【数学】2018届一轮复习人教B版概率学案 62页

‎§11.1　随机事件的概率 ‎[知识梳理]‎ ‎1．随机事件和确定事件 ‎(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．‎ ‎(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．‎ ‎(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．‎ ‎(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．‎ ‎(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．‎ ‎2．频率与概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．‎ ‎3．事件的关系与运算 互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．‎ 事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．‎ 对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．‎ ‎4．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F )＝0.‎ ‎(4)互斥事件概率的加法公式 ‎①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎②若事件A与事件互为对立事件，则P(A)＝1－P()．‎ ‎【知识拓展】‎ 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)‎ ‎(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)‎ A.　　　　　 B． C. D． 解析：选A.甲不输，则甲胜或平，‎ ‎∴P＝＋＝.‎ ‎2．为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2 000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为(　　)‎ A．10 000 B．20 000‎ C．25 000 D．30 000‎ 解析：选C.由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为＝，设水池中鱼的尾数是x，则有＝，解得x＝25 000.‎ ‎3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本事件．事件点P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝＝.‎ ‎4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．‎ 解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．‎ 答案：0‎ ‎5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．‎ 解析：①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．‎ 答案：②‎ 类型一　事件关系的判断 ‎[例1]　(1)(2017·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ B．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ 解析　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．‎ 答案　D ‎(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)‎ A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．‎ 答案　D ‎1．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 ‎(1)恰有1名男生和恰有2名男生；‎ ‎(2)至少有1名男生和至少有1名女生；‎ ‎(3)至少有1名男生和全是女生．‎ 解：(1)是互斥事件，不是对立事件．‎ ‎“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．‎ ‎(2)不是互斥事件，也不是对立事件．‎ ‎“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．‎ ‎(3)是互斥事件且是对立事件．‎ ‎“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其和事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立．‎ 类型二　随机事件的频率与概率 ‎[例2]　(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.‎ 商品 顾客人数　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ 解　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.‎ ‎(3)与(1)同理，可得：‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．‎ ‎2．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．‎ 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ＝＝.‎ ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，‎ 所以P(A)约为1－0.7＝0.3.‎ 类型三　互斥事件、对立事件的概率 题点1　互斥事件的概率 ‎[例3]　(2017·安徽阜阳模拟)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球与黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？‎ 解　(方法一)从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有 P(A)＝，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，‎ P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.‎ ‎(方法二)设红球有n个，则＝，所以n＝4，即红球有4个．‎ 又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个．‎ 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．‎ 又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是＝，＝，＝.‎ 题点2　对立事件的概率 ‎[例4]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ 解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，‎ P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.‎ ‎∵A、B、C两两互斥，‎ ‎∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＝.‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件．‎ ‎∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：(1)至多2人排队等候的概率；‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率．‎ 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A，B，C，D，E，F 互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F ，所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ ‎(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎[思想与方法系列]‎ 用正难则反思想求互斥事件的概率(二十一)‎ 典例　(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ 思维点拨　若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．‎ ‎[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.[2分]‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ‎＝1.9(分钟)．[6分]‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[9分]‎ P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[11分]‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[12分]‎ ‎[警示]　(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．‎ ‎(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．‎ 易错提示　(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估计总体．‎ ‎(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．‎ 思想方法　感悟提高 ‎[方法与技巧]‎ ‎1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2．从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”‎ 等语句的含义．‎ 课时规范训练[单独成册]‎ ‎[A组　基础演练]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为(　　)‎ A.　　　　　 B． C. D． 解析：选A.已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.‎ ‎2．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．‎ 其中是对立事件的是(　　)‎ A．① B．②④‎ C．③ D．①③‎ 解析：选C.根据题意，从1,2，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得：①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个数都是奇数”不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个数都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．‎ ‎3．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)，4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.‎ ‎4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)‎ A．0.09 B．0.20‎ C．0.25 D．0.45‎ 解析：选D.设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.‎ ‎5．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：‎ ‎①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；‎ ‎②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；‎ ‎③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．‎ 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．‎ 答案：③　②　①‎ ‎6．