高中数学选修2-2教学课件第三章 1_2 44页

第三章　导数应用 § 1 　函数的单调性与极值 1.2 　函数的极值 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用 . 2. 掌握函数极值的判定及求法 . 3. 掌握函数在某一点取得极值的条件 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 极大值点与极大值 如图，在包含 x 0 的一个区间 ( a ， b ) 内 ，函数 y ＝ f ( x ) 在任何一点的函数 值 x 0 点的函数值，称点 x 0 为函数 y ＝ f ( x ) 的 ， 其函数值 f ( x 0 ) 为函数 的 . 都小于或等于 极大值点 极大值 2. 极小值点与极小值 如图，在包含 x 0 的一个区间 ( a ， b ) 内， 函数 y ＝ f ( x ) 在任何一点的函数 值 x 0 点的函数值，称点 x 0 为函数 y ＝ f ( x ) 的 ， 其函数值 f ( x 0 ) 为函数 的 . 都大于或等于 极小值点 极小值 极大值点 3. 极值的判断方法 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， x 0 ) 上是增加的，在区间 ( x 0 ， b ) 上是减少的，则 x 0 是 ， f ( x 0 ) 是 ； 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， x 0 ) 上是减少的，在区间 ( x 0 ， b ) 上是增加的，则 x 0 是 ， f ( x 0 ) 是 . 极大值 极小值点 极小值 探要点 · 究 所然 情境导学 在必修 1 中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题 . 但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容 . 探究点一　函数的极值与导数的关系 思考 1 　如图观察，函数 y ＝ f ( x ) 在 d 、 e 、 f 、 g 、 h 、 i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y ＝ f ( x ) 在这些点处的导数值是多少？在这些点附近， y ＝ f ( x ) 的导数的符号有什么规律？ 答　 以 d 、 e 两点为例，函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ d 处的函数值 f ( d ) 比它在点 x ＝ d 附近其他点的函数值都小， f ′ ( d ) ＝ 0 ；在 x ＝ d 的附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x ) ＞ 0. 类似地，函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ e 处的函数值 f ( e ) 比它在 x ＝ e 附近其他点的函数值都大， f ′ ( e ) ＝ 0 ；在 x ＝ e 附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0. 小结　 思考 1 中点 d 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极小值点， f ( d ) 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极小值；点 e 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极大值点， f ( e ) 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极大值 . 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 . 思考 2 　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 答　 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个 . 思考 3 　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明 . 答　 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点 . 可导函数 f ( x ) 在 x 0 处取得极值的充要条件是 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 且在 x 0 两侧 f ′ ( x ) 的符号不同 . 例如，函数 f ( x ) ＝ x 3 可导，且在 x ＝ 0 处满足 f ′ (0) ＝ 0 ，但由于当 x <0 和 x >0 时均有 f ′ ( x )>0 ，所以 x ＝ 0 不是函数 f ( x ) ＝ x 3 的极值点 . 例 1 　判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由 . (1) y ＝ 8 x 3 － 12 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 ； 解　 ∵ y ′ ＝ 24 x 2 － 24 x ＋ 6 ， 令 y ′ ＝ 0 ，即 24 x 2 － 24 x ＋ 6 ＝ 0 ，解得 x ＝， ∴ 此函数无极值 . (2) y ＝ x | x | ； 当 x >0 时， y ＝ x 2 是单调增函数； 当 x <0 时， y ＝－ x 2 也是单调增函数 . 故函数 y ＝ x | x | 在 x ＝ 0 处无极值 . 另外， ∵ 当 x >0 时， y ′ ＝ 2 x ， y ′ ＝ 0 无解； 当 x <0 时， y ′ ＝－ 2 x ， y ′ ＝ 0 也无解， ∴ 函数 y ＝ x | x | 没有极值 . 当 x ＝ 2 时， y ′ 不存在，因此， y ′ 在 x ＝ 2 处不可导 . 但在点 x ＝ 2 处的左右附近 y ′ 均存在，当 x <2 时， f ′ ( x )>0 ； 当 x >2 时， f ′ ( x )<0. 故 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ 2 处取极大值，且极大值为 f (2) ＝ 1. 反思与感悟　 求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤： (1) 确定函数的定义区间，求导数 f ′ ( x ) ； (2) 求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根； (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格 . 检测 f ′ ( x ) 在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f ( x ) 在这个根处无极值 . 跟踪训练 1 　求函数 f ( x ) ＝ ＋ 3ln x 的极值 . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 当 x 变化时， f ′ ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 单调 递减 ↘ 3 单调 递增 ↗ 因此，当 x ＝ 1 时， f ( x ) 有极小值 f (1) ＝ 3. 探究点二　已知函数极值求参数的值 思考 　已知函数的极值，如何求函数解析式中的参数？ 答　 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值 . 需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件 . 例 2 　 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 时有极值 0 ，求常数 a ， b 的值 . 