【数学】2018届一轮复习人教A版专题一三角学案 48页

江苏 新高考 新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等(简称为：变角、变名、变次).备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.‎ 三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值(见2014年三角解答题)，第二类是给出在三角形中(见2011年、2015年、2016年三角解答题)，第三类是给出向量(见2013年、2017年三角解答题).而2012年三角解答题则是二、三类的混合.‎ 第1课时三角函数(基础课)‎ ‎[常考题型突破]‎ 三角恒等变换 ‎[必备知识]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2017·江苏高考)若tan＝，则tan α＝‎ ‎________.‎ 解析：tan α＝tan ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎2．已知f(x)＝sin，若sin α＝，则f＝________.‎ 解析：∵sin α＝，‎ ‎∴cos α＝－，‎ ‎∴f＝sin＝sin＝(sin α＋cos α)＝×＝－.‎ 答案：－ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，‎ 所以cos＝ ＝.‎ tan＝tan＝－ ‎＝－＝－×＝－.‎ 答案：－ ‎4．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.‎ 解析：∵sin(C－A)＝1，‎ ‎∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，∵sin B＝，‎ ‎∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，‎ 即1－2sin2A＝，∴sin A＝.‎ 答案： ‎[方法归纳]‎ 三角恒等变换的“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；‎ ‎(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)升次与降次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．‎ ‎ ‎ 三角函数的图象与解析式 ‎[必备知识]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图：‎ 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换：‎ y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ ‎ ‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．‎ 答案： ‎2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.‎ 解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，∴φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，∴f(x)＝－sinx，∴f(1)＝－.‎ 答案：－ ‎3.(2017·天津高考改编)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.‎ 解析：∵f＝2，f＝0，‎ ‎∴－＝(2m＋1)，m∈N，‎ ‎∴T＝，m∈N，‎ ‎∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.‎ 由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.‎ 答案：　 ‎4．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为______．‎ 解析：由f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R成立，知f(x1)，f(x2)分别是函数f(x)的最小值和最大值．又要使|x1－x2|最小，∴|x1－x2|的最小值为f(x)的半个周期，即为2.‎ 答案：2‎ ‎[方法归纳]‎ (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.‎ (2)对于函数图象的平移问题，一定要弄清楚是由哪个函数图象平移到哪个函数图象，这是判断移动方向的关键点，否则易混淆平移的方向，导致结果出错.‎ 三角函数的性质 ‎[必备知识]‎ ‎1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．三角函数的奇偶性与对称性 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．已知f(x)＝2sin，则函数f(x)的最小正周期为________，f＝________.‎ 解析：周期T＝＝π，f＝2sin＝.‎ 答案：π　 ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ 解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，‎ 因为x∈，所以cos x∈[0,1]，‎ 因此当cos x＝时，f(x)max＝1.‎ 答案：1‎ ‎3．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)在上的单调递增区间为________．‎ 解析：依题意知，f(x)＝sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T＝＝2×＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，f(x)＝sin单调递增．因此，f(x)＝sin在上的单调递增区间为.‎ 答案： ‎[方法归纳]‎ 三角函数的单调性、周期性及最值的求法 ‎(1)三角函数单调性的求法 求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路：令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．‎ ‎(2)三角函数周期性的求法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.‎ ‎(3)三角函数最值(值域)的求法 在求最值(值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．‎ 正弦定理和余弦定理 ‎[必备知识]‎ ‎1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．‎ ‎2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.‎ ‎3．