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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版直线、平面垂直的判定及其性质教案

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‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.‎ 知识点一 直线与平面垂直 ‎ ‎1.直线与平面垂直 ‎(1)定义:若直线l与平面α内的______一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直.‎ ‎(2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直,则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直).即:a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P⇒______.‎ ‎(3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线______.即:a⊥α,b⊥α⇒______.‎ ‎2.直线与平面所成的角 ‎(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.‎ ‎(2)线面角θ的范围:θ∈.‎ 答案 ‎1.(1)任意 (2)相交 l⊥α ‎(3)平行 a∥b ‎1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(  )‎ A.m∥l          B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 解析:因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.故选C.‎ 答案:C ‎2.(必修②P69练习题)如图,正方形SG‎1G2G3中,E,F分别是G‎1G2,G‎2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体SEFG中必有(  )‎ A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF 解析:解法1:在正方形SG‎1G2G3中,SG1⊥G1E,SG3⊥G‎3F,在四面体SEFG中,SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG.‎ 解法2:GF即G‎3F不垂直于SF,所以可以排除C;在△GSD中,GS=a(正方形边长),GD=a,SD=a,所以SG2≠SD2+GD2,∠SDG≠90°,从而排除B和D.‎ 答案:A ‎3.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为________.‎ 解析:由题意知cosα=,又∵0°≤α≤90°,∴α=60°.‎ 答案:60°‎ 知识点二 二面角的有关概念 ‎ ‎1.二面角的有关概念 ‎(1)二面角:从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.‎ ‎(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作________的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.‎ ‎2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条____,则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于____的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 答案 ‎1.(1)两个半平面 (2)垂直于棱 ‎2.垂线 l⊂β l⊥α 交线 α⊥β l⊂β α∩β=a l⊥a ‎4.(2017·衡水模拟)设l是直线,α,β是两个不同的平面(  )‎ A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 解析:对于A,若l∥α,l∥β,则α,β可能相交;对于B,若l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行,则m⊥β,又m⊂α,故α⊥β.选项C,l可能平行于β或l在平面β内;选项D,l还可能平行于β或在平面β内.‎ 答案:B ‎5.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有________(填序号).‎ ‎①平面ABC⊥平面ABD;‎ ‎②平面ABD⊥平面BCD;‎ ‎③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;‎ ‎④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.‎ 解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC ‎,同理有DE⊥AC,DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确.‎ 答案:③‎ 热点一 直线与平面垂直的判定与性质 ‎ ‎【例1】 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,且PA=PC,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:PO⊥平面ABCD.‎ ‎【证明】 在△PBD中,PB=PD,O为BD的中点,所以PO⊥BD,在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,又因为AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.‎ ‎【例2】 如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B‎1C∩BC1=E.‎ 求证:(1)DE∥平面AA‎1C1C;‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎【证明】 (1)由题意知,E为B‎1C的中点,‎ 又D为AB1的中点,因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA‎1C1C,AC⊂平面AA‎1C1C,所以DE∥平面AA‎1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC-A1B‎1C1是直三棱柱,‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B‎1C.‎ 因为AC,B‎1C⊂平面B‎1AC,AC∩B‎1C=C,‎ 所以BC1⊥平面B‎1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B‎1AC,所以BC1⊥AB1.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.‎ ‎(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎(3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.‎ 证明:(1)CD⊥AE;‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD,‎ 又∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,‎ ‎∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.‎ 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥AB.