河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 20页

石家庄二中2019-2020学年度高二年级第一学期期中考试 数学试卷 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.若，则是的（ ）‎ A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：解分式不等式，可得x＞1或x＜0，‎ 因为集合{x|x＞1}是集合{x|x＞1或x＜0}的真子集，‎ 故“”是“x＞1或x＜‎0”‎的充分不必要条件，‎ 故选D.‎ 考点：逻辑命题 ‎2.已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程求出，然后再求得渐近线方程．‎ ‎【详解】∵，∴，即，‎ 又，∴，即双曲线方程为，‎ 渐近线方程为，斜率为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为．‎ ‎3. 小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 A. 30% B. 10% C. 3% D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 鸡蛋开支占食品开支，小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.下列说法正确的是 （ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若，则”逆否命题是真命题。‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据否命题的概念可知选项A不正确;‎ 再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确;对于选项B，∵，∴x=-1或6，故“”是“”的充分不必要条件，B不正确;选项D由原命题正确可得其逆否命题正确，故选D 考点：本题考查了简易逻辑知识 点评：近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有：充分条件和必要条件的判断，四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面 ‎5.若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎7 ‎C. 9 D. 7或9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义求解．‎ ‎【详解】若，则，，舍去；‎ 若，则，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与椭圆定义，解题时一定要根据椭圆的标准方程进行分类讨论．‎ ‎6.若点，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中线段是定值，然后把问题转化为求到直线的距离的最大值，由椭圆性质即得．‎ ‎【详解】是坐标原点，由对称性得，当是短轴端点时，到 距离最大，即面积最大，又由题意，则，‎ ‎∴的最大值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的对称性，掌握椭圆的几何性质是解题基础．‎ ‎7.若过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，是抛物线的顶点，则是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设及直线的方程，与抛物线方程联立后消元，利用韦达定理得出，然后由向量的数量积计算可判断的大小．‎ ‎【详解】设，显然与轴不垂直，设方程为，代入抛物线方程得：，∴，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 是钝角，为钝角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，设抛物线方程为，是抛物线过焦点的弦，，则，，．‎ ‎8.已知点是椭圆上的动点，，分别是椭圆的左右焦点，为原点，若是的角平分线上的一点，且，则 长度的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 让在椭圆上运动，当是短轴端点时， 取得最小值，当是长轴端点时，取得最大值，从而可得解．‎ ‎【详解】‎ 考虑椭圆，当与短轴端点重合时，的角平分线就是射线，此时，即与重合，取得最小值0，当是长轴端点时，是零角，其角平分线就是射线，此时过与垂直的直线就是过与轴垂直的直线，交点为，即与重合，取最大值＝，而题中点不能与椭圆顶点重合，因此的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，由于是选择题，解题时可从极端情形出发，得出的最值，从而很快得出正确结论．如果不从特殊情形考虑，容易出现错误．‎ ‎9.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设点A,B在准线上的射影分别为M,N，准线与轴交于点H，则，由已知F是AC的中点，,，设，则，即，解得，所以，选B.‎ 点睛：办呢体主要考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过抛物线的焦点弦问题，平面几何知识，转化化归的思想方法，属于中档题。‎ ‎10.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知，双曲线的右焦点，关于原点的对称点为，‎ 则，‎ 四边形为平行四边形 则，‎ 由，根据椭圆的定义 ‎，，‎ 在中，，，‎ 则，整理得 则双曲线的离心率 故选 点睛：本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知，四边形为平行四边形，利用双曲线的定义和性质，求得，在在中，利用勾股定理即可求得，根据双曲线的离心率公式即可求得答案。‎ ‎11.已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，若满足内切圆的周长等于的点恰好有2个，则（ ）‎ A. 20 B. ‎25 ‎C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆对称性，满足题意的点只有两个，则点是椭圆短轴端点．再由的面积建立的方程，从而求解．‎ ‎【详解】若满足内切圆的周长等于的点恰好有2个，所以是椭圆短轴端点，又由内切圆的周长等于，得其半径为，∵，∴，即，，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，利用椭圆的对称性得出动点是椭圆的端点，由内切圆周长得出圆半径，由的面积建立的方程，从而求解．这是三角形内切圆与三角形边长的一个联系．‎ ‎12.已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由，得，然后利用双曲线的定义和勾股定理可求得（用表示），再由得出的不等关系．‎ ‎【详解】∵，∴，记，，则，又①，∴，∴，②，由①②得 ‎，又，∴，解得，即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，求离心率取值范围，一般要列出关于的不等关系，再转化为关于离心率的不等式，然后可求解．本题中首先得出直角三角形，然后利用双曲线的定义及勾股定理求得到两焦点的距离，结合已知可得出的不等关系．‎ 二、填空题.（每题5分，共20分）‎ ‎13.若抛物线过点，则抛物线的标准方程为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设抛物线的方程为和，代入已知点的坐标即可求解．‎ ‎【详解】设抛物线方程为，则，，方程为．‎ 设抛物线方程为，则，，方程为．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程．由于已知抛物线上一点的坐标，因此可根据此点位置设出抛物线的标准方程，如本题可设抛物线标准方程为或．当然也可不考虑焦点在坐标轴的正半轴还是负半轴，直接设抛物线方程为和，然后代入点的坐标求解．但一定要注意对焦点在轴还是在轴要分类讨论．‎ ‎14.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，由余弦定理知，所以，故填.