高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_2圆内接四边形的性质与判定定理 30页

2.2 　圆内接四边形的性质与判定定理 1 ． 理解圆内接四边形的性质定理 1 和性质定理 2. 2 ．理解圆内接四边形判定定理及其推论． 3 ．理解圆内接四边形判定定理及其推论 . 4 ．能用定理和推论解决相关的几何问题 . 1 ．在圆内接四边形的性质定理 1 ：圆内接四边形的对角 ________ ． 圆内接四边形性质定理 2 ：圆内接四边形的外角等于它的内角的 ______ ． 2 ．圆内接四边形的判定定理 (1) 定理：如果一个四边形的对角 ________ ，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2) 符号语言表述：在四边形 ABCD 中，如果∠ B ＋∠ D ＝ 180° 或∠ A ＋∠ C ＝ 180° ，那么四边形 ABCD 内接于圆． 3 ．判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的 ________ ，那么这个四边形的四个顶点共圆． 1 ． 互补　对角　 2.(1) 互补　 3. 对角 在圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A 、∠ B 、∠ C 的度数比为 4∶3∶5 ，求四边形各角的度数． 解析： 设∠ A 、∠ B 、∠ C 的度数分别为 4 x 、 3 x 、 5 x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180° ，可得 4 x ＋ 5 x ＝ 180° ，∴ x ＝ 20°. ∴∠ A ＝ 4 × 20° ＝ 80° ，∠ B ＝ 3 × 20° ＝ 60° ， ∠ C ＝ 5 × 20° ＝ 100° ，∠ D ＝ 180° －∠ B ＝ 120°. 　如图所示，已知⊙ O 的内接四边形 ABCD ， AB 和 DC 的延长线交于点 P ， AD 和 BC 的延长线交于点 Q ，如果∠ A ＝ 50° ，∠ P ＝ 30° ，求∠ Q 的度数． 解析： ∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， ∴∠ QCD ＝∠ A ＝ 50° 又∠ P ＝ 30° ∴∠ CDQ ＝∠ P ＋∠ A ＝ 80°. ∴∠ Q ＝ 180° － 80° － 50° ＝ 50°. 　 如图所示，已知四边形 ABCD 为平行四边形，过点 A 和点 B 的圆与 AD 、 BC 分别交于 E 、 F ，求证： C 、 D 、 E 、 F 四点共圆． 分析： 连接 EF ，由∠ B ＋∠ AEF ＝ 180° ，∠ B ＋∠ C ＝ 180° ，可得∠ AEF ＝∠ C . 证明： 如图，连接 EF ， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠ B ＋∠ C ＝ 180°. ∵ 四边形 ABFE 内接于圆， ∴∠ B ＋∠ AEF ＝ 180° ， ∴∠ AEF ＝∠ C ， ∴点 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆． 1 ．已知四边形 ABCD 是圆内接四边形，下列结论中，正确的个数有 ( 　　 ) ① 如果∠ A ＝∠ C ，则∠ A ＝ 90° ；②如果∠ A ＝∠ B ，则四边形 ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D 可以是 1∶2∶3∶4. A ． 1 个　　　　　　　　　 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 2 ．圆内接平行四边形一定是 ( 　　 ) A ．正方形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．矩形 B D 3 ．判断下列各命题是否正确． (1) 任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个． (2) 矩形有唯一的外接圆． (3) 菱形有外接圆． (4) 正多边形有外接圆． 解析： (1) 错误，任意三角形有唯一的外接圆； (2) 正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等； (3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆； (4) 正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等． 4 ．如图所示， PA 为⊙ O 直径， PC 为⊙ O 的弦，过 的中点 H 作 PC 的垂线交 PC 的延长线于点 B . 若 HB ＝ 6 ， BC ＝ 4 ，则⊙ O 的直径为 ( 　　 ) A ． 10 B ． 13 C ． 15 D ． 20 5 ．在圆内接四边形 ABCD 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D 可以是 ( 　　 ) A ． 4∶2∶3∶1 B ． 4∶3∶1∶2 C ． 4∶1∶3∶2 D ．以上都不对 6 ．若△ ABC 与△ BDC 同时内接于圆 O ，则圆心 O 是这两个三角形的 ( 　　 ) A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．重心和垂心 B C 7 ．如图所示，四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形， E 为 AB 延长线上一点，∠ CBE ＝ 40° ，则∠ AOC 等于 ( 　　 ) A ． 20° B ． 40° C ． 80° D ． 100° C 8 ．如图所示，四边形 ABCD 为⊙ O 内接四边形，已知∠ BOD ＝ 60° ，则∠ BAD ＝ ________ ，∠ BCD ＝ ________. 30° 　 150° 9 ．如图，⊙ O 的内接四边形 BCED ，延长 ED,CB 交于点 A ，若 BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3. 则 DE=________CE=________ ． 答案： 5 120° 60° 12 ．已知：如图所示，在△ ABC 中， AD ＝ DB ， DF ⊥ AB 交 AC 于点 F ， AE ＝ EC ， EG ⊥ AC 交 AB 于点 G . (1) 求证： D 、 E 、 F 、 G 四点共圆 . (2) 求证： G 、 B 、 C 、 F 四点共圆． 证明： (1) 连接 GF ，由 DF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，知∠ GDF ＝∠ GEF ＝ 90° ，∴ GF 中点到 D 、 E 、 F 、 G 四点距离相等． ∴ D 、 E 、 F 、 G 四点共圆 (2) 连接 DE . 由 AD ＝ DB ， AE ＝ EC ， 知 DE∥BC ， ∴∠ ADE ＝∠ B . 又由 (1) 中 D 、 E 、 F 、 G 四点共圆， ∴∠ ADE ＝∠ GFE ， ∴∠ GFE ＝∠ B ， ∴点 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆． 13 ．如图所示，已知四边形 ABCD 内接于圆，延长 AB 和 DC 相交于点 E ， EG 平分∠ BEC ，且与 BC 、 AD 分别相交于点 F 、 G . 求证：∠ CFG ＝∠ DGF . 分析 ： 已知四边形 ABCD 内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠ BCE ＝∠ BAD ，又 EG 平分∠ BEC ，故△ CFE ∽△ AGE . 下边易证∠ CFG ＝∠ DGF . 证明 ： ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ ECF ＝∠ EAG . 又∵ EG 平分∠ BEC ， 即∠ CEF ＝∠ AEG ， ∴△ EFC ∽△ EGA . ∴∠ EFC ＝∠ EGA. 而∠ EGD ＝ 180° －∠ EGA ， ∠ CFG ＝ 180° －∠ EFC ， ∴∠ CFG ＝∠ DGF 1 ．判定四点共圆的方法 (1) 如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆． (2) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． (3) 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4) 如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆 ( 因为四个顶点与斜边中点距离相等 ) ． 2 ．圆内接四边形判定定理的推论的证明． 已知：如图所示，四边形 ABCD ， 延长 AB 到 E ，∠ EBC ＝∠ CDA . 求证： A 、 B 、 C 、 D 四点共圆． 证明：因为∠ EBC ＝∠ CDA ，且 ∠ EBC ＋∠ ABC ＝ 180° ， 所以∠ CDA ＋∠ ABC ＝ 180°. 由圆内接四边形的判定定理知 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆． 3. 圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路 . 反证法是证明问题的有效方法 . 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出与题设或定理或公理矛盾，从而证明原命题正确的方法 . 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束