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- 2021-06-16 发布
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[基础题组练]
1.最小正周期为π且图象关于直线x=对称的函数是( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
解析:选B.由函数的最小正周期为π,可排除C.由函数图象关于直线x=对称知,该直线过函数图象的最高点或最低点,对于A,因为sin=sin π=0,所以选项A不正确.对于D,sin=sin=,所以D不正确,对于B,sin=sin=1,所以选项B正确,故选B.
2.(2020·合肥市第一次教学质量检测)函数y=sin(ωx+)在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:选D.由题意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+kπ(k∈Z),因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=,故选D.
3.(2020·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在上单调递减且为偶函数的是( )
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=|tan x| D.y=-ln|sin x|
解析:选D.A.y=sin|x|在上单调递增,故A错误;B.y=cos|x|=cos x周期为T=2π,故B错误;C.y=|tan x|在上单调递增,故C错误;D.f(x+π)=-ln|sin(x+π)|=-ln|sin x|,周期为π,当x∈时,y=-ln(sin x)是在上单调递减的偶函数,故D正确,故选D.
4.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在(,π)上单调递减
解析:选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=时,x+=3π,所以cos=-1,所以B正确;f(x+π)=cos=cos,当x=时,x+=,所以f(x+π)=0,所以C正确;函数f(x)=cos在上单调递减,在上单调递增,故D不正确.所以选D.
5.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
解析:选B.易知函数y=sin x的单调区间为
[kπ+,kπ+],k∈Z,
由kπ+≤ωx+≤kπ+,k∈Z,得≤x≤,k∈Z,
因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,
所以f(x)在区间(π,2π)内单调,
所以(π,2π)⊆,k∈Z,
所以k∈Z,解得k+≤ω≤+,k∈Z,
由k+≤+,得k≤,
当k=0时,得≤ω≤;
当k=-1时,得-≤ω≤.
又ω>0,所以0<ω≤.
综上,得ω的取值范围是∪.故选B.
6.已知函数f(x)=sin,f′(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f′(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析:选A.由题意,得f′(x)=2cos,所以y=2f(x)+f′(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以y=2f(x)+f′(x)的一个单调递减区间为,故选A.
7.函数y=lg sin x+ 的定义域为________.
解析:要使函数有意义,则有
即解得(k∈Z),
所以2kπ0),直线y=与函数f(x)图象相邻两交点的距离为π.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若点是函数y=f(x)图象的一个对称中心,且b=3,求△ABC面积的最大值.
解:(1)函数f(x)=sin-2cos2x+1
=sin ωxcos-cos ωxsin-2·+1
=sin ωx-cos ωx=sin.
因为f(x)的最大值为,所以f(x)的最小正周期为π,
所以ω=2.
(2)由(1)知f(x)=sin,
因为sin=0⇒B=,
因为cos B===,
所以ac=a2+c2-9≥2ac-9,ac≤9,
故S△ABC=acsin B=ac≤.
故△ABC面积的最大值为.
5.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.
解:(1)因为x∈,所以2x+∈.
所以sin∈,
所以-2asin∈[-2a,a].
所以f(x)∈[b,3a+b],又因为-5≤f(x)≤1,
所以b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,所以4sin-1>1,
所以sin>,
所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