三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2017·盐城期中)在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．‎ 解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k，且角C是最大内角，由余弦定理知cos C＝＝＝－，因为0°0)的最小正周期为，则f的值为________．‎ 解析：因为f(x)的最小正周期为＝，所以ω＝10，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝－sin＝－.‎ 答案：－ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(－2，t)，且sin θ＋cos θ＝，则实数t的值为________．‎ 解析：∵角θ的终边经过点P(－2，t)，‎ ‎∴sin θ＝，cos θ＝，‎ 又∵sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴＋＝，即＝，‎ 则t＞2，平方得＝，‎ 即1－＝，即＝，‎ 则t2－5t＋4＝0，则t＝1(舍去)或t＝4.‎ 答案：4‎ ‎3．(2017·南京、盐城一模)将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝____________.‎ 解析：将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为f(x)＝3sin，即f(x)＝3sin.因为f(x)为偶函数，所以－2φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－－，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝.‎ 答案： ‎4．设函数y＝sin(0＜x＜π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为________．‎ 解析：由条件得sin＝1，又0＜x＜π，ω＞0，故ω＋＝，ω＝2.‎ 答案：2‎ ‎5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，则b的值为________．‎ 解析：∵2b＝a＋c，sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝4.‎ 答案：4‎ ‎6．(2017·扬州期末)已知cos＝0<α<，则sin(π＋α)＝________.‎ 解析：因为cos＝，‎ 所以<＋α<，‎ 有sin＝ ＝，‎ 所以sin(π＋α)＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋×＝.‎ 答案： ‎7．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.‎ 解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，‎ 所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，‎ 所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α ‎＝－(1－2sin2α)＝－＝－.‎ 答案：－ ‎8．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.‎ 解析：∵在△ABC中，A＝，‎ ‎∴a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc.‎ ‎∵a＝c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0，‎ ‎∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．若f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)是定义在R上的偶函数，则θ＝________.‎ 解析：因为f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)＝2sin为偶函数，所以θ－＝kπ＋，k∈Z.即θ＝kπ＋.因为－≤θ≤，所以θ＝－.‎ 答案：－ ‎10．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则c＝________.‎ 解析：根据题意得，sin B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin＝(sin B＋cos B)＝×＝，由＝，得＝，解得c＝7.‎ 答案：7‎ ‎11．(2017·无锡期末)设f(x)＝sin2x－cos x·cos，则f(x)在上的单调递增区间为________．‎ 解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增，令k＝0，得－≤x≤，所以函数f(x)在上的单调递增区间为.‎ 答案： ‎12．函数y＝asin(ax＋θ)(a＞0，θ≠‎ ‎0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．‎ 解析：易知函数y＝asin(ax＋θ)(a＞0，θ≠0)的最大值为a，最小值为－a，最小正周期T＝，所以相邻的最高点与最低点的距离为 ≥ ＝2，当且仅当＝2a，即a＝时等号成立．‎ 答案：2 ‎13．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．‎ 解析：由cos＋sin α＝，‎ 可得cos α＋sin α＋sin α＝，‎ 即sin α＋cos α＝，‎ ‎∴sin＝，sin＝，‎ ‎∴sin＝－sin＝－.‎ 答案：－ ‎14．(2017·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin，则tan＝________.‎ 解析：∵sin α＝3sin＝3sin αcos＋3cos α·sin＝sin α＋cos α，∴tan α＝.‎ 又tan ＝tan＝＝＝2－，‎ ‎∴tan＝ ‎＝＝2－4.‎ 答案：2－4‎ ‎1．如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．‎ 解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2017·南京考前模拟)已知函数f(x)＝sin－cos ωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间上是单调函数，则ω的取值集合为____________．‎ 解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，‎ 因为f(x)的图象关于直线x＝2π对称，‎ 所以f(2π)＝±1，‎ 则2πω－＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以ω＝＋，k∈Z.