【数学】广东省东莞市2020届高三下学期第二次统考6月模拟考试（最后一卷）试题（文） 13页

广东省东莞市2020届高三下学期第二次统考6月模拟考试（最后一卷）数学试题（文）‎ 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复数，为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心。若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为 A. B. C. D. ‎ ‎4.设等差数列前项和，满足，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：）进行质检，若从这批轮胎中随机选取个，至少有个轮胎的宽度在内，则称这批轮胎基本合格。已知这批轮胎的宽度分别为，则这批轮胎基本合格的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。如右图将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为，母线长均为，记过圆锥轴的平面为平面(与两个圆锥侧面的交线为)，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知为锐角，，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知三点不共线，且点满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.已知的内角的对边分别为，，‎ 则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.在三棱锥中,与均为边长为的等边三角形,且二面角 的平面角为,则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）‎ ‎13．已知实数，满足，则目标函数的最大值为 .‎ ‎14.设等比数列前项和，满足，则公比为 .‎ ‎15.若非零向量满足，，则与的夹角为 .‎ ‎16．在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为__________.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22、23题为选考题，考生根据要求做答）‎ ‎（一）必考题（60分）‎ ‎17. （12分）‎ 已知数列是等比数列，数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎18. （12分）‎ 已知几何体中，，，，面，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离． ‎ ‎19．（12分）‎ 为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在 以内的产品为合格品。旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示。‎ ‎（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率。‎ ‎（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高。根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”。‎ 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 ‎（3）已知每件产品的纯利润（单位：元）与产品质量指标的关系式为。若每台新设备每天可以生产件产品，买一台新设备需要万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本。‎ 参考公式：，其中．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．（12分）‎ 已知点、点及抛物线．‎ ‎（1）若直线过点及抛物线上一点，当最大时求直线的方程；‎ ‎（2）轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）‎ 已知．‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若不等式在，上恒成立，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分）‎ ‎22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）‎ 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.若为曲线上的动点,是射线上的一动点,且满足，记动点的轨迹为 ‎（1）求的直角坐标方程;‎ ‎（2）若曲线与曲线交于两点,求的面积.‎ ‎23. 【选修45：不等式选讲】 （10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时,解不等式；‎ ‎（2）若对于任意的实数恒成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案