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  • 2021-06-16 发布

河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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石家庄二中2019-2020学年度高二年级第一学期期中考试 数学试卷 一、选择题(每题5分,共60分)‎ ‎1.若,则是的( )‎ A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:解分式不等式,可得x>1或x<0,‎ 因为集合{x|x>1}是集合{x|x>1或x<0}的真子集,‎ 故“”是“x>1或x<‎0”‎的充分不必要条件,‎ 故选D.‎ 考点:逻辑命题 ‎2.已知双曲线的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程求出,然后再求得渐近线方程.‎ ‎【详解】∵,∴,即,‎ 又,∴,即双曲线方程为,‎ 渐近线方程为,斜率为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的渐近线.双曲线的渐近线方程为.‎ ‎3. 小波一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支分布如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 A. 30% B. 10% C. 3% D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 鸡蛋开支占食品开支,小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎4.下列说法正确的是 ( )‎ A. 命题“若,则”的否命题是“若,则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若,则”逆否命题是真命题。‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:根据否命题的概念可知选项A不正确;‎ 再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确;对于选项B,∵,∴x=-1或6,故“”是“”的充分不必要条件,B不正确;选项D由原命题正确可得其逆否命题正确,故选D 考点:本题考查了简易逻辑知识 点评:近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有:充分条件和必要条件的判断,四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面 ‎5.若椭圆上一点到两焦点的距离之和为,则的值为( )‎ A. 1 B. ‎7 ‎C. 9 D. 7或9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义求解.‎ ‎【详解】若,则,,舍去;‎ 若,则,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与椭圆定义,解题时一定要根据椭圆的标准方程进行分类讨论.‎ ‎6.若点,是椭圆上关于原点对称的两点,是椭圆的右焦点,则面积的最大值是( )‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中线段是定值,然后把问题转化为求到直线的距离的最大值,由椭圆性质即得.‎ ‎【详解】是坐标原点,由对称性得,当是短轴端点时,到 距离最大,即面积最大,又由题意,则,‎ ‎∴的最大值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的对称性,掌握椭圆的几何性质是解题基础.‎ ‎7.若过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,是抛物线的顶点,则是( )‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设及直线的方程,与抛物线方程联立后消元,利用韦达定理得出,然后由向量的数量积计算可判断的大小.‎ ‎【详解】设,显然与轴不垂直,设方程为,代入抛物线方程得:,∴,又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 是钝角,为钝角三角形.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质,设抛物线方程为,是抛物线过焦点的弦,,则,,.‎ ‎8.已知点是椭圆上的动点,,分别是椭圆的左右焦点,为原点,若是的角平分线上的一点,且,则 长度的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 让在椭圆上运动,当是短轴端点时, 取得最小值,当是长轴端点时,取得最大值,从而可得解.‎ ‎【详解】‎ 考虑椭圆,当与短轴端点重合时,的角平分线就是射线,此时,即与重合,取得最小值0,当是长轴端点时,是零角,其角平分线就是射线,此时过与垂直的直线就是过与轴垂直的直线,交点为,即与重合,取最大值=,而题中点不能与椭圆顶点重合,因此的取值范围是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质,由于是选择题,解题时可从极端情形出发,得出的最值,从而很快得出正确结论.如果不从特殊情形考虑,容易出现错误.‎ ‎9.如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,交其准线于点,若点是的中点,且,则线段的长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设点A,B在准线上的射影分别为M,N,准线与轴交于点H,则,由已知F是AC的中点,,,设,则,即,解得,所以,选B.‎ 点睛:办呢体主要考查抛物线的定义及其应用,抛物线的几何性质,过抛物线的焦点弦问题,平面几何知识,转化化归的思想方法,属于中档题。‎ ‎10.已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0),点F为E的左焦点,点P为E上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则E的离心率为(  )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知,双曲线的右焦点,关于原点的对称点为,‎ 则,‎ 四边形为平行四边形 则,‎ 由,根据椭圆的定义 ‎,,‎ 在中,,,‎ 则,整理得 则双曲线的离心率 故选 点睛:本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知,四边形为平行四边形,利用双曲线的定义和性质,求得,在在中,利用勾股定理即可求得,根据双曲线的离心率公式即可求得答案。‎ ‎11.已知,为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,若满足内切圆的周长等于的点恰好有2个,则( )‎ A. 20 B. ‎25 ‎C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆对称性,满足题意的点只有两个,则点是椭圆短轴端点.再由的面积建立的方程,从而求解.‎ ‎【详解】若满足内切圆的周长等于的点恰好有2个,所以是椭圆短轴端点,又由内切圆的周长等于,得其半径为,∵,∴,即,,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质,利用椭圆的对称性得出动点是椭圆的端点,由内切圆周长得出圆半径,由的面积建立的方程,从而求解.