【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第三讲　二次函数与幂函数 7页

第三讲　二次函数与幂函数 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列说法正确的个数是(　　)‎ ‎①二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是‎4ac-‎b‎2‎‎4a ‎②二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数 ‎③二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥ - 2‎ ‎④幂函数的图象不可能出现在第四象限 ‎⑤当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎⑥若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数.　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎2.[2017浙江,5,4分]若函数f (x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M - m(　　)‎ A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 ‎3.[2020南阳模拟]已知点(m,9)在幂函数f (x)=(m - 2)xn的图象上,设a=f (m‎-‎‎1‎‎3‎),b=f (ln ‎1‎‎3‎),c=f (‎2‎‎2‎),则a,b,c的大小关系为(　　)‎ A.ac>b>a　B.a>b>c>dC.d>c>a>b　D.a>b>d>c ‎ 图 2 - 3 - 1‎ ‎5.[2018上海,7,5分]已知α∈{ - 2, - 1, - ‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎,1,2,3},若幂函数f (x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减, 则α=　　　　. ‎ 考法1二次函数的图象及应用 ‎1 对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a - 1)x2 - x在同一坐标系内的图象可能是 当01时,y=logax为增函数,y=(a - 1)x2 - x的图象开口向上,对称轴为直线x=‎1‎‎2(a-1)‎>0,排除B.选A.‎ A ‎1.如果函数f (x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f (1+x)=f ( - x),那么(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.f (0)1时,函数f (x)= - x2+2ax+1 - a(0≤x≤1)的图象如图2 - 3 - 2(3)中实线部分所示,当x=1时,y有最大值ymax=f (1)=a=2,∴a=2.‎ 综上可知,a的值为 - 1或2.‎ ‎2.(1)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“在0≤x≤1时有最小值2”,则实数a的值为　　　　. ‎ ‎(2)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f (x)≤2在[0,1]上恒成立”,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ ‎(3)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f (x)≥2在[a,a+1]上恒成立”,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ 命题角度2　二次函数与不等式恒成立问题 ‎3 [2020河北沧州七校联考]已知两函数f (x)=8x2+16x - k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.‎ ‎(1)对任意x∈[ - 3,3],都有f (x)≤g(x)成立,则k的取值范围为　　　　; ‎ ‎(2)存在x∈[ - 3,3],使f (x)≤g(x)成立,则k的取值范围为　　　　; ‎ ‎(3)对任意x1,x2∈[ - 3,3],都有f (x1)≤g(x2),则k的取值范围为　　　　. ‎ ‎(1)设h(x)=f (x) - g(x)=6x2+12x - 4 - k,将原问题转化为x∈[ - 3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数性质可知h(x)max=h(3)=86 - k,由86 - k≤0,得k≥86.‎ ‎(2)由题意知,“存在x∈[ - 3,3],使f (x)≤g(x)成立”等价于“h(x)=f (x) - g(x)=6x2+12x - 4 - k≤0在[ - 3,3]上有解”,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h( - 1)= - 10 - k,由 - 10 - k≤0,得k≥ - 10.‎ ‎(3)对任意x1,x2∈[ - 3,3],都有f (x1)≤g(x2)成立,所以f (x)max≤g(x)min,x∈[ - 3,3].由二次函数的性质可得f (x)max=f (3)=120 - k,g(x)min=‎ g( - 1)=2.所以120 - k≤2,解得k≥118.‎ 不等式恒成立问题一般可等价转化为最值问题求解.本题的三小问表面上非常相似,但其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确掌握不等式成立的充要条件.‎ ‎3.已知函数f (x)=x2 - 2ax+5(a>1).