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  • 2021-06-16 发布

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(一)数学试题含附加题(解析版)

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‎2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)‎ 数学I 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)‎ ‎1.已知i为虚数单位,复数,则= .‎ ‎2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为 .‎ ‎3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a= .‎ ‎5.甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是 .‎ ‎6.右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为 .‎ ‎ ‎ ‎7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=‎2”‎的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).‎ ‎8.已知等差数列的前n项和为,,,则= .‎ ‎9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .‎ ‎10.已知,(,),则= .‎ ‎11.如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB=1,BC=2.分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形(阴影部分)‎ 绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为 .‎ ‎12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是 .‎ ‎13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是 .‎ ‎14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为 .‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)已知a=,B=,求△ABC的面积.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.‎ ‎(1)证明:AP∥平面EBD ;‎ ‎(2)证明:BE⊥PC.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).‎ ‎(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;‎ ‎(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数(mR)的导函数为.‎ ‎(1)若函数存在极值,求m的取值范围;‎ ‎(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列,,数列满足,n.‎ ‎(1)若,,求数列的前2n项和;‎ ‎(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.‎ 第II卷(附加题,共40分)‎ ‎21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。‎ B.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4sinq。‎ ‎(1)求曲线C的普通方程;‎ ‎(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。‎ C.选修4—5:不等式选讲 已知正数x,y,z满足x+y+z=t(t为常数),且的最小值为,求实数t的值。‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推)。抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.‎ ‎(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;‎ ‎(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知抛物线C:x2=4py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.‎ ‎(1)求点G的轨迹方程;‎ ‎(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.‎ ‎2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)‎ 数学I 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)‎ ‎1.已知i为虚数单位,复数,则= .‎ 答案:‎ 考点:复数 解析:.‎ ‎2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为 .‎ 答案:2‎ 考点:集合交集运算 解析:由题意知a﹣1=1,得a=2.‎ ‎3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .‎ 答案:0.08‎ 考点:方差 解析:首先求得,‎ ‎.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a= .‎ 答案:3‎ 考点:双曲线的渐近线 解析:由题意知:,∴a=3.‎ ‎5.甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是 .‎ 答案:‎ 考点:概率 解析:乙不输包括乙获胜或和棋,故P=+=.‎ ‎6.右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为 .‎ ‎ ‎ 答案:6‎ 考点:算法与流程图 解析:第一次:x=4,y=16,‎ ‎ 第二次:x=5,y=32,‎ ‎ 第三次:x=6,y=64,此时64>10×6+3,输出x,故输出x的值为6.‎ ‎7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=‎2”‎的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).‎ 答案:必要不充分 考点:两直线平行,充要性 解析:“直线l1:与直线l2:平行”等价于a=±2,‎ 故“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的必要不充分条件.‎ ‎8.已知等差数列的前n项和为,,,则= .‎ 答案:‎ 考点:等差数列及其性质 解析:.‎ ‎9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .‎ 答案:‎ 考点:导数与切线,基本不等式 解析:,=1时有最小值1,此时M(1,﹣2),‎ ‎ 故切线方程为:,即.‎ ‎10.已知,(,),则= .‎ 答案:‎ 考点:两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,同角三角函数关系式 解析:∵,∴,‎ ‎ 则,.‎ ‎11.如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB=1,BC=2.分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为 .‎ ‎ ‎ 答案:‎ 考点:圆柱与球的体积 解析:.‎ ‎12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是 .‎ 答案:3‎ 考点:平面向量数量积 解析:‎ ‎ ,解得=3.‎ ‎13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a 的取值范围是 .‎ 答案:(1,)‎ 考点:函数与导数综合 解析:由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点 ‎ 考查临界情形:与切于,‎ ‎ .‎ ‎14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为 .‎ ‎ ‎ 答案:‎ 考点:向量与解三角形、圆的综合 解析:设 ‎ B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故,‎ ‎ 在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿圆,其半径,‎ ‎ 故.‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)已知a=,B=,求△ABC的面积.‎ 解:(1)由正弦定理:,得:‎ ‎ B为△ABC内角,故sinB>0,所以,‎ ‎ 若,则,与矛盾,故,‎ ‎ 因此,又A为△ABC内角,所以;‎ ‎ (2)由正弦定理得:,‎ ‎ 故.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.‎ ‎(1)证明:AP∥平面EBD ;‎ ‎(2)证明:BE⊥PC.‎ 证明:(1)连结AC交BD于点O,连结OE ‎ 因为四边形ABCD为平行四边形 ‎ ∴O为AC中点,‎ 又E为PC中点,‎ ‎ 故AP∥OE,‎ 又AP平面EBD,OE平面EBD ‎ 所以AP∥平面EBD ;‎ ‎ (2)∵△PCD为正三角形,E为PC中点 ‎ 所以PC⊥DE ‎ 因为平面PCD⊥平面ABCD,‎ 平面PCD平面ABCD=CD,‎ ‎ 又BD平面ABCD,BD⊥CD ‎ ∴BD⊥平面PCD ‎ 又PC平面PCD,故PC⊥BD ‎ 又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE ‎ 故PC⊥平面BDE ‎ 又BE平面BDE,‎ 所以BE⊥PC.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).‎ ‎(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;‎ ‎(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.‎ 解:(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系 ‎ 由题意知:B(1,0.5),设抛物线方程为 ‎ 代入点B得:p=1,故方程为,x[0,1];‎ ‎ (2)设P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,记∠EPQ=,∠FPQ=‎ ‎ ,,‎ ‎ ‎ ‎ 令,,则:‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当即,即,即时取等 ‎ 故P(,)时视角∠EPF最大,‎ ‎ 答:P(,)时,视角∠EPF最大.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.‎ 解:(1)设焦距为‎2c,由题意知:;‎ ‎ (2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<‎ ‎ ①,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 由①②得:,,‎ ‎ 代入③得:,又,故,‎ ‎ 因此,直线l的方程为.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数(mR)的导函数为.‎ ‎(1)若函数存在极值,求m的取值范围;‎ ‎(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.‎ 解:(1)因为,所以,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 则,‎ ‎ 由题意可知,解得;‎ ‎ (2)由(1)可知,,‎ ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 整理得,‎ ‎ 设,则,所以单调递增,‎ ‎ 又因为,且+m﹣,‎ ‎ 所以存在,使得,‎ ‎ 设,‎ ‎ 则,‎ ‎ 设,则,,‎ ‎ 所以单调递增,因为,‎ ‎ 所以存在,使得,即,‎ ‎ 且当时,,当时,,‎ ‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 因为,所以,‎ ‎ 又由题意可知,所以,‎ ‎ 解得,所以正整数k的取值集合为{1,2}.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列,,数列满足,n.‎ ‎(1)若,,求数列的前2n项和;‎ ‎(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.‎ 解:(1)因为,,所以,且,‎ ‎ 由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,‎ ‎ 数列是首项和公比均为4的等比数列,‎ ‎ 所以;‎ ‎ (2)①设数列的公差为,数列的公差为,‎ ‎ 当n为奇数时,,‎ ‎ 若,则当时,,‎ ‎ 即,与题意不符,所以,‎ ‎ 当n为偶数时,,,‎ ‎ 若,则当时,,‎ 即,与题意不符,所以,‎ ‎ 综上,,原命题得证;‎ ‎ ②假设可以为等比数列,设公比为q,‎ ‎ 因为,所以,所以,,‎ ‎ 因为当时,‎ ‎,‎ ‎ 所以当n为偶数,且时,,‎ ‎ 即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,‎ ‎ 所以数列不能为等比数列.‎ 第II卷(附加题,共40分)‎ ‎21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。‎ 解:设矩阵M=,则AM=,‎ 所以,解得,所以M=,‎ 则矩阵M的特征方程为,解得,即特征值为1,‎ 设特征值的特征向量为,则,‎ 即,解得x=0,所以属于特征值的的一个特征向量为.‎ B.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4sinq。‎ ‎(1)求曲线C的普通方程;‎ ‎(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标. ‎ 解:(1)∵曲线C的极坐标方程为,‎ ‎ ∴,则 ‎ 即:‎ ‎ (2),‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴‎ ‎ (舍)或,‎ ‎ 公共点(,3),极坐标(2,).‎ C.选修4—5:不等式选讲 已知正数x,y,z满足x+y+z=t(t为常数),且的最小值为,求实数t的值。‎ 解:因为 ‎ ‎ ‎ 即,当且仅当,,时,上述等号成立,‎ ‎ 所以,即,又x,y,z>0,∴x+y+z=t=4.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推)。抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.‎ ‎(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;‎ ‎(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.‎ 解:由题意知,随机变量X的可能取值为10,20,40‎ 且,,‎ 所以,‎ 即随机变量X的概率分布为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ P 所以随机变量X的数学期望;‎ ‎(2)由题意知,赵四有三次抽奖机会,设恰好获得60元为事件A,‎ ‎ 因为60=20×3=40+10+10,‎ ‎ 所以.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知抛物线C:x2=4py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.‎ ‎(1)求点G的轨迹方程;‎ ‎(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.‎ 解:(1)设,则,‎ 抛物线C的方程可化为,则,‎ 所以曲线C在点A处的切线方程为,‎ ‎ 在点B处的切线方程为,‎ ‎ 因为两切线均过点G,所以,‎ 所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,‎ 又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;‎ ‎ (2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,‎ 即,‎ ‎ 将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,‎ ‎ 所以,,解得,‎ ‎ 因为直线AB的斜率,所以,‎ 且,‎ ‎ 线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:‎ ‎,‎ ‎ 所以E点坐标为(0,),‎ ‎ 直线AB的方程整理得,‎ ‎ 则G到AB的距离,‎ ‎ 则E到AB的距离,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 设,因为p是质数,且为整数,所以或,‎ ‎ 当时,,是无理数,不符题意,‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 因为当时,,即是无理数,所以不符题意,‎ ‎ 当时,是无理数,不符题意,‎ ‎ 综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.‎