2021高考数学大一轮复习单元质检七不等式推理与证明理新人教A版 7页

单元质检七　不等式、推理与证明 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第13页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)‎ ‎1.已知a>0,b>0,且‎1‎a‎,‎1‎‎2‎,‎‎1‎b成等差数列,则a+9b的最小值为 (　　)‎ A.16 B.9 C.5 D.4‎ 答案:A 解析:∵‎1‎a‎,‎1‎‎2‎,‎‎1‎b成等差数列,∴‎1‎a‎+‎‎1‎b=1.‎ ‎∴a+9b=(a+9b)‎1‎a‎+‎‎1‎b=10+ab‎+‎‎9ba≥10+2ab‎·‎‎9ba=16,‎ 当且仅当ab‎=‎‎9ba,且‎1‎a‎+‎‎1‎b=1,‎ 即a=4,b=‎4‎‎3‎时等号成立.故选A.‎ ‎2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理(　　)‎ A.结论正确 ‎ B.大前提不正确 C.小前提不正确 ‎ D.全不正确 答案:C 解析:因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.‎ ‎3.(2019北京,理5)若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为(　　)‎ A.-7 B.1 C.5 D.7‎ 答案:C 解析:由题意得‎-1≤y≤1,‎y-1≤x≤1-y,‎作出可行域如图阴影部分所示.设z=3x+y,y=z-3x,当直线l0:y=z-3x经过点(2,-1)时,z取最大值5.故选C.‎ 7‎ ‎4.已知某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=8时该命题不成立,那么可推得(　　)‎ A.当n=7时该命题不成立 B.当n=7时该命题成立 C.当n=9时该命题不成立 D.当n=9时该命题成立 答案:A 解析:由题意可知,原命题成立则逆否命题成立.‎ 若命题对n=8不成立,则命题对n=7也不成立,‎ 否则若当n=7时命题成立,由已知必推得n=8时命题也成立,‎ 与当n=8时命题不成立矛盾,‎ 故选A.‎ ‎5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(　　)‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案:B 解析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数 7‎ 个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.‎ ‎6.已知x,y满足约束条件x-y≥0,‎x+y-2≥0,‎x≤4,‎当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.[-1,1] B.(-∞,1)‎ C.(0,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞)‎ 答案:B 解析:作出约束条件x-y≥0,‎x+y-2≥0,‎x≤4‎所对应的平面区域,如图(阴影部分)所示.‎ 目标函数z=ax-y可化为y=ax-z,可知直线y=ax-z的斜率为a,在y轴上的截距为-z.‎ ‎∵z=ax-y仅在点A(4,4)处取得最小值,‎ ‎∴斜率a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1),故选B.‎ ‎7.不等式‎1‎a-b‎+‎1‎b-c+‎λc-a>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0] B.(-∞,1) ‎ C.(-∞,4) D.(4,+∞)‎ 答案:C 解析:变形得λ<(a-c)·‎1‎a-b‎+‎‎1‎b-c=[(a-b)+(b-c)]·‎1‎a-b‎+‎‎1‎b-c=1+a-bb-c‎+‎b-ca-b+1,而1+a-bb-c‎+‎b-ca-b+1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C.‎ ‎8.若平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(　　)‎ A.n+1 B.2n ‎ 7‎ C.n‎2‎‎+n+2‎‎2‎ D.n2+n+1‎ 答案:C 解析:1条直线将平面分成1+1=2个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域……n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+n(n+1)‎‎2‎‎=‎n‎2‎‎+n+2‎‎2‎个区域,故选C.‎ ‎9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x‎8‎天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)‎ A.60件 B.80件 ‎ C.100件 D.120件 答案:B 解析:设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=‎800‎x‎+‎x‎8‎≥2‎800‎x‎·‎x‎8‎=20,当且仅当‎800‎x‎=‎x‎8‎(x>0),即x=80时等号成立,故选B.‎ ‎10.已知P(x,y)为区域y‎2‎‎-4x‎2‎≤0,‎a≤x≤0‎内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=x-2y的最小值是(　　)‎ A.-5‎2‎ B.-3‎2‎ C.-‎2‎ D.0‎ 答案:A 解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,‎ 则A(a,2a),B(a,-2a),‎ 7‎ S△ABO=‎1‎‎2‎×|a|×|4a|=2a2=4,‎ 解得a=-‎2‎(正值舍去),‎ 所以A‎-‎2‎,-2‎‎2‎,B‎-‎2‎,2‎‎2‎.‎ 由目标函数的几何意义可得,‎ 当z=x-2y过点B时取得最小值,此时z=x-2y=-‎2‎-2×2‎2‎=-5‎2‎.‎ 故选A.‎ ‎11.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(　　)‎ A.a+‎1‎b‎<‎b‎2‎a0,b>0,若不等式‎4‎a‎+‎1‎b≥‎ma+4b恒成立,则m的最大值为(　　)‎ A.9 B.12 C.16 D.10‎ 答案:C 解析:由‎4‎a‎+‎1‎b≥‎ma+4b,得m≤‎4‎a‎+‎‎1‎b(a+4b)=8+ab‎+‎‎16ba,8+ab‎+‎‎16ba≥8+2ab‎×‎‎16ba=16,当且仅当a=4b时等号成立.所以m的最大值为16.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎13.观察分析下表中的数据:‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 7‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 正方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　　　　　. ‎ 答案:F+V-E=2‎ 解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.‎ ‎14.已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为　　　　　. ‎ 答案:lg 2‎ 解析:∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg‎10‎0‎x+1‎‎1‎‎0‎x=lg(10x+1‎0‎‎-‎x)≥lg2,当且仅当x=0时等号成立,‎ ‎∴f(x)的最小值为lg2.‎ ‎15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+…+f(xn)‎n≤fx‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn.若y=sin x在区间(0,π)内是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　. ‎ 答案:‎‎3‎‎3‎‎2‎ 解析:由题意,知凸函数f(x)满足f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+…+f(xn)‎n≤fx‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn.‎ ‎∵y=sinx在区间(0,π)内是凸函数,‎ ‎∴sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C‎3‎=3sinπ‎3‎‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎16.(2019河北涞水波峰中学高三二模)设x,y满足约束条件x-y+2≥0,‎x+y≥0,‎x≤3,‎则z=(x+1)2+y2的最大值为　　　　　. ‎ 答案:41‎ 解析:作出可行域如图所示(阴影部分),z=(x+1)2+y2表示可行域内的点到点(-1,0)的距离的平方,观察图形可知,可行域内的点B到点(-1,0)的距离最大,由x-y+2=0,‎x=3,‎解得点B的坐标为(3,5),故z=(x+1)2+y2的最大值为(3+1)2+52=41.‎ 7‎ 7‎