‎ 又AB⊥AD,且PA∩AD=A ‎∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD ‎∴AB⊥PD,又AB∩AE=A ‎∴PD⊥平面ABE 热点二 平面与平面垂直的判定与性质 ‎ ‎【例3】 (2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A‎1F,A‎1C1⊥A1B1.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A‎1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎【证明】 (1)在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A‎1C1.‎ 又DE⊄平面A‎1C1F,A‎1C1⊂平面A‎1C1F,‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,A‎1A⊥平面A1B‎1C1.因为A‎1C1⊂‎ 平面A1B‎1C1,所以A‎1A⊥A‎1C1.‎ 又A‎1C1⊥A1B1,A‎1A⊂平面ABB‎1A1,A1B1⊂平面ABB‎1A1,A‎1A∩A1B1=A1,所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.因为B1D⊂平面ABB‎1A1,所以A‎1C1⊥B1D.‎ 又B1D⊥A‎1F,A‎1C1⊂平面A‎1C1F,A‎1F⊂平面A‎1C1F,A‎1C1∩A‎1F=A1,‎ 所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直,利用判定定理来证明.也可作出二面角的平面角,证明平面角为直角,利用定义来证明.‎ ‎(2)已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直,由此得出结论:两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.‎ ‎ ‎ ‎(2017·南昌模拟)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.‎ ‎(1)求证:平面EFG⊥平面PAD.‎ ‎(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.‎ 解:(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD.‎ 又因为△PCD中,E,F分别是PD,PC的中点.所以EF∥CD,所以EF⊥平面PAD.‎ 因为EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAD.‎ ‎(2)因为EF∥CD,EF⊂平面EFG,CD⊄平面EFG,所以CD∥平面EFG,‎ 因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,所以VM-EFG=VD-EFG,‎ 取AD的中点H,连接GH,EH,则EF∥GH,‎ 因为EF⊥平面PAD,EH⊂平面PAD,所以EF⊥EH.‎ 于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG,‎ 因为平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,△EHD是正三角形,所以点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,即为.‎ 因此,三棱锥M-EFG的体积VM-EFG=VD-EFG=×S△EFG×=.‎ 热点三 平行与垂直的综合问题 ‎ ‎【例4】 如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.‎ ‎(1)证明:AE∥平面BDF.‎ ‎(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解】 (1)证明:连接AC交BD于点O,连接OF.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点.‎ 又F为EC的中点,∴OF∥AE.‎ 又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,‎ ‎∴AE∥平面BDF.‎ ‎(2)当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:‎ 取BE的中点H,连接DP,PH,CH.‎ ‎∵P为AE的中点,H为BE的中点,‎ ‎∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD.‎ ‎∴P,H,C,D四点共面.‎ ‎∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,∴CD⊥平面BCE.‎ 又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC=CE,且H为BE的中点,∴CH⊥BE.∵CH∩CD=C,∴BE⊥平面DPHC.‎ 又PM⊂平面DPHC,∴PM⊥BE.‎ ‎【总结反思】‎ 处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般先根据条件猜测点的位置,再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或n等分点中的某一个,需根据相关的知识确定点的位置.‎ ‎ ‎ ‎(2016·四川卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.‎ ‎(Ⅰ)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PBD.‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:‎ 因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM,所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(Ⅱ)由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,‎ 因为AD∥BC,BC=AD,‎ 所以直线AB与CD相交.‎ 所以PA⊥平面ABCD.‎ 从而PA⊥BD.‎ 连接BM,‎ 因为AD∥BC,BC=AD,‎ 所以BC∥MD,且BC=MD.‎ 所以四边形BCDM是平行四边形.‎ 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD,‎ 所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎1.证明线面垂直的方法 ‎(1)线面垂直的定义:a与α内任何直线都垂直⇔a⊥α;‎ ‎(2)判定定理1:⇒l⊥α;‎ ‎(3)判定定理2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α;‎ ‎(4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α⇒a⊥β;‎ ‎(5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎2.证明线线垂直的方法 ‎(1)定义:两条直线所成的角为90°;‎ ‎(2)平面几何中证明线线垂直的方法;‎ ‎(3)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;‎ ‎(4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α⇒a⊥b.‎ ‎3.证明面面垂直的方法 ‎(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;‎ ‎(2)判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎4.转化思想:垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.‎

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