高中数学选修2-2教学课件第1讲《导数概念》 34页

第一章 微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出 . 英国数学家 Newton 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 导数的概念 第一章 一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T ( 当 时 ) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 两个问题的 共性 : 瞬时速度 切线斜率 所求量为 函数增量 与 自变量增量 之比的极限 . 类似问题还有 : 加速度 角速度 线密度 电流强度 是 速度增量 与 时间增量 之比的极限 是 转角增量 与 时间增量 之比的极限 是 质量增量 与 长度增量 之比的极限 是 电量增量 与 时间增量 之比的极限 变化率问题 二、导数的定义 定义 1 . 设函数 在点 存在 , 并称此极限为 记作 : 即 则称函数 若 的 某邻域内 有定义 , 在点 处 可导 , 在点 的 导数 . 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 不存在 , 就说函数 在点 不可导 . 若 也称 在 若函数在 开区间 I 内每点都可导 , 此时 导数值构成的新函数称为 导函数 . 记作 : 注意 : 就称函数 在 I 内可导 . 的导数为 无穷大 . 若极限 例 1. 求函数 ( C 为常数 ) 的导数 . 解 : 即 例 2. 求函数 解 : 说明： 对一般幂函数 ( 为常数 ) 例如， （以后将证明） 例 3. 求函数 的导数 . 解 : 则 即 类似可证得 例 4. 求函数 的导数 . 解 : 即 原式 是否可按下述方法作 : 例 5. 证明函数 在 x = 0 不可导 . 证 : 不存在 , 例 6. 设 存在 , 求极限 解 : 原式 三、 导数的几何意义 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升 ; 若 曲线过 下降 ; 若 切线与 x 轴平行 , 称为 驻点 ; 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程 : 法线方程 : 例 7. 问曲线 哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程 . 解 : 令 得 对应 则在点 (1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 四、 函数的可导性与连续性的关系 定理 1. 证 : 设 在点 x 处可导 , 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 注意 : 函数在点 x 连续，但在该点未必可导 . 反例 : 在 x = 0 处连续 , 但不可导 . 即 在点 的某个 右 邻域内 五、 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在 处的 右 导数 , 记作 即 ( 左 ) ( 左 ) 例如 , 在 x = 0 处有 定义 2 . 设函数 有定义 , 存在 , 定理 2. 函数 在点 且 存在 简写为 在点 处 右 导数存在 定理 3. 函数 在点 必 右 连续 . ( 左 ) ( 左 ) 若函数 与 都存在 , 则称 显然 : 在闭区间 [ a , b ] 上可导 在开区间 内可导 , 在闭区间 上可导 . 可导的 充分必要条件 是 且 内容小结 1. 导数的实质 : 3. 导数的几何意义 : 4. 可导必连续 , 但连续不一定可导 ; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续 , 一定不可导 . 直接用导数定义 ; 看左右导数是否存在且相等 . 2. 增量比的极限 ; 切线的斜率 ; 思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 区别 : 是函数 , 是数值 ; 联系 : 注意 : 有什么区别与联系 ? ？ 与导函数 2. 设 存在 , 则 3. 已知 则 4. 若 时 , 恒有 问 是否在 可导 ? 解 : 由题设 由夹逼准则 故 在 可导 , 且 5. 设 , 问 a 取何值时 , 在 都存在 , 并求出 解 : 显然该函数在 x = 0 连续 . 故 时 此时 在 都存在 , 备用题 解 : 因为 1. 设 存在 , 且 求 所以 在 处连续 , 且 存在， 证明 : 在 处可导 . 证 ： 因为 存在， 则有 又 在 处连续 , 所以 即 在 处可导 . 2. 设 故 千秋沧桑锻造出的不朽思想 谢谢同学们的认真听课，非常愿意和同学共同感受人类历史中这段撼人心灵的智力奋斗，共同分享人类思维的伟大成果 --- 微积分 人类文明结晶出的伟大智慧