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  • 2021-06-16 发布

高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

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能 力 提 升 一、选择题 ‎1.已知=(2,3),则点N位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.不确定 ‎[答案] D ‎[解析] 因为点M的位置不确定,则点N的位置也不确定.‎ ‎2.已知M(2,3)、N(3,1),则的坐标是(  )‎ A.(2,-1) B.(-1,2)‎ C.(-2,1) D.(1,-2)‎ ‎[答案] B ‎[解析] =(2,3)-(3,1)=(-1,2).‎ ‎3.已知=a,且A,B,又λ=,则λa等于(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] a==- ‎=,λa=a=,故选A.‎ ‎4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量‎4a,4b-‎2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d 为(  )‎ A.(2,6) B.(-2,6)‎ C.(2,-6) D.(-2,-6)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由题意,得‎4a+4b-‎2c+2(a-c)+d=0,‎ 则d=-‎4a-4b+‎2c-2(a-c)=-‎6a-4b+‎4c=(-2,-6).‎ ‎5.(2011~2012·凯里高一检测)已知向量a、b满足:a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a、b的坐标分别为(  )‎ A.(4,0)、(-2,6) B.(-2,6)、(4,0)‎ C.(2,0)、(-1,3) D.(-1,3)、(2,0)‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵a+b=(1,3) ①‎ a-b=(3,-3) ②‎ ‎∴①+②得:a=(2,0).‎ ‎①-②得:b=(-1,3).‎ ‎6.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=ka+lb,则k、l的值为(  )‎ A.-2,3 B.-2,-3‎ C.2,-3 D.2,3‎ ‎[答案] D ‎[解析] 利用相等向量的定义求解.‎ ‎∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),‎ ‎∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),‎ 即,解得:k=2,l=3.‎ 二、填空题 ‎7.已知=(3,4),B(2,-1),则点A的坐标是____________.‎ ‎[答案] (-1,-5)‎ ‎[解析] 设A(x,y),则=(2-x,-1-y)=(3,4).‎ 故解得x=-1,y=-5.‎ ‎8.已知两点M(3,-2),N(-5,-1),点P满足=,则点P的坐标是________.‎ ‎[答案] (-1,-)‎ ‎[解析] 设P(x,y),则=(x-3,y+2),‎ =(-8,1).‎ ‎∵=,∴(x-3,y+2)=(-8,1).‎ 即,解得,∴P(-1,-).‎ ‎9.(探究题)设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2+=(7,9),且向量=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设=(m,n),则=(-n,m),所以2+=(‎2m-n,2n+m)=(7,9),即 解得因此,=.‎ 三、解答题 ‎10.已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于点F,求.‎ ‎[解析] 因为A(7,8),B(3,5),C(4,3)‎ 所以=(-4,-3),AC=(-3,-5).‎ 又因为D是BC的中点,有=(+)=(-3.5,-4),而M、N分别为AB、AC的中点,‎ 所以F为AD的中点,‎ 故有==-=(1.75,2).‎ ‎11.已知a=(1,1),b=(1,-1),将下列向量表示成xa+yb的形式.‎ ‎(1)p=(2,3);(2)q=(-3,2).‎ ‎[解析] xa+yb=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y).‎ ‎(1)由p=(2,3)=(x+y,x-y),得即 所以p=a-b.‎ ‎(2)由q=(-3,2)=(x+y,x-y),得 即所以q=-a-b.‎ ‎12.已知向量u=(x,y)与向量ν=(y,2y-x)的对应关系用ν=f(u)表示.‎ ‎(1)求证:对于任意向量a、b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;‎ ‎(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;‎ ‎(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.‎ ‎[解析] (1)证明:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,‎2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).‎ ‎∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.‎ ‎(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).‎ ‎(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).‎ ‎∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q.‎ ‎∴向量c=(2p-q,p).‎

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