新疆阿克苏市实验中学2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试题 13页

数学（文科）试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 下列给出的赋值语句中正确的是：（ ）‎ A. 3=A B. M= —M C. B=A=2 D. x+y=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 赋值语句给变量赋值．不能给式子赋值，也不能一次给多个变量赋值．‎ ‎2.老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型特点判断，每个个体被抽到的概率都是等可能的，结合古典概型公式即可求解 ‎【详解】由题知，从50个人抽10个，每个个体被抽取的概率都是等可能的，为，则女同学甲被抽到的概率也为 故选：C ‎【点睛】本题考查随机事件的概率，属于基础题 ‎3.下列各数中与1010（4）相等的数是（　　）‎ A. 76（9） B. 103（8） C. 2111（3） D. 1000100（2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把所给的数化为“十进制”数即可得出．‎ ‎【详解】1010（4）＝1×43+0×42+1×41+0×40＝68（10）．‎ 对于D：1000100（2）＝1×26+1×22＝68（10）．‎ ‎∴1010（4）＝1000100（2）．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了不同数位进制化为“十进制”数的方法，属于基础题．‎ ‎4. 有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗‎1升汽油所行驶的平均路程；‎ ‎②平均日学习时间和平均学习成绩；‎ ‎③某人每日吸烟量和其身体健康情况；‎ ‎④正方形的边长和面积；‎ ‎⑤汽车的重量和百公里耗油量.‎ 其中两个变量成正相关的是( )‎ A. ①③ B. ②④ C. ②⑤ D. ④⑤‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①④是确定的函数关系．③是负相关关系．只有②⑤成正相关的关系．‎ ‎5.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.‎ 考点：空间点线面位置关系．‎ ‎6.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000，001，002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000，001，…，019，如果在第一组随机抽取的号码为015，则第30个号码为（ ）‎ A. 595 B. ‎450 ‎C. 600 D. 495‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出组距，再结合等差数列性质求解第30项即可 ‎【详解】由题可知，组距为，第一个抽取的数编号为015，我们不妨将被抽取的数看成一个等差数列，首项为，则，‎ 当时，，故第30个号码为595‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查系统抽样中本抽样个体编号的计算问题，结合等差数列加以理解至关重要，属于基础题 ‎7.一个年级有22个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为19的学生留下进行交流，这里运用的是 A. 分层抽样法 B. 抽签法 C. 随机数表法 D. 系统抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】每个班同学以1﹣50排学号，要求每班学号为19的同学留下来交流，‎ 则数据之间的间距差相同，都为50，‎ 所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查抽样的定义和应用，要求熟练掌握简单抽样，系统抽样和分层抽样的定义，以及它们之间的区别和联系，比较基础．‎ ‎8.从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有1个红球和全是白球 B. 至少有1个白球和全是白球 C. 恰有1个白球和恰有两个白球 D. 至少有1个白球和全是红球 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需要区分互斥事件与对立事件的区别，再结合发生事件的特点逐一判断即可 ‎【详解】互斥事件不一定是对立事件，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事件一定是互斥事件且满足两事件概率之和为1；‎ 对A：至少有一个红球包括：一个红球一个白球和两个红球两种情况，全是白球指的是：两个白球，显然两个事件既互斥又对立，不符合题意；‎ 对B：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，显然至少有1个白球和全是白球不互斥，不符合题意；‎ 对C：恰有1个白球和恰有两个白球显然是互斥事件，但不是对立事件，事件还包括：恰有两个红球，符合题意；‎ 对D：由C可知，两事件既互斥又对立，不符合题意；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的判断，属于基础题 ‎9.在三棱锥中,底面，，，，，则点到平面距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为底面，,过C作CE于E，则因为,所以,所以平面,所以,‎ ‎，.选B.‎ 详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎10.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）‎ A. 23 B. ‎09 ‎C. 02 D. 17‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表的使用规则逐个选出，即可得解.‎ ‎【详解】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.‎ ‎11.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为（ ）‎ A. ‎23.25‎mm‎ B. ‎21.25mm C. ‎21.75mm D. ‎‎22.75mm ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合平均数计算公式：计算即可，每个对应的 取对应横坐标的中间值即可 ‎【详解】由题知，‎ 故产品的平均长度为：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查频率分布直方图平均数的计算，熟记公式是解题关键，属于基础题 ‎12.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为‎2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.‎ ‎【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为‎2M，‎ 则新农村建设前种植收入为‎0.6M，而新农村建设后的种植收入为‎0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；‎ 新农村建设前其他收入我‎0.04M，新农村建设后其他收入为‎0.1M，故增加了一倍以上，所以B 项正确；‎ 新农村建设前，养殖收入为‎0.3M，新农村建设后为‎0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；‎ 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；‎ 故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是，故答案为.‎ ‎14.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意画出折叠前后的图像，再利用边角关系即可求解 ‎【详解】‎ 如图所示，不妨设，当等腰之间三角形折叠后，形成的是直二面角，则折叠后的图形中，经计算可得，故折叠后 为等边三角形，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查图形折叠前后的边与角计算问题，正确画图是解题关键，属于基础题 ‎15.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次写出循环语句，直到判断时，输出对应的即可 ‎【详解】由题知，，则 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，此时，输出的 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中由循环语句计算输出值，属于基础题 ‎16.