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- 2021-06-16 发布
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2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)
数学I
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知i为虚数单位,复数,则= .
2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为 .
3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .
4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a= .
5.甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是 .
6.右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为 .
7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).
8.已知等差数列的前n项和为,,,则= .
9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .
10.已知,(,),则= .
11.如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB=1,BC=2.分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形(阴影部分)
绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为 .
12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是 .
13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是 .
14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为 .
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求A;
(2)已知a=,B=,求△ABC的面积.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
(1)证明:AP∥平面EBD ;
(2)证明:BE⊥PC.
17.(本小题满分14分)
某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).
(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;
(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数(mR)的导函数为.
(1)若函数存在极值,求m的取值范围;
(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.
20.(本小题满分16分)
已知数列,,数列满足,n.
(1)若,,求数列的前2n项和;
(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.
第II卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。
B.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4sinq。
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。
C.选修4—5:不等式选讲
已知正数x,y,z满足x+y+z=t(t为常数),且的最小值为,求实数t的值。
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推)。抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.
(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.
23.(本小题满分10分)
已知抛物线C:x2=4py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.
2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)
数学I
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知i为虚数单位,复数,则= .
答案:
考点:复数
解析:.
2.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为 .
答案:2
考点:集合交集运算
解析:由题意知a﹣1=1,得a=2.
3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 .
答案:0.08
考点:方差
解析:首先求得,
.
4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a= .
答案:3
考点:双曲线的渐近线
解析:由题意知:,∴a=3.
5.甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是 .
答案:
考点:概率
解析:乙不输包括乙获胜或和棋,故P=+=.
6.右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为 .
答案:6
考点:算法与流程图
解析:第一次:x=4,y=16,
第二次:x=5,y=32,
第三次:x=6,y=64,此时64>10×6+3,输出x,故输出x的值为6.
7.“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).
答案:必要不充分
考点:两直线平行,充要性
解析:“直线l1:与直线l2:平行”等价于a=±2,
故“直线l1:与直线l2:平行”是“a=2”的必要不充分条件.
8.已知等差数列的前n项和为,,,则= .
答案:
考点:等差数列及其性质
解析:.
9.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 .
答案:
考点:导数与切线,基本不等式
解析:,=1时有最小值1,此时M(1,﹣2),
故切线方程为:,即.
10.已知,(,),则= .
答案:
考点:两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,同角三角函数关系式
解析:∵,∴,
则,.
11.如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB=1,BC=2.分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为 .
答案:
考点:圆柱与球的体积
解析:.
12.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是 .
答案:3
考点:平面向量数量积
解析:
,解得=3.
13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a
的取值范围是 .
答案:(1,)
考点:函数与导数综合
解析:由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点
考查临界情形:与切于,
.
14.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为 .
答案:
考点:向量与解三角形、圆的综合
解析:设
B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故,
在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿圆,其半径,
故.
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求A;
(2)已知a=,B=,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理:,得:
B为△ABC内角,故sinB>0,所以,
若,则,与矛盾,故,
因此,又A为△ABC内角,所以;
(2)由正弦定理得:,
故.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
(1)证明:AP∥平面EBD ;
(2)证明:BE⊥PC.
证明:(1)连结AC交BD于点O,连结OE
因为四边形ABCD为平行四边形
∴O为AC中点,
又E为PC中点,
故AP∥OE,
又AP平面EBD,OE平面EBD
所以AP∥平面EBD ;
(2)∵△PCD为正三角形,E为PC中点
所以PC⊥DE
因为平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD平面ABCD=CD,
又BD平面ABCD,BD⊥CD
∴BD⊥平面PCD
又PC平面PCD,故PC⊥BD
又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE
故PC⊥平面BDE
又BE平面BDE,
所以BE⊥PC.
17.(本小题满分14分)
某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 (百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).
(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;
(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.
解:(1)以A为原点,l1为x轴,抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知:B(1,0.5),设抛物线方程为
代入点B得:p=1,故方程为,x[0,1];
(2)设P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,记∠EPQ=,∠FPQ=
,,
令,,则:
当且仅当即,即,即时取等
故P(,)时视角∠EPF最大,
答:P(,)时,视角∠EPF最大.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.
解:(1)设焦距为2c,由题意知:;
(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<
①,
,
,
由①②得:,,
代入③得:,又,故,
因此,直线l的方程为.
19.(本小题满分16分)
已知函数(mR)的导函数为.
(1)若函数存在极值,求m的取值范围;
(2)设函数(其中e为自然对数的底数),对任意mR,若关于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整数k的取值集合.
解:(1)因为,所以,
所以,
则,
由题意可知,解得;
(2)由(1)可知,,
所以
因为
整理得,
设,则,所以单调递增,
又因为,且+m﹣,
所以存在,使得,
设,
则,
设,则,,
所以单调递增,因为,
所以存在,使得,即,
且当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
因为,所以,
又由题意可知,所以,
解得,所以正整数k的取值集合为{1,2}.
20.(本小题满分16分)
已知数列,,数列满足,n.
(1)若,,求数列的前2n项和;
(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.
解:(1)因为,,所以,且,
由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
数列是首项和公比均为4的等比数列,
所以;
(2)①设数列的公差为,数列的公差为,
当n为奇数时,,
若,则当时,,
即,与题意不符,所以,
当n为偶数时,,,
若,则当时,,
即,与题意不符,所以,
综上,,原命题得证;
②假设可以为等比数列,设公比为q,
因为,所以,所以,,
因为当时,
,
所以当n为偶数,且时,,
即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,
所以数列不能为等比数列.
第II卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。
解:设矩阵M=,则AM=,
所以,解得,所以M=,
则矩阵M的特征方程为,解得,即特征值为1,
设特征值的特征向量为,则,
即,解得x=0,所以属于特征值的的一个特征向量为.
B.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为r=4sinq。
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.
解:(1)∵曲线C的极坐标方程为,
∴,则
即:
(2),
∴,
∴
(舍)或,
公共点(,3),极坐标(2,).
C.选修4—5:不等式选讲
已知正数x,y,z满足x+y+z=t(t为常数),且的最小值为,求实数t的值。
解:因为
即,当且仅当,,时,上述等号成立,
所以,即,又x,y,z>0,∴x+y+z=t=4.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推)。抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.
(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.
解:由题意知,随机变量X的可能取值为10,20,40
且,,
所以,
即随机变量X的概率分布为
X
10
20
40
P
所以随机变量X的数学期望;
(2)由题意知,赵四有三次抽奖机会,设恰好获得60元为事件A,
因为60=20×3=40+10+10,
所以.
23.(本小题满分10分)
已知抛物线C:x2=4py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.
解:(1)设,则,
抛物线C的方程可化为,则,
所以曲线C在点A处的切线方程为,
在点B处的切线方程为,
因为两切线均过点G,所以,
所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,
又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;
(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,
即,
将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,
所以,,解得,
因为直线AB的斜率,所以,
且,
线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:
,
所以E点坐标为(0,),
直线AB的方程整理得,
则G到AB的距离,
则E到AB的距离,
所以,
设,因为p是质数,且为整数,所以或,
当时,,是无理数,不符题意,
当时,,
因为当时,,即是无理数,所以不符题意,
当时,是无理数,不符题意,
综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.