西藏拉萨市那曲二高2019届高三上学期第一次月考数学（理）试题 17页

数学（理科）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式,再由交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】由题,,解得,则,‎ 所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式和,再由并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】由题,,解得,即；‎ ‎,解得,则,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合的并集运算,考查解一元二次不等式.‎ ‎3.已知集合，，则中有几个元素（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合表示椭圆上的点的集合,集合表示直线上的点的集合,则表示椭圆与直线的交点的集合,即将问题转化为椭圆与直线的交点个数,联立求解即可.‎ ‎【详解】由题,联立,消去得,则,‎ 即椭圆与直线有两个交点,‎ 所以中有2个元素,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,考查椭圆与直线的位置关系的判定,考查转化思想.‎ ‎4.（ ）‎ A. i B. ‎1 ‎C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将整理为形式,再求模即可.‎ ‎【详解】由题,,所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的模.‎ ‎5.已知定义在R上的奇函数满足且当时，‎ 则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知是周期为3的函数,再由是定义在上的奇函数,可得,则,即可将代入解析式求解.‎ ‎【详解】由题,因为,所以的周期为3,‎ 则,‎ 又因为是定义在上的奇函数,‎ 所以,‎ 即,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值,属于基础题.‎ ‎6.已知幂函数，且过则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将代入中解得,再将代入求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为过,所以,则,所以,‎ 则,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查求函数值,考查幂函数的解析式的应用.‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数相同．所以．‎ ‎【详解】因为，，所以，故选A．‎ ‎【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．‎ ‎2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.‎ ‎3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.‎ 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，当输入的的值为4时，输出的的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出，需要x>4，本题选择B选项.‎ 方法二：若空白判断框中的条件x>3，输入x=4，满足4>3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，‎ 若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2，故B正确；‎ 若空白判断框中的条件x⩽4，输入x=4，满足4=4，满足x⩽4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，‎ 若空白判断框中的条件x⩽5，输入x=4，满足4⩽5，满足x⩽5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，‎ 本题选择B选项.‎ ‎9.若，且，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎2 ‎C. 1 D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可行域如图，直线过点（1,1）时取最小值为2，选B.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎10.设，，．若，则实数的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．‎ 考点：平面向量数量积．‎ ‎11.写出的极坐标方程（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,且,‎ 所以其极坐标方程为,即,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,属于基础题.‎ ‎12.函数的部分图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．‎ 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.‎ ‎13.已知：且，则________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由的解析式先判断的奇偶性,再利用函数的奇偶性求解即可.‎ ‎【详解】由题,显然,因为,‎ 所以,则为偶函数,‎ 所以,‎ 故答案为:8‎ ‎【点睛】本题考查求函数值,考查函数的奇偶性的应用.‎ ‎14.已知圆的参数方程为，则该圆的圆心是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆心为,半径为的圆的参数方程为,则对应圆的参数方程即可得到结果.‎ ‎【详解】因为圆心为,半径为的圆的参数方程为,‎ 由题,圆的参数方程为,‎ 所以圆心为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查圆的参数方程,属于基础题.‎ ‎15.若则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得,则,将代入求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,所以,‎ 则,‎ 又,所以,即,‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查由分段函数求函数值,属于基础题.‎ ‎16.函数：有________个零点.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数判断的单调性,可知为的极小值且,即可判断零点个数.‎ ‎【详解】由题,,令,则,,‎ 所以在,上单调递增,在上单调递减,‎ 则的值域为,且为的极小值,‎ 因为,‎ 所以只有1个零点,‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查函数的零点个数问题.‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知是数列的前n项和，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：是等差数列，并且求出的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，则.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当时,,当时也符合,则可得,利用为常数即可证明；‎ ‎（Ⅱ）由题可得,利用裂项相消法求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明:当时,,‎ 当时,,也符合,‎ 又,是一个常数,故是等差数列,且；‎ ‎（Ⅱ）因,‎ 则 ‎【点睛】本题考查等差数列的证明,考查由与的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和.‎ ‎18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．‎ ‎（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；‎ ‎(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.‎ ‎【详解】(1) 由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，‎ 可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，‎ 所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)随机变量的所有可能取值为，‎ 则，‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以随机变量的数学期望．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)首先由题意证得平面.然后结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面；‎ ‎(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可得平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为侧棱底面，‎ 所以，‎ 又因为，，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以，‎ 设，由，，是棱的中点.‎ 所以，，‎ 则 ，‎ 所以，‎ 因，‎ 所以平面.‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）如图所示，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 不妨设，则，，，.‎ 显然是平面一个法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 由 ‎ 令，得平面的一个法向量，‎ 所以 ，‎ 即平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ 点睛：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.‎ ‎20.已知椭圆的长半轴，其中离心率，‎ ‎（Ⅰ）求出该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求该椭圆被直线所截的弦长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由及可得,再利用解得,则分别讨论焦点在轴与轴的情况,即可得到结果；‎ ‎（Ⅱ）联立直线与椭圆方程,由直线的对称性,则所截弦长为,求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题,因为,且,‎ 所以,则,‎ 当焦点在轴上时,椭圆的方程为；‎ 当焦点在轴上时,椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）,当椭圆方程为时,联立,消去可得,则,‎ 因为关于原点对称,所以截得弦长为；‎ 当椭圆的方程为时,联立,消去可得,则,‎ 因为关于原点对称,所以截得弦长为.‎ ‎【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆方程,考查求弦长.‎ ‎21.已知函数 ‎（Ⅰ）讨论它的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求出该函数的极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上递减；（Ⅱ）不存在极值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导可得,设,由可知恒成立,即恒成立,即可判断的单调性；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知单调递减,则可知不存在极值.‎ ‎【详解】解:（Ⅰ）因为,则,‎ 所以,‎ 设,因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 则在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）,因为在上单调递减,‎ 所以不存在极值.‎ ‎【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数求极值.‎ 请考生在22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ ‎22.‎ 在平面直角坐标系中，参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）为参数，‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．‎ ‎（2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数， ．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．‎ ‎23. 选修4-5不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）若，则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．‎ ‎（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．‎ 考点：推理证明．‎