解　 因为 f ( x ) 在 x ＝－ 1 时有极值 0 ， 且 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 ax ＋ b ， 当 a ＝ 1 ， b ＝ 3 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x ＋ 1) 2 ≥ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数，无极值，故舍去 . 当 a ＝ 2 ， b ＝ 9 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 12 x ＋ 9 ＝ 3( x ＋ 1)( x ＋ 3). 当 x ∈ ( － 3 ，－ 1) 时， f ( x ) 为减函数； 当 x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x ) 为增函数， 所以 f ( x ) 在 x ＝－ 1 时取得极小值，因此 a ＝ 2 ， b ＝ 9. 反思与感悟　 (1) 利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用 待定系数法 求解 . (2) 因为 “ 导数值等于零 ” 不是 “ 此点为极值点 ” 的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性 . 跟踪训练 2 　设 x ＝ 1 与 x ＝ 2 是函数 f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2 ＋ x 的两个极值点 . (1) 试确定常数 a 和 b 的值 ； 解　 ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2 ＋ x ， 由极值点的必要条件可知： f ′ (1) ＝ f ′ (2) ＝ 0 ， (2) 判断 x ＝ 1 ， x ＝ 2 是函数 f ( x ) 的极大值点还是极小值点，并说明理由 . 当 x ∈ (0,1) 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ；当 x ∈ (1,2) 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ； 当 x ∈ (2 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ； 所以， x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的极小值点， x ＝ 2 是函数 f ( x ) 的极大值点 . 探究点三　函数极值的综合应用 例 3 　 已知函数 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ ax 2 ＋ b ( a ， b ∈ R ). (1) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间 ； 解　 因为 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ ax 2 ＋ b ， 当 a ＝ 0 时， f ′ ( x ) ＝－ 3 x 2 ≤ 0 ，函数 f ( x ) 没有单调递增 区间； 当 a >0 时，令 f ′ ( x )>0 ， 当 a <0 时，令 f ′ ( x )>0 ， (2) 若对任意 a ∈ [3,4] ，函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点，求实数 b 的取值范围 . f ( x ) 极小值 ＝ f (0) ＝ b . 由于对任意 a ∈ [3,4] ，函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点， 反思与感悟　 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法 . 它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与 x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数 . 跟踪训练 3 　 设函数 f ( x ) ＝ x 3 － 6 x ＋ 5 ， x ∈ R . (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间和极值 ； 解　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 6 ，令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) ＝ a 有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围 . 解　 由 (1) 的分析知 y ＝ f ( x ) 的图像的大致形状及走向如图所示 . 直线 y ＝ a 与 y ＝ f ( x ) 的图像有三个不同的交点， 即方程 f ( x ) ＝ a 有三个不同的实根 . 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. “ 可导函数 y ＝ f ( x ) 在一点的导数值为 0 ” 是 “ 函数 y ＝ f ( x ) 在这点取得极值 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4 1 2 3 4 解析　 对于 f ( x ) ＝ x 3 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ， f ′ (0) ＝ 0 ， 不能推出 f ( x ) 在 x ＝ 0 处取极值，反之成立 . 故选 B. 答案　 B 2. 函数 f ( x ) 的定义域为 R ，导函数 f ′ ( x ) 的图像如图所示，则函数 f ( x )( 　　 ) A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点 C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点 1 2 3 4 1 2 3 4 解析　 f ′ ( x ) 的符号由正变负 ， 则 f ( x 0 ) 是极大值， f ′ ( x ) 的符号由负变正 ， 则 f ( x 0 ) 是极小值 ， 由 图像易知有两个极大值点，两个极小值点 . 答案　 C 1 2 3 3. 设 a ∈ R ，若函数 y ＝ e x ＋ ax ， x ∈ R 有大于零的极值点，则 a 的取值范围为 ____________. 解析　 y ′ ＝ e x ＋ a ， 由 y ′ ＝ 0 得 x ＝ ln( － a ). 由题意知 ln( － a )>0 ， ∴ a < － 1 . 4 ( － ∞ ，－ 1) 1 2 3 4 4. 直线 y ＝ a 与函数 y ＝ x 3 － 3 x 的图像有三个相异的交点，则 a 的取值范围是 ________. 解析　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 可以得到 x ＝ 1 或 x ＝－ 1 ， ∵ f (1) ＝－ 2 ， f ( － 1) ＝ 2 ， ∴ － 2< a <2 . － 2< a <2 呈 重点、现 规律 1. 在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值 . 2. 函数的极值是函数的局部性质 . 可导函数 f ( x ) 在点 x ＝ x 0 处取得极值的充要条件是 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 且在 x ＝ x 0 两侧 f ′ ( x ) 符号相反 . 3. 利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看