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- 2021-06-16 发布
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1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
知识点一 直线与平面垂直
1.直线与平面垂直
(1)定义:若直线l与平面α内的______一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直.
(2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直,则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直).即:a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P⇒______.
(3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线______.即:a⊥α,b⊥α⇒______.
2.直线与平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.
(2)线面角θ的范围:θ∈.
答案
1.(1)任意 (2)相交 l⊥α
(3)平行 a∥b
1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
解析:因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.故选C.
答案:C
2.(必修②P69练习题)如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体SEFG中必有( )
A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF
解析:解法1:在正方形SG1G2G3中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,在四面体SEFG中,SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG.
解法2:GF即G3F不垂直于SF,所以可以排除C;在△GSD中,GS=a(正方形边长),GD=a,SD=a,所以SG2≠SD2+GD2,∠SDG≠90°,从而排除B和D.
答案:A
3.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为________.
解析:由题意知cosα=,又∵0°≤α≤90°,∴α=60°.
答案:60°
知识点二 二面角的有关概念
1.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作________的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的一条____,则这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于____的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
答案
1.(1)两个半平面 (2)垂直于棱
2.垂线 l⊂β l⊥α 交线 α⊥β l⊂β α∩β=a l⊥a
4.(2017·衡水模拟)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
解析:对于A,若l∥α,l∥β,则α,β可能相交;对于B,若l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行,则m⊥β,又m⊂α,故α⊥β.选项C,l可能平行于β或l在平面β内;选项D,l还可能平行于β或在平面β内.
答案:B
5.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有________(填序号).
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABD⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC
,同理有DE⊥AC,DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确.
答案:③
热点一 直线与平面垂直的判定与性质
【例1】 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,且PA=PC,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:PO⊥平面ABCD.
【证明】 在△PBD中,PB=PD,O为BD的中点,所以PO⊥BD,在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,又因为AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.
【例2】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
【证明】 (1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.
【总结反思】
(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
(3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,
又∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,
∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴PA⊥AB.
又AB⊥AD,且PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD
∴AB⊥PD,又AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE
热点二 平面与平面垂直的判定与性质
【例3】 (2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【证明】 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂
平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
【总结反思】
(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直,利用判定定理来证明.也可作出二面角的平面角,证明平面角为直角,利用定义来证明.
(2)已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直,由此得出结论:两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
(2017·南昌模拟)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.
(1)求证:平面EFG⊥平面PAD.
(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.
解:(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD.
又因为△PCD中,E,F分别是PD,PC的中点.所以EF∥CD,所以EF⊥平面PAD.
因为EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAD.
(2)因为EF∥CD,EF⊂平面EFG,CD⊄平面EFG,所以CD∥平面EFG,
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,所以VM-EFG=VD-EFG,
取AD的中点H,连接GH,EH,则EF∥GH,
因为EF⊥平面PAD,EH⊂平面PAD,所以EF⊥EH.
于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG,
因为平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,△EHD是正三角形,所以点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,即为.
因此,三棱锥M-EFG的体积VM-EFG=VD-EFG=×S△EFG×=.
热点三 平行与垂直的综合问题
【例4】 如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.
(1)证明:AE∥平面BDF.
(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)证明:连接AC交BD于点O,连接OF.
∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点.
又F为EC的中点,∴OF∥AE.
又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,
∴AE∥平面BDF.
(2)当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:
取BE的中点H,连接DP,PH,CH.
∵P为AE的中点,H为BE的中点,
∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD.
∴P,H,C,D四点共面.
∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,∴CD⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC=CE,且H为BE的中点,∴CH⊥BE.∵CH∩CD=C,∴BE⊥平面DPHC.
又PM⊂平面DPHC,∴PM⊥BE.
【总结反思】
处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般先根据条件猜测点的位置,再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或n等分点中的某一个,需根据相关的知识确定点的位置.
(2016·四川卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
(Ⅰ)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PBD.
解:
(Ⅰ)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM,所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(Ⅱ)由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD,
所以直线AB与CD相交.
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
连接BM,
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
1.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义:a与α内任何直线都垂直⇔a⊥α;
(2)判定定理1:⇒l⊥α;
(3)判定定理2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
(4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α⇒a⊥β;
(5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
2.证明线线垂直的方法
(1)定义:两条直线所成的角为90°;
(2)平面几何中证明线线垂直的方法;
(3)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;
(4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
3.证明面面垂直的方法
(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
4.转化思想:垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.