高中数学人教a版选修4-1配套课件：1_4 直角三角形的射影定理 22页

第 4 课时　直角三角形的射影定理 【 课标要求 】 1 ． 理解 直角三角形的射影定理． 2 ．理解直角三角形射影定理的逆定理． 【 核心扫描 】 用射影 定理解决直角三角形的有关问题． ( 重、难点 ) 自学导引 1 ． 射影的有关概念 (1) 点 在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的 ． (2) 线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段． 正射影 2 ．直角三角形的射影定理 (1) 直角三角形的射影定理： 直角三角形斜边上的高是两 直角边在斜边上射影的 ； 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 ． (2) 符号表示：如图， CD 是 Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，则 (1) AC 2 ＝ ； (2) BC 2 ＝ ； (3) CD 2 ＝ . 比例中项 比例中项 AD · AB BD · BA AD · BD 名师点睛 1 ． 应 用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题 ． 2 ．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符号表示：如图，在 △ ABC 中， CD ⊥ AB 于 D ，若 CD 2 ＝ AD · BD ，则 △ ABC 为直角三角形． 证明　 ∵ CD ⊥ AB ， ∴∠ CDA ＝ ∠ BDC ＝ 90°. 又 ∵ CD 2 ＝ AD · BD ，即 AD ∶ CD ＝ CD ∶ BD ∴△ ACD ∽△ CBD . ∴∠ CAD ＝ ∠ BCD . 又 ∵∠ ACD ＋ ∠ CAD ＝ 90° ， ∴∠ ACB ＝ ∠ ACD ＋ ∠ BCD ＝ ∠ ACD ＋ ∠ CAD ＝ 90° ，即 △ ABC 为直角三角形． 题型一　射影的概念 【 例 1】 如图 所示， AD ⊥ BC ， FE ⊥ BC . 求点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 和线段 AB 、 AC 、 AF 、 FG 在直线 BC 上的射影． [ 思维启迪 ] 要求已知点和线段在直线 BC 上的射影，需过这些点或线段的端点，作 BC 边的垂线． 解　由 AD ⊥ BC ， FE ⊥ BC 知： AD 在 BC 上的射影是 D ； B 在 BC 上的射影是 B ； C 在 BC 上的射影是 C ， E 、 F 、 G 在 BC 上的射影都是 E ； AB 在 BC 上的射影是 DB ； AC 在 BC 上的射影是 DC ； AF 在 BC 上的射影是 DE ， FG 在 BC 上的射影是点 E . 反思感悟　 求点和线段在直线上的射影 (1) 点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2) 线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影． 题型二　射影定理的应用 【 例 2】 如图所 示，在 Rt △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 90° ， AD ⊥ BC 于 D ， DF ⊥ AC 于 F ， DE ⊥ AB 于 E . 试证明： (1) AB · AC ＝ AD · BC ； (2) AD 3 ＝ BC · BE · CF . [ 思维启迪 ] 本题第 (1) 问是利用 △ ABC 的面积相等求得，在第 (2) 问中，在 Rt △ BAC 中，有 AB · AC ＝ AD · BC ， AD 2 ＝ BD · DC ；在 Rt △ ADB 中，有 BD 2 ＝ BE · AB ；在 Rt △ ADC 中，有 CD 2 ＝ CF · AC . 由这些关系式便可得到待证式． 【 变式 2】 如图 ， CD 是 Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高线． 求证： CD · AC ＝ BC · AD . 证明　 在 Rt △ ABC 中， ∵ CD ⊥ AB ， ∴ CD 2 ＝ BD · AD ， BC 2 ＝ BD · AB ， AC 2 ＝ AD · AB . ∴ CD 2 · AC 2 ＝ BD · AB · AD 2 ＝ BC 2 · AD 2 . ∴ CD · AC ＝ BC · AD . 反思感悟　 将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，体现了化归思想方法，通过恒等变形，找到中间变量来联系前后两个比值，从而达到解题目的．