2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学高一上学期期末（英才班）数学（文）试题（解析版） 10页

‎2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学高一上学期期末（英才班）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知全集则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据韦恩图表达的集合M和N之间的关系，求解阴影部分所表达的集合。‎ ‎【详解】‎ 根据韦恩图，阴影部分表达的是集合N中不属于集合M的元素组成的集合，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 认真理解韦恩图所表达的意义。‎ ‎2．函数（，且）的图象一定经过的点是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，过定点，故选D。‎ ‎3．函数（）的图像不可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于函数的解析式中含有参数，因此可考虑对直接进行取值，然后再判断的大致图象即可.‎ ‎【详解】‎ 直接利用排除法： ①当时，选项B成立；‎ ‎②当时，函数的图象类似D；‎ ‎③当时，，函数的图象类似C；故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的辨析，难度较易.‎ ‎4．当时，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.‎ 详解：因为，所以，‎ 所以，因为，‎ 所以，‎ 所以，所以 ‎，所以答案是，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.‎ ‎5．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知条件推出函数的周期性，然后结合函数的单调性进行判断 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 则有 函数在上是周期为的周期函数 当时，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 故当时，由周期性可得时，‎ 即在上单调递增 当时，‎ 当时，‎ 即在上单调递减 对于，，在上单调递减 ‎，故错误 对于，，，，‎ ‎，‎ ‎，则，故正确 对于，，，在上单调递减 ‎，故错误 对于， ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 故，故错误 综上，故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数周期性和单调性的运用，结合函数性质求出函数表达式，然后进行判断，本题较为基础。‎ ‎6．在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( )‎ A．对 B．对 C．对 D．对 ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是与图象交点个数，利用数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为关于原点对称的函数解析式为,‎ 所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，‎ 就是与为图象交点个数，‎ 同一坐标系内，画出与图象，如图，‎ 由图象可知，两个图象的交点个数有5个，‎ 的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、填空题 ‎7．燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度与耗氧量之间满足函数关系.若两岁燕子耗氧量达倒个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，耗氧量达到__________单位．‎ ‎【答案】320‎ ‎【解析】因为 ，因此 ‎ ‎8．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，（为常数），则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的奇偶性，先求的b值，再代入x=1，求得，进而求解的值.‎ ‎【详解】‎ 由为定义在上的奇函数可知，已知 ，‎ 所以，得，‎ 所以，‎ 于是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间.‎ ‎9．函数，下列四个命题 ‎①是以为周期的函数 ②的图象关于直线对称 ‎③当且仅当，取得最小值-1‎ ‎④当且仅当时，‎ 正确的是________________．（填正确序号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，由函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可以作出函数图象 ‎【详解】‎ 由题意函数作出在上的图象，如图所示 由图象可知，函数的最小正周期为，故①错误；‎ 由图象可知，函数图象关于直线对称，故②正确；‎ 在和时，该函数都取得最小值-1，故③错误；‎ 在时，，故④正确.‎ 综上，正确的命题为②④‎ 故答案为②④‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数图像的性质，解答了三角函数的周期性、对称性、最值等知识点，在解题过程中掌握解题方法，熟练画出函数图像。‎ 三、解答题 ‎10．若函数满足对其定义域内任意成立，则称为 “类对数型”函数.‎ ‎（1）求证：为 “类对数型”函数；‎ ‎（2）若为 “类对数型”函数，‎ ‎（i）求的值；‎ ‎（ii）求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）（i）；（ii）.‎ ‎【解析】（1）任取代入的表达式，利用对数运算公式来化简，由此证明为类对数型函数.（2）（i）令，代入，可求得的值.（2）令，即互为倒数，代入，可求得互为倒数的自变量，会使，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)证明：‎ ‎ ‎ 成立，‎ 所以为 “类对数型”函数； ‎ ‎（2）（i）‎ ‎ 令，有 ‎∴‎ ‎（ii）令，则有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对新定义函数的理解，考查倒序相加求和法.对于一个新定义的问题，首先要把握的就是新定义本身所包含的数学知识，也就是说，将一个新定义的问题，转化为我们所学过的知识来解决.对于有规律的一列数求和，要想办法找到这个规律，以此为突破口解题.‎ ‎11．函数在它的某一个周期内的单调减区间是.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为1，最小值为．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为；‎ ‎(2)首先求得函数的解析式结合函数的定义域可得函数的最大值为1，最小值为 试题解析：‎ ‎（1）由条件，， ∴ ∴ ‎ 又∴ ‎ ‎∴的解析式为 ‎ ‎（2）将的图象先向右平移个单位，得 ‎ ‎∴ ‎ 而 ‎ ‎∴函数在上的最大值为1，最小值为 ‎12．设函数，其中a为常数．‎ Ⅰ当，求a的值；‎ Ⅱ当时，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a=﹣（2）[﹣2，+∞）‎ ‎【解析】（1）直接计算出f（1）和f（2），根据条件解方程即可求得a；‎ ‎（2）采用分离参数法，分离变量a，再根据函数的单调性求最值，得出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（x）=log2（1+a•2x+4x），‎ ‎∴f（-1）=log2（1++），f（2）=log2（1+4a+16），‎ 由于，‎ 即log2（4a+17）=log2（+）+4，‎ 解得，a=﹣；‎ ‎（2）因为f（x）≥x﹣1恒成立，‎ 所以，log2（1+a•2x+4x）≥x﹣1，‎ 即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，‎ 分离参数a得，a≥﹣（2x+2﹣x），‎ ‎∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=，此时x=1，‎ 所以，a≥﹣=﹣2，‎ 即实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及对数的运算性质，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．‎