2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(四十四)　空间点、直线、平面之间的位置关系 6页

课时跟踪检测(四十四)　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 ‎1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 ‎2．(2015·云南思茅模拟)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是(　　)‎ A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 ‎3．(2015·济宁一模)直线l1，l2平行的一个充分条件是(　　)‎ A．l1，l2都平行于同一个平面 B．l1，l2与同一个平面所成的角相等 C．l1平行于l2所在的平面 D．l1，l2都垂直于同一个平面 ‎4．(2015·太原期末检测)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)‎ A．平行　　 　B．相交　　　 C．垂直　　　 D．异面 ‎5．(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 ‎6．(2014·全国大纲卷)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎7．(2015·济南一模)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．‎ ‎8．(2015·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；‎ ‎④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．‎ 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎9．(2015·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．‎ ‎10．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．‎ 三、解答题 ‎11．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎12．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．‎ ‎(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ 答案 ‎1．选B　若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；当l1∥l2∥l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确；当l1⊥l2，l2∥l3时，则有l1⊥l3，故选B.‎ ‎2．选C　C中，当m⊂α时，若n∥α，则直线m，n可能平行，可能异面；若m∥n，则n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故选C.‎ ‎3．选D　对A，当l1，l2都平行于同一个平面时，l1与l2可能平行、相交或异面；对B，当l1，l2与同一个平面所成角相等时，l1与l2可能平行、相交或异面；对C，l1与l2可能平行，也可能异面，只有D满足要求，故选D.‎ ‎4．选C　直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．‎ ‎5．选D　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.‎ ‎6.选B　法一：设正四面体ABCD的棱长为2.如图，取AD的中点F，连接EF，CF.‎ 在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝BD＝1.‎ 故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角．‎ 在△ABC中，CE＝AB＝；‎ 在△ADC中，CF＝AD＝.‎ 在△CEF中，cos∠CEF＝ ‎＝＝.‎ 所以直线CE与BD所成角的余弦值为.‎ 法二：设正四面体ABCD的棱长为2.‎ 如图，取AD的中点F，连接EF，CF.‎ 在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝BD＝1.故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角．‎ 在△ABC中，CE＝AB＝；‎ 在△ADC中，CF＝AD＝.‎ 取EF的中点H，连接CH，‎ 则EH＝EF＝，且CH⊥EF.‎ 在Rt△CEH中，cos∠CEF＝＝＝.‎ 所以直线CE与BD所成角的余弦值为.‎ ‎7．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.‎ 答案： ‎8．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．‎ 答案：①‎ ‎9．解析：如图，取A‎1C1的中点D1，‎ 连接B1D1，‎ 因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝a，所以AB1＝a，B1D1＝a，‎ AD1＝ ＝a.‎ 所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，‎ cos ∠AB1D1＝＝＝，所以∠AB1D1＝60°.‎ 答案：60°‎ ‎10．解析：法一：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．‎ 法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．‎ 答案：无数 ‎11．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎12．解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，‎ 所以GH綊AD.又BC綊AD，‎ 故GH綊BC.‎ 所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：‎ 由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，‎ 所以EF綊BG.‎ 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．‎ 又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．‎