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907　966　191　925　271　932　812　458　569　683‎ ‎431　257　393　027　556　488　730　113　537　989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．‎ 解析：20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.‎ 答案：0.25‎ ‎7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．‎ 解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率为1－P(A)＝0.35.‎ 答案：0.35‎ ‎8．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎ 1 000‎ ‎ 2 000 ‎ ‎ 3 000 ‎ ‎ 4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎ 500 ‎ ‎ 130 ‎ ‎ 100 ‎ ‎ 150 ‎ ‎ 120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4‎ ‎ 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎9．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于‎155 cm和‎195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.‎ ‎(1)求第七组的频率；‎ ‎(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在‎180 cm以上(含‎180 cm)的人数；‎ ‎(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F ＝{|x－y|>15}，求P(E＋F )．‎ 解：(1)第六组的频率为＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.‎ ‎(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，‎ 身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，‎ 身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，‎ 身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，‎ 由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则17015}是不可能事件，P(F )＝0.‎ 由于事件E和事件F 是互斥事件，‎ 所以P(E＋F )＝P(E)＋P(F )＝.‎ ‎[B组　能力突破]‎ ‎(时间：30分钟)‎ ‎10. 某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F ，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F →G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝＝，即他经过市中心 O的概率为.‎ ‎11．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.从8个球中有放回的每次取一个球，取2次共有64种取法．两个球的编号和不小于15，则两球号码可以为7,8；8,7；8,8三种可能，其概率为P＝.‎ ‎12．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于________．‎ 解析：从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于＝.‎ 答案： ‎13. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：‎ 所用时间/分钟 ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ 选择L1的人数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎12‎ 选择L2的人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；‎ ‎(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的概率；‎ ‎(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．‎ 解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，‎ 故用频率估计相应的概率为0.44.‎ ‎(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间/分钟 ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．‎ 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，‎ P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，‎ ‎∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；‎ 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，‎ P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ ‎∵P(B1)b，b，‎ ‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．‎ ‎§11.3　模拟方法(几何概型)、概率的应用 ‎[知识梳理]‎ ‎1．几何概型 向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．‎ ‎2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．‎ ‎3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　　)‎ ‎(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)‎ ‎(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)‎ ‎(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)‎ ‎(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)‎ ‎(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　)‎ A.　　　　　 B． C. D．1‎ 解析：选B.坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为.‎ ‎2．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤‎1”‎发生的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.‎ ‎3．(2016·高考全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)‎ A. B．　　　　‎ C.　　　 D． 解析：选B.‎ 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.‎ ‎4．(2015·高考福建卷) 如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f (x)＝的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)‎ A. B．　　　　‎ C.　　　 D． 解析：选B.因为f (x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2，0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.‎ ‎5. (教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．‎ 解析：设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为R，则所求事件的概率为：‎ P＝＝＝.‎ 答案： 类型一　与长度、角度有关的几何概型 ‎[例1]　(1)(2017·安徽巢湖二模)函数f (x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，在定义域内任取一点x0，使f (x0)≤0的概率是(　　)‎ A.　　　　　 B． C. D． 解析　∵f (x)≤0⇔x2－x－2≤0⇔－1≤x≤2，‎ ‎∴f (x0)≤0⇔－1≤x0≤2，即x0∈[－1,2]．‎ ‎∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[－5,5]，‎ ‎∴使f (x0)≤0的概率为P＝＝.故选C.‎ 答案　C ‎(2)(2017·山东烟台模拟)在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为________．‎ 解析　当－≤x≤时，由0≤cos x≤，‎ 得－≤x≤－或≤x≤，‎ 根据几何概型概率公式得所求概率为.‎ 答案　 ‎(3) 如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．‎ 解　因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.‎ 在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，‎ 所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.‎ 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．‎ 由几何概型的概率公式，得：P(N)＝＝.‎ ‎[引申探究]‎ ‎1．本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？‎ 解：当－≤x≤时，由0≤cos x≤，‎ 得－≤x≤－或≤x≤，‎ 根据几何概型概率公式得所求概率为.‎ ‎2．若本例(3)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率．‎ 解：依题意知BC＝BD＋DC＝1＋，P(BM<1)＝＝.‎ ‎[方法引航]　求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．‎ ‎1．(1)已知集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈(A∩B)”的概率是________．‎ 解析：由题意得A＝{x|－1，‎ 故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分]‎ 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，‎ 故这三条线段能构成三角形的概率为.[12分]‎ ‎[警示]　解决几何概型问题的易误点；‎ ‎(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．‎ ‎(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．‎ 思想方法　感悟提高 ‎[方法与技巧]‎ ‎1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个．‎ ‎2．转化思想的应用 对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．‎ ‎(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；‎ ‎(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；‎ ‎2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．‎ 课时规范训练[单独成册]‎ ‎[A组　基础演练]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎1. 