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- 2021-06-16 发布
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第二节 函数的单调性与最值
A组 基础题组
1.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
A.y=11-x B.y=cos x
C.y=ln(x+1) D.y=2-x
2.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)=1x-x B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x D.f(x)=2x
3.函数f(x)=x|x-2|的单调减区间是( )
A.[1,2] B.[-1,0]
C.[0,2] D.[2,+∞)
4.(2015吉林长春质量检测(二))已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,-1]
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
5.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( )
A.f(-1)f(3)
C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)
6.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,则a的取值范围为 .
10.已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).
(1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)在12,2上的值域是12,2,求a的值.
11.已知函数f(x)=ax+1a(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.
B组 提升题组
12.设函数f(x)=-x2+4x,x≤4,log2x,x>4.若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.[1,4]
C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)
13.(2015云南昆明模拟)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn},则max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}=( )
A.34 B.1 C.3 D.72
14.已知函数f(x)=log2x+11-x,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )
A.f(x1)<0, f(x2)<0 B.f(x1)<0, f(x2)>0
C.f(x1)>0, f(x2)<0 D.f(x1)>0, f(x2)>0
15.(2016山东日照模拟)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]
16.(2016湖南益阳一模)已知函数f(x)的值域为38,49,则函数g(x)=f(x)+1-2f(x)的值域为 .
17.(2015山东临沂模拟)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是 .
18.已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 .
19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=f(x),x>0,-f(x),x<0.若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表达式;
(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.
答案全解全析
A组 基础题组
1.D 选项A中,y=11-x=1-(x-1)的图象是将y=-1x的图象向右平移1个单位得到的,故y=11-x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.
2.A “∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”等价于在(0,+∞)上f(x)为减函数,易判断f(x)=1x-x符合题意,选A.
3.A f(x)=x|x-2|=x2-2x,x≥2,-x2+2x,x<2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].
4.A 因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,即a≤1,故选A.
5.A 依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)0,ln1≤1-2a+3a,
∴a<12,a≥-1,∴-1≤a<12.
即a的取值范围是-1,12.
8.答案 22-3
解析 当x≥1时,x+2x-3≥2x·2x-3=22-3,当且仅当x=2x,即x=2时等号成立,
此时f(x)min=22-3<0;
当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,
此时f(x)min=0.
所以f(x)的最小值为22-3.
9.答案 (0,1]
解析 任取x1,x2∈(1,+∞),且x10,x2-x1>0,
∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立.
∴a≤1.
故a的取值范围是(0,1].
10.解析 (1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0,
∵f(x2)-f(x1)=1a-1x2-1a-1x1
=1x1-1x2=x2-x1x1x2>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)∵f(x)在12,2上的值域是12,2,
f(x)在12,2上单调递增,
∴f12=12, f(2)=2.
易得a=25.
11.解析 f(x)=a-1ax+1a,
当a>1时,a-1a>0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,
∴g(a)=f(0)=1a;
当0f(2)=0,即f(x1)<0, f(x2)>0.
15.D ∵f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,∴a≤1,又∵g(x)=ax+1在[1,2]上是减函数,∴a>0,∴01,0,x=1,-x2,x<1.函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).
18.答案 (-2,1)
解析 由题意知f(x)在R上是增函数,则由题意得2-a2>a,解得-20,Δ=(a+1)2-4a≤0,∴a>0,(a-1)2≤0.
∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
∴F(x)=x2+2x+1,x>0,-x2-2x-1,x<0.
(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,
∴k-22≤-2或k-22≥2,解得k≤-2或k≥6.
故k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).