‎ 因为函数f(x)在区间上是单调函数，‎ 所以最小正周期T≥2，‎ 即≥π，解得0＜ω≤2，‎ 所以ω＝或ω＝或ω＝或ω＝.‎ 当ω＝时，f(x)＝sin，‎ x∈时，x－∈，‎ 此时f(x)在区间上为增函数；‎ 当ω＝时，f(x)＝sin，‎ x∈时，x－∈，‎ 此时f(x)在区间上为增函数；‎ 当ω＝时，f(x)＝sin，‎ x∈时，x－∈，‎ 此时f(x)在区间上为增函数；‎ 当ω＝时，f(x)＝sin，‎ x∈时，x－∈，‎ 此时f(x)在区间上不是单调函数；‎ 综上，ω∈.‎ 答案： ‎3．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则tan A＝________.‎ 解析：＝＝－＝－tan＝tan＝tan，‎ 所以－A－＝－，所以A＝－＝，‎ 所以tan A＝tan＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．已知函数f(x)＝Asin(x＋θ)－coscos(其中A为常数，θ∈(－π，0))，若实数x1，x2，x3满足：①x1＜x2＜x3，②x3－x1＜2π，③f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则θ的值为________．‎ 解析：函数f(x)＝A(sin xcos θ＋cos xsin θ)－cos·＝A(sin xcos θ＋cos x ‎ sin θ)－×－sin x＝sin x＋cos x－，故函数f(x)为常数函数或为周期T＝2π的周期函数．又x1，x2，x3满足条件①②③，故f(x)只能为常数函数，所以则tan θ＝，又θ∈(－π，0)，故θ＝－.‎ 答案：－ 第2课时平面向量(基础课)‎ ‎[常考题型突破]‎ 平面向量的概念及线性运算 ‎[必备知识]‎ ‎(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化．‎ ‎(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向被减向量．‎ ‎(3)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.‎ ‎(4)C是线段AB中点的充要条件是＝(＋)．G是△ABC的重心的充要条件为＋＋＝0.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2017·盐城期中)设向量a＝(2，－6)，b＝(－1，m)，若a∥b，则实数m＝________.‎ 解析：因为a∥b，所以2m－(－1)×(－6)＝0，所以m＝3.‎ 答案：3‎ ‎2．(2017·镇江模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.‎ 解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则 ＝＝×(＋)＝(＋)，∴＋＝3，故m＝3.‎ 答案：3‎ ‎3.(2017·南京考前模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点)，若＝λ＋μ，则＋的最小值为________．‎ ‎ 解析：以AB为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系如图所示，‎ 设B(2,0)，C(1，t)，M，N(x0，y0)，‎ 因为N在线段BC上，所以y0＝(x0－2)，‎ 即y0＝t(2－x0)，‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以 即t＝λt＋μy0＝λt＋μt(2－x0)，因为t≠0，‎ 所以1＝λ＋μ(2－x0)＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－，‎ 所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，‎ 所以4＝(3λ＋4μ)＝3＋12＋＋≥15＋2＝27, ‎ 所以＋≥当且仅当＝，即λ＝，μ＝时取等号．‎ 所以＋的最小值为.‎ 答案： ‎[方法归纳]‎ ‎(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．‎ ‎(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断． ‎ 平面向量的数量积 ‎[必备知识]‎ ‎1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎2．三个结论：‎ ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝ .‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．‎ 解析：因为＝，‎ 故＝，解得λ＝.‎ 答案： ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 解析：易知|a＋2b|＝＝＝2.‎ 答案：2 ‎3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．‎ 解析：∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，‎ 即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.‎ 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，‎ 解得t＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎4．(2017·南京、盐城二模)已知平面向量＝(1,2)，＝(－2,2)，则·的最小值为________．‎ 解析：设A(a，b)，B(c，d)，‎ ‎∵＝(1,2)，＝(－2,2)，‎ ‎∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)，‎ 则＝(c－a，d－b)，＝(c－a－3，d－b)，‎ ‎∴·＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)2＝(c－a)2－3(c－a)＋(b－d)2＝2－＋(b－d)2≥－.‎ ‎∴·的最小值为－.‎ 答案：－ ‎5．已知边长为6的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为________．‎ 解析：由题意可得点D为BC的中点，以点D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)，A(0，3)，B(－3,0)，C(3,0)，E(1,2)，直线BE的方程为y＝(x＋3)与AD(y轴)的交点为P，所以·＝·＝.‎ 答案： ‎[方法归纳] ‎ (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：‎ ‎①直接利用数量积的定义，围绕基底展开的运算，需要熟悉向量间的相互转化；‎ ‎②建立坐标系，通过坐标运算求解，需要熟悉数量积的坐标公式及平行、垂直的运算公式等，其中，涉及平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方.