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- 2021-06-16 发布
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一、选择题
1.已知=(2,3),则点N位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.不确定
[答案] D
[解析] 因为点M的位置不确定,则点N的位置也不确定.
2.已知M(2,3)、N(3,1),则的坐标是( )
A.(2,-1) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(1,-2)
[答案] B
[解析] =(2,3)-(3,1)=(-1,2).
3.已知=a,且A,B,又λ=,则λa等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] a==-
=,λa=a=,故选A.
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d
为( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
[答案] D
[解析] 由题意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,
则d=-4a-4b+2c-2(a-c)=-6a-4b+4c=(-2,-6).
5.(2011~2012·凯里高一检测)已知向量a、b满足:a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a、b的坐标分别为( )
A.(4,0)、(-2,6) B.(-2,6)、(4,0)
C.(2,0)、(-1,3) D.(-1,3)、(2,0)
[答案] C
[解析] ∵a+b=(1,3) ①
a-b=(3,-3) ②
∴①+②得:a=(2,0).
①-②得:b=(-1,3).
6.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=ka+lb,则k、l的值为( )
A.-2,3 B.-2,-3
C.2,-3 D.2,3
[答案] D
[解析] 利用相等向量的定义求解.
∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),
∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),
即,解得:k=2,l=3.
二、填空题
7.已知=(3,4),B(2,-1),则点A的坐标是____________.
[答案] (-1,-5)
[解析] 设A(x,y),则=(2-x,-1-y)=(3,4).
故解得x=-1,y=-5.
8.已知两点M(3,-2),N(-5,-1),点P满足=,则点P的坐标是________.
[答案] (-1,-)
[解析] 设P(x,y),则=(x-3,y+2),
=(-8,1).
∵=,∴(x-3,y+2)=(-8,1).
即,解得,∴P(-1,-).
9.(探究题)设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2+=(7,9),且向量=________.
[答案]
[解析] 设=(m,n),则=(-n,m),所以2+=(2m-n,2n+m)=(7,9),即
解得因此,=.
三、解答题
10.已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于点F,求.
[解析] 因为A(7,8),B(3,5),C(4,3)
所以=(-4,-3),AC=(-3,-5).
又因为D是BC的中点,有=(+)=(-3.5,-4),而M、N分别为AB、AC的中点,
所以F为AD的中点,
故有==-=(1.75,2).
11.已知a=(1,1),b=(1,-1),将下列向量表示成xa+yb的形式.
(1)p=(2,3);(2)q=(-3,2).
[解析] xa+yb=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y).
(1)由p=(2,3)=(x+y,x-y),得即 所以p=a-b.
(2)由q=(-3,2)=(x+y,x-y),得
即所以q=-a-b.
12.已知向量u=(x,y)与向量ν=(y,2y-x)的对应关系用ν=f(u)表示.
(1)求证:对于任意向量a、b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.
[解析] (1)证明:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).
∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q.
∴向量c=(2p-q,p).