 综上，所求实数a的取值范围为≤a<1.故选A.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.(2014·连云港高二检测)当x∈[-1，1]时，函数f(x)=的值域是__________.‎ ‎【解析】因为f′(x)==，‎ 所以f(x)在区间(-1，0)上是减函数，f(x)在区间(0，1)上是增函数，所以当x=0时，f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e，f(1)=，显然最大值为e，‎ 所以f(x)的值域为[0，e].‎ 答案：[0，e]‎ ‎8.已知函数f(x)=x3-3x+m在区间[-3，0]上的最大值与最小值的和为-1，则实数m的值为__________.‎ ‎【解题指南】求出函数的导函数令其等于零求出函数的极值点，分区间讨论函数的增减性得到函数的最值，求出m即可.‎ ‎【解析】据题意可知，f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0得x=±1；‎ 因为函数在区间[-3，0]上有最值，所以x=1舍去，x=-1.‎ ‎①-30，函数为增函数；‎ ‎②x=-1时，f′(x)=0，‎ 所以f(x)极大值为f(-1)=2+m.‎ ‎③-10)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为__________.‎ ‎【解析】f′(x)==，‎ 令f′(x)=0，解得x=或x=-(舍去)，‎ 当x>时，f′(x)<0；当00；‎ 当a>1时，f(x)max=f()==，=<1，不合题意，所以00，‎ 故f(x)在(-∞，-2)上为增函数；‎ 当x∈(-2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(-2，2)上为减函数；‎ 当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，+∞)上为增函数.‎ 由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c，f(x)在x2‎ ‎=2处取得极小值f(2)=c-16，由题设条件知16+c=28，得c=12，此时f(-3)=9+c=21，f(3)=-9+c=3，f(2)=c-16=-4，因此f(x)在[-3，3]上的最小值为f(2)=-4.‎ ‎【变式训练】已知函数f(x)=mx3+nx，y=f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为.‎ ‎(1)求m，n的值.‎ ‎(2)求函数y=f(x)在[-2，1]上的最大值和最小值.‎ ‎【解题指南】(1)求导函数，利用y=f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为，建立方程组，即可求得m，n的值.‎ ‎(2)求导函数，确定极值点，求出端点函数值与函数的极值，即可求得函数y=f(x)在[-2，1]上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】(1)求导函数，可得f′(x)=3mx2+n，‎ 由题意有 解得m=，n=-1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=x3-x，‎ 所以f′(x)=2x2-1，令f′(x)=2x2-1=0，可得x=±.‎ 列表 x ‎-2‎ ‎-‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值-‎ ‎↗‎ ‎-‎ 由上表可知f(x)的最大值为，最小值为-.‎ ‎11.(2013·广东高考)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).‎ ‎(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间.‎ ‎(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.‎ ‎【解析】(1)当k=1时，f(x)=(x-1)ex-x2，求导可得f′(x)=xex-2x=x(ex-2)，令f′(x)=0可得x=0，x=ln2，则当x<0时，f′(x)>0；当0ln2时，f′(x)>0；所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，0)，(ln2，‎ ‎+∞)，单调递减区间是(0，ln2).‎ ‎(2)对f(x)=(x-1)ex-kx2求导可得f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k)，因为k∈，所以2k∈(1，2]，令f′(x)=0可得x=0，x=ln(2k)，显然0ln(2k)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间是(ln(2k)，+∞)，单调递减区间是(0，ln(2k)).‎ 令g(k)=ln(2k)-k，则g′(k)=-1=≥0，又当k=1时，g′(k)=0，所以g(k)在上递增，‎ 所以g≤ln2-1=ln2-lne<0，从而ln(2k)0；‎ 所以M=max=max，‎ 令h(k)=(k-1)ek-k3+1，则h′(k)=k(ek-3k)，‎ 令φ(k)=ek-3k，则φ′(k)=ek-3≤e-3<0，‎ 所以φ(k)在上递减，而φ·φ(1)=(e-3)<0，‎ 所以存在k0∈使得φ(k0)=0，且当k∈时，φ(k)>0，‎ 当k∈(k0，1)时，φ(k)<0，‎ 所以h(k)在上单调递增，在(k0，1)上单调递减.‎ 因为h=-+>0，h(1)=0，‎ 所以h(k)≥0在上恒成立，当且仅当k=1时取得“=”.‎ 综上，函数f(x)在上的最大值M=(k-1)ek-k3.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·聊城高二检测)已知a>0，设函数f(x)=+sinx(x∈[-a，a]的最大值为M，最小值为N)，那么M+N=(　　)‎ A.0 B‎.2014 ‎ C.4028 D.4029‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=+sinx，‎ 设g(x)=，‎ 则g(x)==2015-，‎ 因为2015x是R上的增函数，所以g(x)是R上的增函数.函数g(x)在[-a，a]上的最小值是g(-a)，最大值是g(a).‎ 函数sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0，‎ 所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N=g(a)+g(-a)=+‎ ‎2015-‎ ‎=4030-‎ ‎=4030-‎ ‎=4030-2=4028，故选C.