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  • 2021-06-16 发布

2020届二轮复习“平面向量、三角函数与解三角形”专题提能课课时作业(全国通用)

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课时跟踪检测(五)“平面向量、三角函数与解三角形”专题提能课 A组——易错清零练 ‎1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c, b∥c,则|a+b|=(  )‎ A.           B. C.2 D.10‎ 解析:选B 由题意可知解得 故a+b=(3,-1),|a+b|=.‎ ‎2.(2019届高三·河南中原名校质量考评)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(  )‎ A. B. C.0 D. 解析:选B 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式为y=sin=sin.‎ 因为所得函数为偶函数,所以+φ=kπ+(k∈Z),‎ 即φ=kπ+(k∈Z),则φ的一个可能取值为,故选B.‎ ‎3.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.‎ 解析:由正弦定理,得sin B===,‎ 因为0°<B<180°,‎ 所以B=45°或135°.‎ 因为b<c,所以B<C,故B=45°,‎ 所以A=180°-60°-45°=75°.‎ 答案:75°‎ B组——方法技巧练 ‎1.已知向量a,b,且|a|=,a与b的夹角为,a⊥(‎2a-b),则|b|=(  )‎ A.2 B.4‎ C. D.3‎ 解析:选B 如图,作=a,=b,〈a,b〉=,作=‎2a,则=‎2a-b.由a⊥(‎2a-b)可知,OC⊥BC.在Rt△OCB中,OC=2|a|=2,cos〈a,b〉===,解得|b|=4.故选B.‎ ‎2.在△ABC中,A=120°,若三边长构成公差为4的等差数列,则最长的边长为(  )‎ A.15 B.14‎ C.10 D.8‎ 解析:选B 在△ABC中,A=120°,则角A所对的边a最长,三边长构成公差为4的等差数列,不妨设b=a-4,c=a-8(a>8).由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8)2-2(a-4)(a-8)cos 120°,即a2-‎18a+56=0,所以a=4(舍去)或a=14.‎ ‎3.(2018·广州模拟)已知 △ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则|++|的最小值是(  )‎ A.-1 B.-1‎ C.+1 D.+1‎ 解析:选A 已知点C坐标为(0,-2),且||=1,所以设P(cos θ,-2+sin θ),则|++|===≥ =-1.‎ ‎4.已知AB为圆O:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上任意一点,则·的最小值为(  )‎ A.1 B. C.2 D.2 解析:选A 由题意,设A(1+cos θ,sin θ),P(x,x+1),则B(1-cos θ,-sin θ),∴=(1+cos θ-x,sin θ-x-1),=(1-cos θ-x,-sin θ-x-1),∴·=(1+cos θ-x)(1-cos θ-x)+(sin θ-x-1)(-sin θ-x-1)=(1-x)2-cos2θ+(-x-1)2-sin2θ=2x2+1≥1,当且仅当x=0时,等号成立,故选A.‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=5,a=3,cos(B-A)=,则△ABC的面积为(  )‎ A. B. C.5 D.2 解析:选C 如图所示,在边AC上取点D使∠A=∠ABD,则 cos∠DBC=cos(∠ABC-∠A)=,设AD=DB=x,在△BCD中,由余弦定理得,(5-x)2=9+x2-2×3x×,解得x=3.故BD=BC,在等腰三角形BCD中,DC边上的高为2,所以S△ABC=×5×2=5,故选C.‎ ‎6.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=1,cos Bsin C+(a-sin B)cos(A+B)=0.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)求△ABC面积的最大值.‎ 解:(1)由cos Bsin C+(a-sin B)cos(A+B)=0,‎ 可得cos Bsin C-(a-sin B)cos C=0,‎ 即sin(B+C)=acos C,sin A=acos C,即=cos C.‎ 因为==sin C,‎ 所以cos C=sin C,‎ 即tan C=1,C=.‎ ‎(2)由余弦定理得12=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab,‎ 所以a2+b2=1+ab≥2ab,ab≤=,当且仅当a=b时取等号,所以 S△ABC=absin C≤××=.所以△ABC面积的最大值为.‎ C组——创新应用练 ‎1.已知△ABC的三个内角为A,B,C,重心为G,若2sin A·+sin B·+‎ ‎3sin C·=0,则cos B=________.‎ 解析:设a,b,c分别为角A,B,C所对的边,由正弦定理得‎2a·+b·+‎3c·=0,则‎2a·+b·=-‎3c·=-‎3c(--),即(‎2a-‎3c)+(b-‎3c)‎ eq o(GB,sup7(―→))=0.又,不共线,所以由此得‎2a=b=‎3c,所以a=b,c=b,于是由余弦定理得cos B==.‎ 答案: ‎2.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=.若平面向量a,b满足|a|≥‎ ‎|b|>0,a与b的夹角θ∈,且a∘b和b∘a都在集合中,则a∘b=________.‎ 解析:a∘b===, ①‎ b∘a===. ②‎ ‎∵θ∈,∴0,∴0<≤1.‎ ‎∴00)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值是________.‎ 解析:由题意,得f(x)==cos ωx-sin ωx=2cos(ω>0),将函数f(x)=2cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=2cos ‎=2cos.因为y=2cos为偶函数,所以+=kπ(k∈Z).即ω=(k∈Z).又ω>0,所以ω的最小值是.‎ 答案: ‎4.在平面直角坐标系xOy中,Ω是一个平面点集,如果存在非零平面向量a,对于任意P∈Ω,均有Q∈Ω,使得=+a,则称a为平面点集Ω的一个向量周期.现有以下四个命题:‎ ‎①若平面点集Ω存在向量周期a,则ka(k∈Z,k≠0)也是Ω的向量周期;‎ ‎②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数,则Ω不存在向量周期;‎ ‎③若平面点集Ω={(x,y)|x>0,y>0},则b=(1,2)为Ω的一个向量周期;‎ ‎④若平面点集Ω={(x,y)|[y]-[x]=0}([m]表示不大于m的最大整数),则c=(1,1)为Ω的一个向量周期.‎ 其中真命题是________(填序号).‎ 解析:对于①,取Ω={(x,y)|x>0,y>0},a=(1,0),则a为Ω的向量周期,但-a=(-1,0)不是Ω的向量周期,故①是假命题;‎ 易知②是真命题;‎ 对于③,任取点P(xP,yP)∈Ω,则存在点Q(xP+1,yP+2)∈Ω,所以b是Ω的一个向量周期,故③是真命题;‎ 对于④,任取点P(xP,yP)∈Ω,则[yP]-[xP]=0,存在点Q(xP+1,yP+1),所以 ‎[yP+1]-[xP+1]=[yP]+1-([xP]+1)=0,所以Q∈Ω,所以c是Ω的一个向量周期,‎ 故④是真命题.‎ 综上,真命题为②③④.‎ 答案:②③④‎ ‎5.已知函数f(x)=2sincos,过A(t,f(t)),B(t+1,f(t+1))两点的直线的斜率记为g(t).‎ ‎(1)求函数g(t)的解析式及单调递增区间;‎ ‎(2)若g(t0)=,且t0∈,求g(t0+1)的值.‎ 解:(1)易知f(x)=2sincos=sin,所以g(t)==f(t+1)-f(t ‎)=sin-sin=cos-sin=cos.‎ 令2kπ-π≤t+≤2kπ,k∈Z,得6k-≤t≤6k-,k∈Z,所以函数g(t)=cos的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)由题意得g(t0)=cos=,t0∈,‎ 所以t0+∈,‎ 所以sin=,‎ 所以g(t0+1)=cos=cos=cos-sin=×-×=.‎

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