‎ (2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算. ‎ 平面向量的应用 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2017·南京三模)在四边形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，则四边形ABCD的面积为________．‎ 解析：因为·＝0，所以⊥，所以以BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，因为BD＝2，所以可设B(b,0)，D(2＋b,0)，A(0，a)，C(0，c)，所以＝(b，－a)，＝(－2－b，c)，＝(－b，c)，＝(2＋b，－a)，所以＋＝(－2，c－a)，＋＝(2，c－a)，因为(＋)·(＋)＝5，所以－4＋(c－a)2＝5，即(c－a)2＝9，所以||＝| c－a |＝3，所以四边形ABCD的面积为×AC×BD＝×3×2＝3.‎ 答案：3‎ ‎2．已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，C，D两点都在圆O上，且||＝2，则|＋|＝________.‎ 解析：如图，连结OC，OD，‎ 则＝＋，＝＋，‎ 因为O是AB的中点，‎ 所以＋＝0，‎ 所以＋＝＋，‎ 设CD的中点为M，连结OM，‎ 则＋＝＋＝2，‎ 显然△COD是边长为2的等边三角形，‎ 所以||＝，‎ 故|＋|＝|2|＝2.‎ 答案：2 ‎3.(2017·南通三模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝DC＝2.若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则·的取值范围是________．‎ 解析：法一：因为＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝3||－2||，因为E，F分别是线段DC和BC上的动点，且BC＝‎ DC＝2，所以||∈[0,2]，||∈[0,2]，所以由不等式的性质知·的取值范围是[－4，6]．‎ 法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C(3,2)，因为E，F分别是线段DC和BC上的动点，且BC＝DC＝2，所以可设E(x，2)，F(3，y)，所以＝(3,2)，＝(3－x，y－2)，且x∈[1,3]，y∈[0,2]，所以·＝3(3－x)＋2(y－2)＝5－3x＋2y∈[－4,6]，即·的取值范围是[－4,6]．‎ 答案：[－4,6]‎ ‎[方法归纳]‎ ‎1．利用平面向量解决几何问题的两种方法 ‎2．求解向量数量积最值问题的两种方法 ‎[课时达标训练]‎ ‎1．(2017·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x＝________.‎ 解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2017·无锡期末)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________．‎ 解析：因为a＝(2,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为a－b与ma＋b垂直，所以(a－b)·(ma＋b)＝0，即2m＋1＋2(m－1)＝0，解得m＝.‎ 答案： ‎3．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.‎ 解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，‎ 所以解得 答案：－ ‎4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________．‎ 解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.‎ 答案： ‎5．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________.‎ 解析：由题意可得e1·e2＝，‎ ‎|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，‎ 化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ 解析：由题意得＝⇒＝⇒＝⇒m＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．(2017·常州模拟)已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为________．‎ 解析：由已知得M，G，N三点共线，即＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y，‎ ‎∵点G是△ABC的重心，‎ ‎∴＝×(＋)＝(＋)，‎ ‎∴即得＋＝1，‎ 即＋＝3，通分变形得，＝3，∴＝.‎ 答案： ‎8．已知A，B，C三点不共线，且＝－＋2，则＝________.‎ 解析：如图，取＝－，＝2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，‎ 此时＝－＋2.‎ 由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，‎ 而S△AMD＝S△AND，所以＝6.‎ 答案：6‎ ‎9．(2017·苏锡常镇一模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为________. ‎ 解析：法一：由题意可得－＝＝λ.又 ＝－＝＋(λ－1)，所以·＝λ·＋λ(λ－1)||2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.‎ 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B，C(2，0)，设P(x，y)．‎ 所以＝(x，y)，＝，＝(2,0)．‎ 又因为＝＋λ，所以有 所以＝(2λ，0)，＝.‎ 由·＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.‎ 答案：1或－ ‎10．已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是________．‎ 解析：由题意，＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，表示同起点的向量t的终点到a的终点的距离，当t＝时，该距离取得最小值1，当t＝－时，该距离取得最大值，即的取值范围是[1， ]．‎ 答案：[1， ]‎ ‎11.(2017·南通二调)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·的值是________．