高中数学选修2-3教学课件：组合（一） 18页

7.3.1 组合（一） 问题一： 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动， 1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二： 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 情境创设 从已知的 3 个不同元素中每次取出 2 个元素 , 并成一组 问题 2 从已知的 3 个不同元素中每次取出 2 个元素 , 按照一定的顺序排成一列 . 问题 1 排列 组合 有 顺 序 无 顺 序 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ）个元素 并成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合 ． 排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 概念讲解 组合定义 : 组合定义 : 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ） 个元素 并成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合 ． 排列定义 : 一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素， 按照一定的顺序排成一列 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列 . 共同点 : 都要“从 n 个不同元素中任取 m 个元素” 不同点 : 排列 与元素的顺序有关， 而组合 则与元素的顺序无关 . 概念讲解 思考一 : a b 与 b a 是相同的排列还是相同的组合 ? 为什么 ? 思考二 : 两个相同的排列有什么特点 ? 两个相同的组合呢 ? １）元素相同； ２）元素排列顺序相同 . 元素相同 概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤 . 思考三 : 组合与排列有联系吗 ? 判断下列问题是组合问题还是排列问题 ? (1) 设集合 A={ a , b , c , d , e } ，则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个 ? (2) 某铁路线上有 5 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票 ? 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 排列问题 (3)10 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 , 共有多少种分法 ? 组合问题 (4)10 人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候 , 共需握手多少次 ? 组合问题 (5) 从 4 个风景点中选出 2 个游览 , 有多少种不同的方法 ? 组合问题 (6) 从 4 个风景点中选出 2 个 , 并确定这 2 个风景点的游览顺序 , 有多少种不同的方法 ? 排列问题 组合问题 组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果 . 1. 从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是 : ab , ac , bc 2. 已知 4 个元素 a , b , c , d , 写出每次取出两个元素的所有组合 . a b c d b c d c d ab , ac , ad , bc , bd , cd (3 个 ) (6 个 ) 概念理解 从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ） 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 ，用符号 表示 . 如 : 从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是 : 如 : 已知 4 个元素 a 、 b 、 c 、 d , 写出每次取出两个 元素的所有组合个数是： 概念讲解 组合数 : 注意： 是一个数，应该把它与 “ 组合 ” 区别开来． 1. 写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 abc ， abd ， acd ， bcd . b c d d c b a c d 练一练 组合 排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？ 你发现了什么 ? 如何计算 : 组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 根据分步计数原理，得到： 因此： 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下 2 步： 第 1 步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ． 第 2 步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ． 这里 ，且 ，这个公式叫做 组合数公式 ． 概念讲解 组合数公式 : 从 n 个不同元中取出 m 个元素的排列数 概念讲解 例 1 计算： ⑴ ⑵ 例 2. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛， (1) 列出所有各场比赛的双方； （ 2) 列出所有冠亚军的可能情况 . （ 2 ）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲 、 丙甲 、 丁甲 、 丙乙 、 丁乙 、 丁丙 (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 解： 例题分析 (4) 求 例 3 例 5.(1) 凸五边形有多少条对角线？ (2) 凸 n （ n>3 ）边形有多少条对角线？ 例 4.(1) 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端 点的线段共有多少条？ (2) 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 例题分析 排列 组合 组合的概念 组合数的概念 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 联系 课堂小结