高中数学选修2-2教学课件1_5_1 曲边梯形的面积 1_5_2 汽车行驶的路程 46页

1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 这些图形的面积该怎样计算？ 例题（阿基米德问题）：求由抛物线 y=x 2 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形的面积． Archimedes ， 约公元前 287 年 — 约公元前 212 年 问题 1 ：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？ 问题 2 ： “ 割圆术 ” 是怎样操作的？对我们有何启示？ x y 1. 了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想 . （重点） 2.“ 以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号 . （难点） 曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯形． 如何求曲边梯形的面积？ a b f(a) f(b) y=f(x) x y O 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲 ) 探究点 1 曲边梯形的面积 直线 x  1 ， y  0 及曲线 y x 2 所围成的图形（曲边梯形）面积 S 是多少？ 为了计算曲边梯形的面积 S ，将它分割成许多小曲边梯形， x y O 1 方案 1 方案 2 方案 3 y=x 2 解题思想 “ 细分割、近似和、渐逼近” 下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 （ 1 ）分割 把区间 [0 ， 1] 等分成 n 个小区间： 过各区间端点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 每个区间长度为 （ 2 ） 近似代替 （ 3 ）求和 (i=1,2,…,n) （ 4 ）取极限 演示 观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 2 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系 . 区间 [0,1] 的等分数 n S 的近似值 S n 2 0.125 000 00 4 0.218 750 00 8 0.273 437 50 16 0.302 734 38 32 0.317 871 09 64 0.325 561 52 128 0.329 437 26 256 0.331 382 75 512 0.332 357 41 1024 0.332 845 21 2048 0.333 089 23 … … 我们还可以从数值上看出这一变化趋势 分割 近似代替 求和 取极限 一般地，对于曲边梯形，我们也可采用 的方法，求其面积 . 思考 1 ： 已知物体运动路程与时间的关系 , 怎样求物体的 运动速度？ 探究点 2 汽车行驶的路程 思考 2 ： 已知物体运动速度为 v ( 常量 ) 及时间 t ，怎么 求路程？ O v t 1 2 例 弹簧在拉伸过程中 , 力与伸长量成正比 , 即力 F(x)=kx (k 是常数 ,x 是伸长量 ). 求弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功 . 将区间［ 0,b ］ n 等分 : 解： W=Fx,F(x)=kx 分点依次为： 则从 0 到 b 所做的功 W 近似等于 : 总结提升： 求由连续曲线 y = f ( x ) 对应的曲边梯形面积 的方法 （ 1 ） 分割 （ 2 ） 近似代替 （ 3 ） 求和 （ 4 ） 取极限 C C 1. 求曲边梯形面积的“四个步骤”： 1° 分割 化整为零 2° 近似代替 以直代曲 3° 求和 积零为整 4° 取极限 刨光磨平 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。 —— 《 荀子劝学 》