‎ 解析：法一：由·＝－7得，(－)·(－)＝－7，即(－)·(＋)＝7，‎ 所以2＝7＋2＝7＋9＝16，所以||＝||＝4.所以·＝(－)·(－)＝(－)·(＋)＝2－2＝25－16＝9.‎ 法二：以O为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C(5,0)，设B(x1，y1)，A(x2，y2)，则D(－x1，－y1)，x＋y＝9，由·＝－7，得(x1－x2，y1－y2)·(－x1－x2，－y1－y2)＝－7，得x＋y＝16，而·＝(5－x1，－y1)·(5＋x1，y1)＝25－x－y＝25－16＝9.‎ 答案：9‎ ‎12．已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，＝2，则·的值为________．‎ 解析：如图所示，‎ ‎∵＝2，∴＝.‎ ‎∵菱形ABCD的边长为a，‎ ‎∠DAB＝60°，‎ ‎∴||＝||＝a，‎ ·＝||||cos 120°＝－a2，‎ ‎∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)(＋)‎ ‎＝(＋)‎ ‎＝－2＋2－· ‎＝－a2＋a2＋a2＝－.‎ 答案：－ ‎13．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若E，F分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ 解析：法一：取A为原点，AB所在直线为x轴，建立如 图所示直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2，1)．‎ ‎∵＝，得2||＝||，设E(2，y)(0≤y≤1)，则F(2－2y,1)．‎ ‎∴·＝(2，y)·(2－2y,1)＝2(2－2y)＋y＝4－3y∈[1,4]．‎ 法二：∵＝，则||＝2||.‎ ‎∵0≤||≤1，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＝2||＋||‎ ‎＝2(2－||)＋||＝4－3||∈[1,4]．‎ 答案：[1,4]‎ ‎14．(2017·全国卷Ⅱ改编)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________．‎ 解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x ‎，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.‎ 答案：－ ‎1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝________.‎ 解析：由题意可得＝＋＝＋，‎ ＝－＝－，‎ 则·＝·＝－3，‎ 则||2－||2－·＝－3，‎ 即6－8－·＝－3，解得·＝.‎ 答案： ‎2．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(a－c)·(b－c)＝1，则|c|的最大值为________．‎ 解析：法一：由题意可得(a－c)·(b－c)＝－a·c－b·c＋|c|2＝1，则|c|2－(a＋b)·c－1＝0.‎ 又|a＋b|＝2，设a＋b与c的夹角为θ，θ∈[0，π]，‎ 则|c|2－2|c|cos θ－1＝0，－2≤2cos θ＝|c|－≤2，‎ 即 解得－1≤|c|≤＋1，则|c|max＝＋1.‎ 法二：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x，－y)·(－x，－y)＝1，化简得2＋2＝2，圆心到坐标原点的距离为1，则|c|max＝＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎3．(2017·苏州考前模拟)已知点A(1，－1)，B(4,0)，C(2，2)．平面区域D由所有满足＝‎ λ＋μ (1<λ≤a,1<μ≤b)的点P(x，y)组成的区域．若区域D的面积为16，则a＋b的最小值为________．‎ 解析：如图，延长AB至点N，延长AC至点M，使得AN＝aAB，AM＝bAC.‎ 四边形ABEC、四边形ANGM、四边形EHGF均为平行四边形．‎ 由条件知，点P(x，y)组成的区域D为图中的阴影部分，即四边形EHGF(不含边界EH，EF)．‎ ‎∵＝(3,1)，＝(1,3)，＝(－2,2)．‎ ‎∴|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝2，cos∠CAB＝＝，sin∠CAB＝.‎ ‎∴四边形EHGF的面积为(a－1)×(b－1)×＝16.‎ ‎∴(a－1)(b－1)＝2，a＋b＝a＋＝(a－1)＋＋2.‎ 由a>1，b>1知，当且仅当a－1＝，即a＝b＝＋1时，a＋b取得最小值2＋2.‎ 答案：2＋2‎ ‎4．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n (m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 解析：法一：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，‎ 由tan α＝7，α∈，‎ 得sin α＝，cos α＝，‎ 设C(xC，yC)，B(xB，yB)，‎ 则xC＝||cos α＝×＝，‎ yC＝||sin α＝×＝，即C.‎ 又cos(α＋45°)＝×－×＝－，‎ sin(α＋45°)＝×＋×＝，‎ 则xB＝||cos(α＋45°)＝－，‎ yB＝||sin(α＋45°)＝，即B.‎ 由＝m＋n，可得 解得所以m＋n＝＋＝3.‎ 法二：由tan α＝7，α∈，‎ 得sin α＝，cos α＝，‎ 则cos(α＋45°)＝×－×＝－，‎ 所以·＝1××＝1，‎ ·＝1××＝，‎ ·＝1×1×＝－，‎ 由＝m＋n，得·＝m2＋n·，即＝m－n.①‎ 同理可得·＝m·＋n2，‎ 即1＝－m＋n.②‎ ‎①＋②得m＋n＝，即m＋n＝3.‎ 答案：3‎ 第3课时解三角形(能力课)‎ ‎[常考题型突破]‎ 三角变换与解三角形的综合问题 ‎[例1]　(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎[解]　(1)因为cos B＝，0＜B＜π，‎ 所以sin B＝ ＝ ＝.‎ 由正弦定理知＝，‎ 所以AB＝＝＝5.‎ ‎(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 所以A＝π－(B＋C)，‎ 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos ‎＝－cos Bcos＋sin Bsin.‎ 又cos B＝，sin B＝，‎ 故cos A＝－×＋×＝－.‎ 因为0＜A＜π，所以sin A＝＝.‎ 因此，cos＝cos Acos＋sin Asin ‎＝－×＋×＝.‎ ‎[方法归纳]‎ ‎(1)解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：‎ 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．