如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km的概率为(　　)‎ A.　　　　　 B． C. D． 解析：选B.根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A)＝＝.‎ ‎2．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C. 设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是 确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×2＝，所以这两个数之和小于的概率是.‎ ‎3．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C、F 点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.‎ ‎4. 一次在北京召开的国际数学家大会，会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，现在在线段AF 与F B上任取一点P，则点P落在线段AF 上的概率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.依题意可知：EF ＝，设AF ＝x，则F B＝x－.在Rt△ABF 中，由勾股定理知：12＝x2＋2，即：25x2－5x－12＝0，‎ ‎∴x＝或－(舍去)，∴AF ＝，F B＝，‎ ‎∴AF ＋F B＝，‎ ‎∴点P落在AF 上的概率为＝.‎ ‎5．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向‎2 km处，B地在O地正北方向‎2 km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)‎ A. B． C．1－ D．1－ 解析：选D.由题意知在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－＝1－.‎ ‎6．一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．‎ 解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为×5×12＝30，阴影部分的面积为×π×22＝2π，所以所求概率为＝.‎ 答案： ‎7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．‎ 解析：∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.‎ 如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，‎ ‎∴所求的概率为P＝.‎ 答案： ‎8．已知在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：点P是圆内的任意一点，而且点P出现在任何一点处是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m＝________.‎ 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E(阴影部分)的面积最大，此时点P落在平面区域E内的概率最大．‎ 答案：0‎ ‎9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ 解析：由题意，在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外．又V正方体ABCD－A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝·π·13＝π，∴所求事件概率P(A)＝＝1－.‎ 答案：1－ ‎10．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．‎ ‎(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．‎ 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；‎ 由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，‎ 所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；‎ 故满足a·b＝－1的概率为＝.‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；‎ 满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}；‎ 画出图形如图，‎ 矩形的面积为S矩形＝25，‎ 阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，‎ 故满足a·b<0的概率为.‎ ‎[B组　能力突破]‎ ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.‎ 由题意知本题是一个几何概型，设甲、乙两人每天上网时间分别为x小时、y小时．试验包含的所有事件Ω＝{(x，y)|0P2 B．P1＝P2‎ C．P1(a－b)2恒成立”的概率．‎ 解：(1)依题意＝，得n＝2.‎ ‎(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝‎2”‎的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．‎ 所以所求概率为P(A)＝＝.‎ ‎②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.‎ ‎3．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500 mL以上为常喝，体重超过‎50 kg为肥胖.‎ 常喝 不常喝 总计 肥胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 总计 ‎30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整；‎ ‎(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；‎ ‎(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生)，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？‎ 参考数据：‎ P(χ2>k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 解：(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，＝，‎ ‎∴x＝6.‎ 常喝 不常喝 总计 肥胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 总计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎(2)由已知数据可求得χ2＝≈8.522>7.879，‎ 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．‎ ‎(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A，B，C，D，女生为E，F ，则任取两个有AB，AC，AD，AE，AF ，BC，BD，BE，BF ，CD，CE，CF ，DE，DF ，EF ，共15种．其中一男一女有AE，AF ，BE，BF ，CE，CF ，DE，DF .故抽出一男一女的概率是P＝.‎ ‎4．如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m(m∈N)表示.‎ 甲组 乙组 ‎7　9‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3　1‎ ‎9‎ ‎1　‎0　‎m ‎(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；‎ ‎(2)当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．‎ 解：(1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，‎ 由(87＋89＋91＋93)＝[85＋90＋91＋(90＋m)]，‎ 得m＝4，‎ 设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，…，9，共有10种可能．当m＝4时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，‎ ‎∴当m＝5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能，‎ ‎∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为P(A)＝＝.‎ ‎(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B，当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有16种，分别为：(87,85)，(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,90)，(89,91)，(89,93)，(91,85)，(91,90)，(91,91)，(91,93)，(93,85)，(93,90)，(93,91)，(93,93)．‎ 事件B的结果有8种，它们为：(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,93)，(91,85)，(93,85)，(93,90)．‎ ‎∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率为P(B)＝＝.‎ ‎5．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差x/℃‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n 均不小于‎25”‎的概率；‎ ‎(2)从这5天中任选2天，若选取的是‎4月1日与‎4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？‎ 解：(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．‎ 设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．‎ 所以P(A)＝.‎ ‎(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27,3＝972，‎ ‎32＝432，iyi＝977，＝434，‎ 所以b＝＝，a＝27－×12＝－3，‎ 所以y关于x的线性回归方程为y＝x－3.‎ ‎(3)依题意得，当x＝10时，y＝22，|22－23|<2；‎ 当x＝8时，y＝17，|17－16|<2，‎ 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．‎ ‎6．某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．‎ ‎(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；‎ ‎(2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．‎ 解：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A1、B1、C1‎ ‎，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A2、B2、C2，‎ 则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．‎ 其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3个，所以所求概率P1＝＝.‎ ‎(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a1，表演笛子演奏的2人分别为b1、b2，表演唱歌的3人分别为c1、c2、c3，则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共15个，其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共9个，所以所求概率P2＝＝.‎