‎ ‎(1)若函数f (x)的定义域和值域均为[1,a],则实数a的值为　　　　; ‎ ‎(2)若f (x)在区间( - ∞,2]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f (x1) - f (x2)|≤4,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ 考法3幂函数的图象与性质的应用 ‎4 在同一直角坐标系中,函数f (x)=xa(x>0),g(x)=loga x的图象可能是 ‎　　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　 D 当a>1时,y=xa与y=logax均为增函数,但y=xa递增越来越快,排除C;当0(m2+m - 1‎)‎‎1‎‎2‎,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ 数学探究　二次函数的零点分布的类型及解题方法 ‎7 m为何值时,f (x)=x2+2mx+3m+4满足下列条件.‎ ‎(1)有且仅有一个零点;‎ ‎(2)有两个零点且均比 - 1大.‎ 先将二次函数的零点满足的条件用准确的式子表示出来,然后求解即可.‎ ‎(1)由f (x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,可知方程f (x)=0有两个相等实根,故Δ=0,即4m2 - 4(3m+4)=0,即m2 - 3m - 4=0,∴m=4或m= - 1.‎ ‎(2)解法一　设f (x)的两个零点分别为x1,x2,‎ 则x1+x2= - 2m,x1·x2=3m+4.‎ 由题意,知Δ=4m‎2‎-4(3m+4)>0,‎‎(x‎1‎+1)(x‎2‎+1)>0,‎‎(x‎1‎+1)+(x‎2‎+1)>0,‎即m‎2‎‎-3m-4>0,‎‎3m+4-2m+1>0,‎‎-2m+2>0,‎ 解得m>4或m<-1,‎m>-5,‎m<1,‎ ‎∴ - 50,‎‎-m>-1,‎f(-1)>0,‎即m‎2‎‎-3m-4>0,‎m<1,‎‎1-2m+3m+4>0.‎ ‎∴ - 51时,f (x)在[0,1]上单调递减,∴M - m=f (0) - f (1)= - 1 - a与a有关,与b无关.综上所述,M - m与a有关,但与b无关,故选B.‎ ‎3.A　∵f (x)=(m - 2)xn为幂函数,∴m - 2=1,得m=3.∴f (3)=3n=9,得n=2.∴f (x)=x2,∴f (x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增.易知a=f (‎1‎‎3‎‎1‎‎3‎),c=f (‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎),b=‎ f (ln ‎1‎‎3‎)=f ( - ln 3)=f (ln 3).∵[(‎1‎‎3‎‎)‎‎1‎‎3‎]6=‎1‎‎9‎<[(‎1‎‎2‎‎)‎‎1‎‎2‎]6=‎1‎‎8‎,∴c>a.又ln 3>1>‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎‎>‎‎1‎‎3‎‎1‎‎3‎,∴ab>c>d,故选B.‎ ‎5. - 1　∵α∈{ - 2, - 1, - ‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎,1,2,3},幂函数f (x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴α是奇数,且α<0,∴α= - 1.‎ ‎1.A　由f (1+x)=f ( - x)知函数f (x)的图象的对称轴为直线x=‎1‎‎2‎,而抛物线的开口向上,且|0 - ‎1‎‎2‎|=‎1‎‎2‎,|2 - ‎1‎‎2‎|=‎3‎‎2‎,| - 2 - ‎1‎‎2‎|=‎5‎‎2‎,根据到对称轴的距离越远的点对应的函数值越大得f ( - 2)>f (2)>f (0).故选A.‎ ‎2.(1)∅　易知函数f (x)= - x2+2ax+1 - a(0≤x≤1)的最小值在端点处取得,故f(0)=2,‎f(0)≤f(1)‎或f(1)=2,‎f(1)≤f(0),‎即‎1 - a=2,‎‎1 - a≤a或a=2,‎a≤1 - a,‎无解,故a的取值范围为∅.‎ ‎(2)[ - 1,2]　由题意知f (x)max≤2,由示例2可知,‎ ‎①a<0,‎‎1 - a≤2,‎解得 - 1≤a<0;‎ ‎②‎0≤a≤1,‎a‎2‎‎ - a+1≤2,‎解得0≤a≤1;‎ ‎③a>1,‎a≤2,‎解得11)在[1,a]上单调递减,‎ 所以f (x)max=f (1)=6 - 2a=a,f (x)min=f (a)= - a2+5=1,解得a=2.‎ 即实数a的值为2.‎ ‎(2)2≤a≤3　因为f (x)在( - ∞,2]上单调递减,函数f (x)的对称轴为直线x=a,所以a≥2.‎ 所以f (x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增,‎ 所以f (x)min=f (a)=5 - a2,f (x)max=max{f (1),f (a+1)},‎ 又f (1) - f (a+1)=6 - 2a - (6 - a2)=a(a - 2)≥0,‎ 所以f (x)max=f (1)=6 - 2a.‎ 因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f (x1) - f (x2)|≤4,‎ 所以f (x)max - f (x)min≤4,即6 - 2a - (5 - a2)≤4,解得 - 1≤a≤3,‎ 又a≥2,所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.‎ ‎4.‎5‎‎ - 1‎‎2‎≤m<2　因为函数y=x‎1‎‎2‎的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,‎ 所以不等式等价于‎2m+1≥0,‎m‎2‎‎+m - 1≥0,‎‎2m+1>m‎2‎+m - 1,‎ 解2m+1≥0,得m≥ - ‎1‎‎2‎;‎ 解m2+m - 1≥0,得m≤‎ - ‎5‎ - 1‎‎2‎或m≥‎5‎‎ - 1‎‎2‎;‎ 解2m+1>m2+m - 1,即m2 - m - 2<0,得 - 10即可,即 - 1+m<0且8+m>0,解得 - 80,‎f(1)<0,‎f(2)>0,‎即‎2k–1>0,‎‎1+k–2+2k–1<0,‎‎4+2(k–2)+2k–1>0,‎ 解得k>‎1‎‎2‎,‎k<‎2‎‎3‎,‎k>‎1‎‎4‎,‎即‎1‎‎2‎