‎ 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．‎ 第三步：求结果 ‎(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A＋B＋C＝π，sin(A ‎＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C, 以及在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B等．　　　　 ‎ ‎[变式训练]‎ ‎1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2C＝csin B.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若sin＝，求sin A的值．‎ 解：(1)由正弦定理及bsin 2C＝csin B，‎ 得2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B，‎ 因为sin B>0，sin C>0，所以cos C＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝. ‎ ‎(2)因为C＝，所以B∈，‎ 所以B－∈，‎ 又sin＝，‎ 所以cos＝ ＝.‎ 又A＋B＝，即A＝－B，‎ 所以sin A＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.‎ ‎2．(2017·苏北四市一模)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan B＝2，tan C＝3.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若c＝3，求b的长．‎ 解：(1)因为tan B＝2，tan C＝3，A＋B＋C＝π，‎ 所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－＝－＝1.‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)因为tan B＝＝2，且sin2B＋cos2B＝1，‎ 又B∈(0，π)，所以sin B＝.‎ 同理可得sin C＝.‎ 由正弦定理，得b＝＝＝2.‎ 解三角形与平面向量结合 ‎[例2]　(2017·盐城模拟)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积的大小为S，3·＝2S.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若C＝，·＝16，求b.‎ ‎[解]　(1)由3·＝2S，‎ 得3bccos A＝2×bcsin A，即sin A＝3cos A.‎ 整理化简得sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，‎ 所以sin2A＝.‎ 又A∈(0，π)，所以sin A>0，故sin A＝.‎ ‎(2)由sin A＝3cos A和sin A＝，‎ 得cos A＝，‎ 又·＝16，所以bccos A＝16，‎ 得bc＝16.　①‎ 又C＝，‎ 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 得＝，‎ 即c＝b.　②‎ 联立①②得b＝8.‎ ‎[方法归纳]‎ 求解三角函数与平面向量综合问题的一般思路 ‎(1)求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．‎ ‎(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．‎ ‎(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．‎ ‎[变式训练]‎ ‎1．(2017·南通三调)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝，n＝(cos B，sin B)，且m⊥n.‎ ‎(1)求A－B的值；‎ ‎(2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长．‎ 解：(1)因为m⊥n，‎ 所以m·n＝coscos B＋sinsin B＝cos＝0，‎ 又A，B∈，所以A＋－B∈，‎ 所以A＋－B＝，即A－B＝.‎ ‎(2)因为cos B＝，B∈，所以sin B＝.‎ 所以sin A＝sin ‎＝sin Bcos＋cos Bsin ‎＝×＋×＝.‎ 由正弦定理，得BC＝×AC＝×8＝4＋3.‎ ‎2．(2017·镇江调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m＝(a－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且m∥n.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝，cos＝，求a.‎ 解：(1)因为m∥n，所以a(a－c)－(b＋c)(b－c)＝0，‎ 即a2＋c2－b2＝ac，‎ 所以cos B＝＝＝，‎ 又B∈(0，π)，故B＝.‎ ‎(2)由(1)得A∈，所以A＋∈，‎ 又cos＝，‎ 所以sin＝，‎ 所以sin A＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝×－×＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 可得a＝b·＝＝1.‎ 以平面图形为背景的解三角形问题 ‎[例3]　(2017·南通调研)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b(sin C＋cos C)．‎ ‎(1)求∠ABC；‎ ‎(2)若∠A＝，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，因为a＝b(sin C＋cos C)，‎ 所以sin A＝sin B(sin C＋cos C)，‎ 所以sin(B＋C)＝sin B(sin C＋cos C)，‎ 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C＋sin Bcos C, ‎ 所以cos Bsin C＝sin Bsin C，‎ 又因为C∈(0，π)，故sin C≠0，‎ 所以cos B＝sin B，即tan B＝1. ‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)在△BCD中，DB＝2，DC＝1，‎ BC2＝12＋22－2×1×2×cos D＝5－4cos D.‎ 又A＝，由(1)可知∠ABC＝，‎ 所以△ABC为等腰直角三角形，‎ S△ABC＝×BC××BC＝BC2＝－cos D，‎ ‎ 又S△BDC＝×BD×DC×sin D＝sin D, ‎ 所以S四边形ABDC＝－cos D＋sin D＝＋sin.‎ 所以当D＝时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为＋.