‎ ‎15.双曲线是等轴双曲线，点为其右支上一动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等轴双曲线得出双曲线的渐近线，直线与和它平行的渐近线的距离就是所求的最大值．‎ ‎【详解】双曲线是等轴双曲线，则其渐近线为，直线与直线的距离为，所以等轴双曲线右支上点到直线的距离大于，即的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等轴双曲线的定义，考查双曲线的几何性质．属于基础题．‎ ‎16.已知抛物线和所围成的封闭曲线，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知过两曲线的交点的直线与轴的交点为，所以，当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为，则其对称点为 ‎，将其代入曲线，得到关于的方程的解有且只有两个，当时，不符合题意，所以，所以，即，所以答案应填：．‎ 考点：抛物线的简单几何性质．‎ 三．解答题.‎ ‎17.设命题函数在单调递增；‎ 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ 命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：化简命题可得，化简命题可得 ，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ 详解：由于命题函数在单调递增 所以 ‎ 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ 所以 ‎ 命题“”为真命题,“”为假命题，则命题一真一假 ‎①真假时： ‎ ‎②： ‎ 综上所述：的取值范围为：‎ 点睛：本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18.某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；‎ ‎（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：‎ 方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；‎ 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的收取；‎ 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？‎ ‎【答案】(1)2；(2) 方案一能收到更多的费用.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；‎ ‎（2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可．‎ ‎【详解】(1)这100人月薪收入的样本平均数是 ‎.‎ ‎(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为 ‎（万元）； ‎ 月薪落在区间收活动费用约为（万元）；‎ 月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；‎ 因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）；‎ 方案二：这50人共收活动费用约为（万元）；‎ 故方案一能收到更多的费用.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题．‎ ‎19.已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内接于矩形，与轴交于点，点是半圆上异于，的任意一点.当点位于点处时，的面积最大.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）连，分别交于点，，求证：为定值.‎ ‎【答案】(1) 和. (2)证明见解析，定值为4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点在半圆上，求得，再由的面积最大，则与半圆在点处的切线平行，从而可求得，可得曲线方程．‎ ‎（2）设，写出直线方程，求出点坐标，计算即可．‎ ‎【详解】（1）因为点在半圆上，得，∵，∴，‎ 当半圆在点处的切线与直线平行时，的面积最大.‎ ‎∵，∴，，，‎ 所以曲线的方程和.‎ ‎（2）得，，设，‎ 则：，令，得，‎ ‎：，令，得，‎ 又，，，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求曲线的方程，考查解析几何中的定值问题．对于定值问题，直接设动点坐标，然后根据已知计算点的坐标，计算线段长度等等，再利用动点在曲线上的性质得出定值是一种基本方法．‎ ‎20.已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）（1）根据抛物线定义知，，‎ ‎∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，换元后利用基本不等式可得结果.‎ 试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 令，，则．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.‎ ‎21.已知椭圆方程为：椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，且 ‎（1）椭圆的方程 ‎（2）求的面积；‎ ‎【答案】(1)； (2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意求出c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，设出A，B的坐标，利用根与系数的关系求出A，B的横纵坐标的乘积，再由 .得到k与m的关系，利用弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出坐标原点O到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案．‎ 解析：‎ ‎（1）由已知，∴，∴‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）设，，则的坐标满足 消去化简得，，‎ ‎，得 ‎ ,‎ ‎.‎ ‎，，即 ‎∴‎ ‎， ‎ 到直线的距离 ‎∴,‎ ‎.‎ 点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.‎ ‎22.已知抛物线：的焦点为，点为上异于顶点的任意一点，过 的直线交于另一点，交轴正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线，且和相切于点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 直线过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，抛物线的焦点为，由，可得，从而，再由点横坐标与中点横坐标相同可求得．‎ ‎（2）设，可得，由，可设直线的方程为，由它与抛物线相切可求得，也即得出点坐标，求出直线方程，观察得其过定点．注意分类，即按直线斜率是否存在分类讨论．‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点，设，则的中点坐标为，‎ ‎∵，∴，解得，或（舍），‎ ‎∵，∴，解得，‎ ‎∴抛物线方程.‎ ‎（2）由（1）知，，设，，‎ ‎∵，则，由得，即，‎ ‎∴直线的斜率，∵，故设直线的方程为，‎ 联立方程组，得，‎ ‎∵直线与抛物线相切，∴，，‎ 设，则，，‎ 当时，，直线的方程为，‎ ‎∵，∴直线的方程为，∴直线过定点，‎ 当时，直线方程为，经过定点，‎ 综上，直线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线中定点问题．圆锥曲线中定点问题的两种解法：‎ ‎(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．‎ ‎(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．‎