2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第三章素养提升1　高考中函数与导数解答题的提分策略 5页

278 素养提升 1 高考中函数与导数解答 题的提分策略 1[2018 全国卷Ⅰ,21,12 分][文]已知函数 f (x)=aex - ln x - 1. (1)设 x=2 是 f (x)的极值点,求 a,并求 f (x)的单调区间; (2)证明:当 a≥ 1 e 时,f (x)≥0. (1)求导得 f '(x)=aex - 1 ,令 f '(2)=0,求出 a 的值;解 f '(x)>0 或 f '(x)<0,求出 f (x)的 单调区间. (2)当 a≥ 1 e 时,f (x)≥ e e - ln x - 1,令 g(x)= e e - ln x - 1,证明 g(x)min≥0 即可. (1)f (x)的定义域为(0,+∞),f ' (x)=aex - 1 ....................................................................... ① 由题设知,f ' (2)=0,所以 a= 1 2e2 .......................................................................................................② 从而 f (x)= 1 2e2 ex - ln x - 1,f ' (x)= 1 2e2 ex - 1 (x>0). 当 02 时,f ' (x)>0.......................................................................... (分类讨论) 所以 f (x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).......................................................... ③ (2)当 a≥ 1 e 时,f (x)≥ e e - ln x - 1............................................................................................................④ 设 g(x)= e e - ln x - 1(x>0),.............................................................................................. (构造函数求最值) 则 g' (x)= e e − 1 (x>0). 当 01 时,g' (x)>0. 所以当 x=1 时,g(x)取得最小值...................................................................................................... ⑤ 故当 x>0 时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当 a≥ 1 e 时,f (x)≥0.......................................................................................................................⑥ 感悟升华 阅 卷 现 场 得分点 第(1) 问 采 点 得 分 说 明 ①对函数求导正确得 1 分; ②由 f '(2)=0 求出 a 的值得 1 分; ③求出 f (x)的单调区间得 3 分. 5 分 第 (2) 问 采 点 得 分 说 明 ④由 a≥ 1 ,利用放缩法得 f (x)≥ x - ln x - 1 得 2 分; ⑤构造函数 g(x)= x - ln x - 1,利用导数求出 g(x) 的最小值 g(1)得 3 分; ⑥正确得出结论得 2 分. 7 分 答 题 模 板 [思维流程]——函数与导数解答题 [审题方法]——审结论 解决问题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误,因而解 决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审 视结论,就是在结论的启发下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转 化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近 条件,从而发现和确定解题方向. 2[2019 全国卷Ⅲ,20,12 分][文]已知函数 f (x)=2x3 - ax2+2. (1)讨论 f (x)的单调性; (2)当 00,则当 x∈( - ∞,0)∪( 3 ,+∞)时,f ' (x)>0;当 x∈(0, 3 )时,f '(x)<0. 故 f (x)在( - ∞,0),( 3 ,+∞)上单调递增,在(0, 3 )上单调递减...............................................................② 若 a=0,则 f (x)在( - ∞,+∞)上单调递增...........................................................................................③ 若 a<0,则当 x∈( - ∞, 3 )∪(0,+∞)时,f ' (x)>0;当 x∈( 3 ,0)时,f '(x)<0. 故 f (x)在( - ∞, 3 ),(0,+∞)上单调递增,在( 3 ,0)上单调递减...............................................................④ (2)当 00,故 f (x)在(0,+∞)上单调递增............................ 3 分(得分点 2) 若 a<0,则当 x∈(0, - 1 2 )时,f ' (x)>0;当 x∈( - 1 2 ,+∞)时,f ' (x)<0. 故 f (x)在(0, - 1 2 )上单调递增,在( - 1 2 ,+∞)上单调递减.............................................5 分(得分点 3) (2)由(1)知,当 a<0 时,f (x)在 x= - 1 2 取得最大值,最大值为 f ( - 1 2 )=ln( - 1 2 ) - 1 - 1 4 . 所以 f (x)≤ - 3 4 - 2 等价于 ln( - 1 2 ) - 1 - 1 4 ≤ - 3 4 - 2,即 ln( - 1 2 )+ 1 2 +1≤0..................8 分(得分点 4) 设 g(x)=ln x - x+1,则 g'(x)= 1 - 1. 当 x∈(0,1)时,g'(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,g'(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 故当 x=1 时,g(x)取得最大值,最大值为 g(1)=0........................................................ 10 分(得分点 5) 所以当 x>0 时,g(x)≤0. 从而当 a<0 时,ln( - 1 2 )+ 1 2 +1≤0,即 f (x)≤ - 3 4 - 2......................................................12 分(得分点 6) 感悟升华 命题 探源 本题第(2)问的实质是证明 ln( - 1 2 )+ 1 2 +1≤0,是不等式 x - 1≥ln x 的 变形,源于人教 A 版教材《选修 1 - 1》P 99【习题 3.3】B 组的题, 是在教材基本框架 ex>1+x 与 x≥1+ln x 的基础上,结合函数性质编 制的优美试题,2016 年全国Ⅲ卷 T21,2017 年全国Ⅲ卷 T21 有异 曲同工之处. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 导数的计算、解一元二次不等式、解分式不等式. 逻辑推理 用导函数的符号判断函数的单调性,不等式的恒成 立转化为函数问题. 思想 方法 分类讨 论思想 分类讨论解决含参数的函数的单调性. 函数与方 程思想 把不等式问题转化为函数问题. 得分 要点 ①得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”,求得满分.如第(1) 问,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用单调性求 g(x)的最小值和 不等式性质的运用. ②得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分.如 第(1)问中,求出 f (x)的定义域, f (x)在(0,+∞)上单调性的判断;第(2) 问中, f (x)最值的判定,f (x)≤ - 3 4 - 2 等价转化为 ln( - 1 2 )+ 1 2 +1≤0 等. ③得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1) 问中,求导要准确,否则全盘皆输,第(2)问中,准确计算 f (x)的最大 值. 答题 模板 解答函数与导数综合问题的步骤 第一步:求函数 f (x)的导函数 f '(x). 第二步:分类讨论 f (x)的单调性. 第三步:利用单调性求 f (x)的最大值. 第四步:根据要证的不等式的结构特点,构造函数 g(x). 第五步:求 g(x)的最大值,得出要证的不等式. 第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.