‎ ‎[方法归纳]‎ 平面图形为背景的解三角形问题的一般思路 ‎(1)建联系 在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中到某一个三角形.‎ ‎(2)用定理 ‎①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．‎ ‎②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．‎ ‎[变式训练]‎ ‎(2017·苏北三市模拟)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．‎ ‎(1)求sin∠CED；‎ ‎(2)求BE的长．‎ 解：设∠CED＝α.‎ 因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，‎ 所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，‎ 又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，‎ 所以∠BEC＝.‎ ‎(1)在△CDE中，‎ 由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，‎ 由题设知7＝CD2＋1＋CD，‎ 即CD2＋CD－6＝0，‎ 解得CD＝2(CD＝－3舍去)．‎ 在△CDE中，由正弦定理得＝，‎ 于是sin α＝＝＝，‎ 即sin∠CED＝.‎ ‎(2)由题设知0<α<，‎ 由(1)知cos α＝＝ ＝，‎ 又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，‎ 所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sin·sin α＝－cos α＋sin α＝－×＋×＝.‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，‎ 所以BE＝4.‎ ‎[课时达标训练]‎ ‎1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)设·＝·，求证：△ABC是等腰三角形；‎ ‎(2)设向量s＝(2sin C，－)，t＝(cos 2C，cos C)，且s∥t，sin A＝，求sin的值．‎ 解：(1)证明：由·＝·，‎ 得abcos C＝bccos A.‎ 化简且由正弦定理得，sin Acos C＝sin Ccos A，‎ ‎∴sin(A－C)＝0.‎ ‎∴A＝C.‎ 故△ABC是等腰三角形．‎ ‎(2)由s∥t，得2sin Ccos C＝－cos 2C，‎ ‎∴tan 2C＝－.∵C∈，‎ ‎∴2C∈(0，π)．‎ ‎∴2C＝，故C＝.‎ ‎∵sin A＝，A∈，得cos A＝.‎ ‎∴sin＝sin＝sin A－cos A＝.‎ ‎2．(2017·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝.‎ ‎(1)求b和sin A的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ 解：(1)在△ABC中，因为a>b，‎ 故由sin B＝，可得cos B＝.‎ 由已知及余弦定理，‎ 得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，‎ 所以b＝.‎ 由正弦定理＝，得sin A＝＝.‎ 所以b的值为，sin A的值为.‎ ‎(2)由(1)及a0且sin α＝.‎ 同理可得sin β＝，‎ ‎∴tan α＝7，tan β＝.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝－3.‎ ‎∴tan ‎＝tan ‎＝＝－.‎ ‎(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]‎ ‎＝＝－1，‎ ‎∵0<α<，0<β<，‎ ‎∴0<α＋2β<，从而α＋2β＝.‎ 结合条件等式进行化简求值 ‎[例2]　(2017·南京模拟)已知α为锐角，cos＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求tan的值．‎ ‎[解]　(1)因为α为锐角，所以α＋∈，‎ 又cos＝，‎ 所以sin＝ ＝.‎ 所以sin＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＝.‎ ‎(2)由(1)知sin＝，‎ 所以sin＝2sincos＝.‎ cos＝cos2－sin2＝.‎ 所以tan＝＝.‎ ‎[方法归纳]‎ (1)给式求值 给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.‎ (2)给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.‎ (3)给值求角 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角. ‎ ‎[变式训练]‎ ‎1．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.‎ ‎(1)求sin(α－β)的值；‎ ‎(2)求cos β的值．‎ 解：(1)因为α，β∈，从而－<α－β<.‎ 又因为tan(α－β)＝－<0，所以－<α－β<0.‎ 所以sin(α－β)＝－.‎ ‎(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.‎ 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎2．(2017·南通二调)已知sin＝，α∈ .‎ 求：(1)cos α的值；‎ ‎(2)sin的值．‎ 解：(1)法一：因为α∈，‎ 所以α＋∈，‎ 又sin＝， ‎ 所以cos＝－ ‎＝－ ＝－.‎ 所以cos α＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝－×＋×＝－.‎ 法二：由sin＝，‎ 得sin αcos＋cos αsin＝，‎ 即sin α＋cos α＝.①‎ 又sin2α＋cos2α＝1，②‎ 由①②解得cos α＝－或cos α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝－.‎ ‎(2)因为α∈，cos α＝－，‎ 所以sin α＝＝ ＝.‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.‎ 所以sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝－.‎ 向量与三角求值结合 ‎[例3]　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0＜α＜x＜π.‎ ‎(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；‎ ‎(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．