甘肃省张掖市第二中学2020届高三11月月考数学（文）试卷 12页

数学（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．已知函数是定义在上周期为的奇函数，且当时，，‎ 则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知向量，若，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则为（ ）‎ A． B．1 C.2 D．4‎ ‎6．己知,则 A. B・ C.. D.‎ ‎7．已知正数项等比数列中，，且与的等差中项是，则（ ）‎ A．2 B． C．4 D．2或4‎ ‎8．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．若A、B为圆上任意两点，为轴上的一个动点，则 的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ 图1‎ ‎1‎ ‎1‎ 图2‎ ‎11．如图1，已知正方体的棱长为，为棱的中点，分别是线段，，上的点，若三棱锥的俯视图如图2，则点到平面距离的最大值为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12．已知函数，若()，则的最大值为（）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．，，则__________.‎ ‎14. ‎ ‎15．若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是__________．‎ ‎16．已知函数的最小正周期为，若在时所求函数值中没有最小值，则实数的范围是_________‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）已知正项数列的前项和满足：．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18．（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 n ‎0.350‎ 第3组 ‎30‎ p 第4组 ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.000‎ ‎（1）求频率分布表中n，p的值，并估计该组数据的中位数（保留l位小数）；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方 法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试？‎ ‎（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第 ‎4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，面，，是的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，。且不 等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴 对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．‎ ‎22．（本小题满分12分）在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的最小值．‎ ‎22．（本小题满分12分）设函数．‎ ‎（1）若的最小值是，求的值；‎ ‎（2）若对于任意的实数，总存在，使得 成立，求实 数的取值范围．‎ 数学（文科）答案 ‎1答案】D【详解】复数 对应的点坐标为在第四象限 ‎2【答案】A【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案.‎ ‎【详解】当,可以得到,反过来若，至少有或，所以为充分不必要条件 ‎3【答案】B 由题意，函数是定义在上周期为的奇函数，所以，‎ 又时，，则，所以，故选B.‎ ‎4【答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．‎ ‎【详解】向量（2，﹣1），（1，λ），则（4，﹣1+2λ），（3，﹣2﹣λ），‎ 又（）∥（），所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0，解得λ．故选：D．‎ ‎5【答案】B【解析】由题意得，选B.‎ ‎6‎ ‎7．与的等差中项是，所以，即，‎ 负值舍去，故选B．‎ ‎8【答案】D【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 ，由题可得当时，.即函数的图象的一个对称中心是 故选D ‎10【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为,故 ‎,根据面积公式有,而,解得,故实轴长,选B ‎11解:由俯视图知，为的中点, 为的中点，平面平面，平面，当与重合，点到平面的距离最大，最大值为，故选D.‎ ‎12解:当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，可设()，其中，则，，‎ ‎()，令，，由，‎ 得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，故选C.‎ ‎13 ‎ ‎14‎ ‎【解析】∵，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，‎ ‎16.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，‎ 当时，，因为时所求函数值中没有最小值，‎ 所以，解得，所以的取值范围是，‎ ‎17【答案】（1）；（2）‎ ‎【试题解析】（1）由已知，可得 当时，，可解得，或，由是正项数列，故.‎ 当时，由已知可得，，两式相减得，.化简得，‎ ‎∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）∵，代入化简得，显然是等差数列，‎ ‎∴其前项和.‎ ‎【答案】（1），，中位数估计值为171.7（2）第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1（3）‎ ‎【分析】（1）由频率分布表可得：，，由中位数的求法可得中位数估计值为171.7；‎ ‎（2）因为笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为，由分层抽样的方法选6名学生，三个小组分别选的人数为3、2、1；‎ ‎（3）先列举出从6名学生中随机抽取2名学生的不同取法，再列举出第4组至少有1名学生被甲考官面试的取法，再结合古典概型的概率公式即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由已知：，，‎ ‎，，中位数为171.7，即中位数估计值为171.7，‎ ‎（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为，现用分层抽样的方法选6名学生。故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1。‎ ‎（3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为，，，‎ 第4组的2名学生为，，第5组的1名学生为 ‎，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A。‎ 则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，一共15种。‎ A事件有：，，，，，，，，，一共9种。，答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 证：（Ⅰ）由A1A⊥平面ABC，CM平面ABC，则A1A⊥CM．‎ 由AC＝CB，M是AB的中点，则AB⊥CM．‎ 又A1A∩AB＝A，则CM⊥平面ABB1A1，‎ 又CM平面A1CM，所以平面A1CM⊥平面ABB1A1．…………6分 ‎（Ⅱ）设点M到平面A1CB1的距离为h，‎ 由题意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2，S△A1CB1＝2，S△A1MB1＝2．‎ 由（Ⅰ）可知CM⊥平面ABB1A1，得，VC－A1MB1＝MC·S△A1MB1‎ ‎＝VM－A1CB1＝h·S△A1CB1，‎ 所以，点M到平面A1CB1的距离h＝＝． …………12分 ‎21．（1）因为，所以， …………1分 所以，又，故所求的切线方程为，即 …………4分 ‎（2）因为 所以， …………5分 由题意有两个不同的正根，即有两个不同的正根，‎ 则， …………7分 不等式恒成立等价于恒成立 又 ‎ ‎ 所以， …………10分 令（），则，‎ 所以在上单调递减， …………11分 所以，所以 …………12分 ‎21【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为 ‎【分析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得，再求得，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线的方程为，再设，，，，则，．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出所在直线方程，取求得值，即可证明直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知. 解得.‎ 又，椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线的方程为.‎ 设，，则. 由，消去，可得 ‎.‎ ‎，. ，.‎ ‎，直线的方程为.‎ 令，可得. ..‎ 直线经过轴上定点，其坐标为.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），.‎ 由直角坐标与极坐标的互化关系，. 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得 ‎.，‎ 可设是方程的两个实数根，则，.‎ ‎，‎ 当时，等号成立. 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎22【答案】（1）；（2）‎ 详解：（Ⅰ），‎ 由已知，知，解得.‎ ‎（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.‎ 即，变形得，∴，∴.‎ 点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；‎