‎ ‎2.已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【解析】选D.f′(x)=3x2-a≥0在[1，+∞)上恒成立，‎ 即：a≤3x2在[1，+∞)上恒成立，而(3x2)min=3×12=3.‎ 所以a≤3，故amax=3.故选D.‎ ‎3.已知函数f(x)=x3-x2-3x+，直线l1：9x+2y+c=0，若当x∈[-2，2]时，函数y=f(x)的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是(　　)‎ A.(0，+∞) B.(-∞，-6)‎ C.(-6，+∞) D.(-∞，0)‎ ‎【解题指南】先根据题意得到不等式x3-x2-3x+<-x-，然后转化为c<-x3+2x2-3x-成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g(x)=-x3+2x2-3x-求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案.‎ ‎【解析】选B.因为当x∈[-2，2]时，f(x)=x3-x2-3x+恒在直线9x+2y+c=0的下方，‎ 所以x3-x2-3x+<-x-在x∈[-2，2]上恒成立，即c<-x3+2x2-3x-在x∈[-2，2]上恒成立，‎ 令g(x)=-x3+2x2-3x-，‎ 所以g′(x)=-2x2+4x-3.‎ 因为g′(x)=-2x2+4x-3<0恒成立，‎ 所以函数g(x)单调递减，‎ 函数g(x)在x∈[-2，2]上的最小值为g(2)=-6.‎ 所以c<-6即可满足条件.‎ ‎4.(2014·长沙高二检测)若03sin2x B.4x<3sin2x C.4x=3sin2x D.与x的取值有关 ‎【解析】选D.令2x=t，因为00，得cost<，‎ 由f′(t)=2-3cost<0，得cost>，‎ 因此2t与3sint的大小与t的取值有关，亦即4x与3sin2x的大小与x在区间上的取值有关.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f(x)≥0成立，则a=__________.‎ ‎【解析】若x=0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0即x∈(0，1]时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-，设g(x)=-，则g′(x)=，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max=g=4，从而a≥4；‎ 当x<0即x∈[-1，0)时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-，设g(x)=-，则g′(x)=，所以g(x)在区间[-1，0)上单调递增，因此g(x)min=g(-1)=4，从而a≤4.‎ 综上，a=4.‎ 答案：4‎ ‎6.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为__________.‎ ‎【解析】设函数y=f(x)-g(x)=x2-lnx，‎ 求导数得y′=2x-=，‎ 当0时，y′>0，函数在上为单调增函数，‎ 所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，‎ 所求t的值为.‎ 答案：‎ 三、解答题(每小题12分，共24分)‎ ‎7.(2014·秦皇岛高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，‎ f′(1)=0，曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°.‎ ‎(1)求f(x)的解析式.‎ ‎(2)若对于任意实数α和β，不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立，求m的最小值.‎ ‎【解析】(1)由题意有f(0)=c=0，f′(x)=3x2+2ax+b且f′(1)=3+‎2a+b=0，　①‎ 又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f′(0)=b，‎ 而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，‎ 所以=-1.　 ②‎ 联立①②解得a=0，b=-3，所以f(x)=x3-3x.‎ ‎(2)|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立等价于|f(x)max-f(x)min|≤m，由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f(x)=x3-3x在[-2，2]上的最值，而f′(x)=3x2-3，由f′(x)=0得x=±1，列表如下：‎ x ‎-2‎ ‎(-2，-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1，1)‎ ‎1‎ ‎(1，2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎-2‎ ‎↗‎ ‎2‎ ‎↘‎ ‎-2‎ ‎↗‎ ‎2‎ 所以f(x)max=2，f(x)min=-2，所以|f(x)max-f(x)min|=4≤m，所以m的最小值为4.‎ ‎8.(2014·丽水高二检测)已知函数f(x)=lnx-ax+b，其中a，b∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间.‎ ‎(2)若a=1，b∈[0，2]，且存在实数k，使得对任意的实数x∈[1，e]，恒有f(x)≥kx-xlnx-1，求k-b的最大值.‎ ‎【解题指南】(1)求导数f′(x)，分a≤0，a>0两种情况讨论f(x)的单调性.‎ ‎(2)将不等式f(x)≥kx-xlnx-1转化为+lnx+≥k.记g(x)=+lnx+，x∈[1，e].根据b的取值分00).‎ 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，‎ 所以函数f(x)=lnx-ax+b在(0，+∞)上单调递增；‎ 当a>0时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎(2)不等式f(x)≥kx-xlnx-1，‎ 等价于+lnx+≥k.‎ 记g(x)=+lnx+，x∈[1，e].‎ 则g′(x)=，其中f(x)=lnx-x+b.‎ 由(1)知函数f(x)在(0，1)上单调递增，‎ 在(1，+∞)上单调递减，且f(1)=b-1.‎ ‎①若0