‎ ‎[解]　(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，‎ ‎∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin x·cos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．‎ 令t＝sin x＋cos x，‎ 则2sin xcos x＝t2－1，且－1＜t＜.‎ 则y＝f(x)＝t2＋t－1＝2－，－1＜t＜.‎ ‎∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－.‎ 由于＜x＜π，故x＝.‎ ‎∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.‎ ‎(2)∵a与b的夹角为，∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．‎ ‎∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.‎ ‎∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，‎ ‎∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，‎ 即sin＋2sin 2α＝0.‎ ‎∴sin 2α＋cos 2α＝0，‎ ‎∴tan 2α＝－.‎ ‎[方法归纳]‎ 平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. ‎ ‎[变式训练]‎ ‎(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ 解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 则tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎ ‎[课时达标训练]‎ ‎1．(2017·南通模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α∈，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α－β)的值．‎ 解：(1)∵α∈，∴2α∈.‎ ‎∵cos α＝，‎ ‎∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ ‎∴sin 2α＝＝.‎ ‎(2)∵α∈，β∈，‎ ‎∴α＋β∈(0，π)，又cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝，‎ ‎∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎2．设向量a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)(λ＞0，0＜α＜β＜π)，且a＋b与a－b互相垂直．‎ ‎(1)求λ的值；‎ ‎(2)若a·b＝，tan β＝，求tan α的值．‎ 解：(1)∵a＋b与a－b垂直，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝cos2α＋(λ－1)2sin2α－1＝(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，‎ 解得λ＝0或λ＝2.‎ ‎∵λ＞0，∴λ＝2.‎ ‎(2)由(1)知a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，且0＜α＜β＜π，得tan(α－β)＝－.‎ 则tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝.‎ ‎3．已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且a，b共线，其中θ∈.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值．‎ 解：(1)由a∥b，得sin θ＝2cos θ.‎ 因为θ∈，所以cos θ≠0，‎ 所以tan θ＝2.‎ 所以tan＝＝－3.‎ ‎(2)由(1)知tan θ＝2，又因为θ∈，‎ 所以sin θ＝，cos θ＝.‎ 由5cos(θ－φ)＝3cos φ，‎ 得5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3cos φ，‎ 即cos φ＋2sin φ＝3cos φ，从而tan φ＝1.‎ 因为0＜φ＜，所以φ＝.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，若角α，β的顶点都为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角α的终边经过点P，角β的终边经过点Q(sin2θ，－1)，且·＝－.‎ ‎(1)求cos 2θ的值；‎ ‎(2)求tan(α＋β)的值．‎ 解：(1)由·＝－，得sin2θ－cos2θ＝－，‎ ‎∴sin2θ＝2cos2θ－1，即＝cos 2θ，‎ 解得cos 2θ＝.‎ ‎(2)由(1)，知sin2θ＝＝，则cos2θ＝，‎ 得P，Q，∴tan α＝，tan β＝－3，‎ 故tan(α＋β)＝＝＝－.‎ ‎5．如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．‎ ‎(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；‎ ‎(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．‎ 解：(1)因为点C的坐标为，‎ 根据三角函数的定义，得sin∠COA＝，cos∠COA＝.‎ 因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.‎ 所以cos∠BOC＝cos ‎＝cos∠COAcos－sin∠COAsin ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)因为∠AOC＝θ，所以∠BOC＝＋θ.‎ 在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.‎ 因为0<θ<，‎ 所以<θ＋<.‎ 所以－0，ω>0,0<φ ‎<π)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求A，ω，φ的值；‎ ‎(2)设θ为锐角，且f(θ)＝－，求f的值．‎ 解：(1)由图象，得A＝，‎ 最小正周期T＝×＝π，所以ω＝＝2，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 由f＝－，得2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝.‎ ‎(2)由f(θ)＝sin＝－，‎ 得sin＝－，‎ 因为θ∈，所以2θ＋∈，‎ 又sin<0，所以2θ＋∈，‎ 所以cos＝－ ＝－，‎ 所以f＝sin 2θ＝sin ‎＝ ‎＝＝.‎