【数学】2018届一轮复习人教A版 指数与指数函数 学案 7页

第5讲　指数与指数函数 最新考纲　1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.‎ 知 识 梳 理 ‎1.根式 ‎(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.‎ ‎(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ ‎2.分数指数幂 ‎(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.‎ ‎(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.‎ ‎3.指数函数及其性质 ‎(1)概念；函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.‎ ‎(2)指数函数的图象与性质 a>1‎ ‎00时，y>1；‎ 当x<0时，01；‎ 当x>0时，01)的值域是(0，＋∞).(　　)‎ 解析　(1)由于＝＝4，故(1)错.‎ ‎(2)(－1)＝＝1，故(2)错.‎ ‎(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.‎ ‎(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)‎ A.－9 B.7‎ C.－10 D.9‎ 解析　原式＝(26)－1＝8－1＝7.‎ 答案　B ‎3.函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ 解析　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.‎ 答案　D ‎4.(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝‎1.50.6‎，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a1，∴b0，b>0)；‎ ‎(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.‎ 解　(1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.‎ ‎(2)原式＝＋－＋1‎ ‎＝＋500－10(＋2)＋1‎ ‎＝＋10－10－20＋1＝－.‎ 规律方法　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.‎ ‎(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.‎ ‎(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.‎ ‎【训练1】 化简求值：‎ ‎(1)＋2－2·－(0.01)0.5；‎ ‎(2).‎ 解　(1)原式＝1＋×－ ‎＝1＋×－＝1＋－＝.‎ ‎(2)原式＝＝a－－－·b＋－＝.‎ 考点二　指数函数的图象及应用 ‎【例2】 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)‎ ‎(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.‎ 解析　(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，‎ 又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，‎ 因此排除B、C、D，只有A满足.‎ ‎(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].‎ 答案　(1)A　(2)[－1，1]‎ 规律方法　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.‎ ‎(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)‎ ‎(2)方程2x＝2－x的解的个数是________.‎ 解析　(1)因为当x≤0时，2x≤1；当x>0时，2x>1.‎ 则f(x)＝1⊕2x＝图象A满足.‎ ‎(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).‎ 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.‎ 答案　(1)A　(2)1‎ 考点三　指数函数的性质及应用(易错警示)‎ ‎【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是(　　)‎ A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62‎ C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1‎ ‎(2)已知函数f(x)＝.‎ ‎①若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎②若f(x)有最大值3，求a的值；‎ ‎③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.‎ ‎(1)解析　A中，‎ ‎∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，‎ ‎∴1.72.5<1.73，错误；‎ B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，‎ ‎∴0.6－1>0.62，正确；‎ C中，∵(0.8)－1＝1.25，‎ ‎∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.‎ ‎∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，‎ ‎∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；‎ D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，‎ ‎∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.‎ 答案　B ‎(2)解　①当a＝－1时，f(x)＝，‎ 令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.‎ 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x ‎)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).‎ ‎②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，‎ 因此必有解得a＝1，‎ 即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.‎ ‎③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.‎ 规律方法　(1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.‎ ‎(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.‎ 易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.‎ ‎【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(‎2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.a0时，f(x)为增函数，‎ log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，‎ 所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(‎2m)＝f(0)，‎ 故b＞a＞c，选B.‎ ‎(2)当x≥8时，f(x)＝x≤3，‎ ‎∴x≤27，即8≤x≤27；‎ 当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.‎ 综上，x∈(－∞，27].‎ 答案　(1)B　(2)(－∞，27]‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.‎ ‎2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.‎ ‎3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.‎ ‎2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围. ‎