下列说法中正确的有______ ‎ ‎①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；‎ ‎②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ‎③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．‎ ‎④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ 对于①平均数受少数几个极端值的影响，故①不正确；对于②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率分别为，故②不正确；对于④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型，故④不正确 三、解答题（本大题共5小题，每题14分，共70分）‎ ‎17.已知A，B，C三个班共有学生100人，为调查他们体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）.‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ C班 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎（1）试估计C班学生人数；‎ ‎（2）从A班和B班抽出来的学生中各选一名，记A班选出的学生为甲，B班选出的学生为乙，若学生锻炼相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.‎ ‎【答案】（1）40（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样特点判断C班人数应占有，结合公式计算即可；‎ ‎（2）不妨设A班抽出学生锻炼时间为，B班抽出学生的锻炼时间为，采用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式计算即可；‎ ‎【详解】（1）根据题意判断，抽取的A班、B班、C班人数比例为：，则C班人数为：‎ 人；‎ ‎（2）记A班抽出学生的锻炼时间为，B班抽出学生的锻炼时间为，则所有的为 共9种情况，满足的有两种情况，则所求概率为：‎ ‎【点睛】本题考查由分层抽样比例计算某一层样本数，古典概型的简单计算，属于基础题 ‎18.砂糖橘是柑橘类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖橘,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的倍.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株,求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率.‎ ‎【答案】(1)a=0.08,b=0.04.(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a×5×20＝‎100a(株)，‎ 样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b＋0．02)×5×20＝100(b＋0．02)(株)，‎ 依题意，有‎100a＝×100(b＋0．02)，即a＝(b＋0．02)．　①‎ 根据频率分布直方图可知(0．02＋b＋0．06＋a)×5＝1，　②‎ 由①②得：a＝0．08，b＝0．04．‎ ‎(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0．04×5×20＝4(株)，分别记为A1，A2，A3，A4，‎ 产量在区间(55,60]上的果树有0．02×5×20＝2(株)，分别记为B1，B2．‎ 从这6株果树中随机抽取2株共有15种情况：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4‎ ‎，B2)，(B1，B2)．‎ 其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．‎ 记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件M，则P(M)＝＝．‎ ‎19. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．‎ ‎（1）证明：PB∥平面ACM；‎ ‎（2）证明：AD⊥平面PAC．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明MO∥PB即可；（Ⅱ）证明AD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，证明AD⊥AC，AD⊥PO即可；‎ 试题解析：（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO．因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM．‎ ‎（2）因为∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，‎ 所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC．又PO⊥平面ABCD，‎ AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD．而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC．‎ 考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定与性质 ‎20.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．‎ ‎（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；‎ ‎（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．‎ ‎【答案】(1) ． (2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y．‎ 用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即 ‎（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），‎ ‎（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．‎ ‎（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，‎ 则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．‎ 事件A由4个基本事件组成，故所求概率P（A）＝＝．‎ ‎（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，‎ 则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}‎ 事件B由7个基本事件组成，故所求概率P（A）＝．‎ 考点：古典概型的概率计算 ‎21.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．‎ ‎(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？‎ ‎(2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？‎ ‎(3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．‎ ‎【答案】(1)65，66； (2)0.286； (3) 甲网站更受欢迎 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图，得到甲乙两网站的最大点击量和最小点击量，即可求解极差；‎ ‎（2）由茎叶图可知，在中，有，共4个数据，即可求解相应的概率；‎ ‎（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，即可作出判定．‎ ‎【详解】（1）由茎叶图可知，‎ 甲网站最大点击量为73，最小的点击量为8，所以甲网站的点击量的极差为73–8=65，‎ 乙网站最大点击量为71，最小的点击量为5，所以乙网站的点击量的极差为71–5=66．‎ ‎（2）由茎叶图可知，在中，有，共4个数据，‎ 所以甲网站在内的概率为．‎ ‎（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，可判定甲网站更受欢迎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及茎叶图的应用，其中解答正确根据茎叶图读取相应的数据，及注意茎叶图的数据分布特点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