这是三角形内切圆与三角形边长的一个联系.‎ ‎12.已知点,分别是双曲线:的左、右焦点,为坐标原点,点在双曲线的右支上,且满足,,则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由,得,然后利用双曲线的定义和勾股定理可求得(用表示),再由得出的不等关系.‎ ‎【详解】∵,∴,记,,则,又①,∴,∴,②,由①②得 ‎,又,∴,解得,即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质,求离心率取值范围,一般要列出关于的不等关系,再转化为关于离心率的不等式,然后可求解.本题中首先得出直角三角形,然后利用双曲线的定义及勾股定理求得到两焦点的距离,结合已知可得出的不等关系.‎ 二、填空题.(每题5分,共20分)‎ ‎13.若抛物线过点,则抛物线的标准方程为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设抛物线的方程为和,代入已知点的坐标即可求解.‎ ‎【详解】设抛物线方程为,则,,方程为.‎ 设抛物线方程为,则,,方程为.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程.由于已知抛物线上一点的坐标,因此可根据此点位置设出抛物线的标准方程,如本题可设抛物线标准方程为或.当然也可不考虑焦点在坐标轴的正半轴还是负半轴,直接设抛物线方程为和,然后代入点的坐标求解.但一定要注意对焦点在轴还是在轴要分类讨论.‎ ‎14.已知点是椭圆上的一点,分别为椭圆的左、右焦点,已知=120°,且,则椭圆的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设,由余弦定理知,所以,故填.‎ ‎15.双曲线是等轴双曲线,点为其右支上一动点,若点到直线的距离大于恒成立,则实数的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等轴双曲线得出双曲线的渐近线,直线与和它平行的渐近线的距离就是所求的最大值.‎ ‎【详解】双曲线是等轴双曲线,则其渐近线为,直线与直线的距离为,所以等轴双曲线右支上点到直线的距离大于,即的最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等轴双曲线的定义,考查双曲线的几何性质.属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线和所围成的封闭曲线,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由图可知过两曲线的交点的直线与轴的交点为,所以,当对称的两个点分属两段曲线时,设其中一个点为,则其对称点为 ‎,将其代入曲线,得到关于的方程的解有且只有两个,当时,不符合题意,所以,所以,即,所以答案应填:.‎ 考点:抛物线的简单几何性质.‎ 三.解答题.‎ ‎17.设命题函数在单调递增;‎ 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ 命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析:化简命题可得,化简命题可得 ,由为真命题,为假命题,可得一真一假,分两种情况讨论,对于真假以及假真分别列不等式组,分别解不等式组,然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ 详解:由于命题函数在单调递增 所以 ‎ 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ 所以 ‎ 命题“”为真命题,“”为假命题,则命题一真一假 ‎①真假时: ‎ ‎②: ‎ 综上所述:的取值范围为:‎ 点睛:本题通过判断或命题、且命题的真假,综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质,属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时,应注意:(1)原命题与其非命题真假相反;(2)或命题“一真则真”;(3)且命题“一假则假”.‎ ‎18.某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查,其中一项是他们的月薪收入情况,调查发现,他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间,根据统计数据分组,得到如下的频率分布直方图:‎ ‎(1)将同一组数据用该区间的中点值作代表,求这100人月薪收入的样本平均数;‎ ‎(2)该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人,决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用,有两种收费方案:‎ 方案一:设区间,月薪落在区间左侧的每人收取400元,月薪落在区间内的每人收取600元,月薪落在区间右侧的每人收取800元;‎ 方案二:每人按月薪收入的样本平均数的收取;‎ 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算,哪一种收费方案能收到更多的费用?‎ ‎【答案】(1)2;(2) 方案一能收到更多的费用.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)每个区间的中点值乘以相应的频率,然后相加;‎ ‎(2)分别计算两方案收取的费用,然后比较即可.‎ ‎【详解】(1)这100人月薪收入的样本平均数是 ‎.‎ ‎(2)方案一:月薪落在区间左侧收活动费用约为 ‎(万元); ‎ 月薪落在区间收活动费用约为(万元);‎ 月薪落在区间右侧收活动费用约为(万元);‎ 因此方案一,这50人共收活动费用约为3.01(万元);‎ 方案二:这50人共收活动费用约为(万元);‎ 故方案一能收到更多的费用.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用,属于基础题.‎ ‎19.已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示,半椭圆内接于矩形,与轴交于点,点是半圆上异于,的任意一点.当点位于点处时,的面积最大.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)连,分别交于点,,求证:为定值.‎ ‎【答案】(1) 和. (2)证明见解析,定值为4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由点在半圆上,求得,再由的面积最大,则与半圆在点处的切线平行,从而可求得,可得曲线方程.‎ ‎(2)设,写出直线方程,求出点坐标,计算即可.‎ ‎【详解】(1)因为点在半圆上,得,∵,∴,‎ 当半圆在点处的切线与直线平行时,的面积最大.‎ ‎∵,∴,,,‎ 所以曲线的方程和.‎ ‎(2)得,,设,‎ 则:,令,得,‎ ‎:,令,得,‎ 又,,,‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求曲线的方程,考查解析几何中的定值问题.对于定值问题,直接设动点坐标,然后根据已知计算点的坐标,计算线段长度等等,再利用动点在曲线上的性质得出定值是一种基本方法.‎ ‎20.已知抛物线:,焦点为,直线交抛物线于,两点,为的中点,且.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)(1)根据抛物线定义知,,‎ ‎∵,从而可求出,进而可得结果;(2)设直线的方程为,代入抛物线方程,得,根据韦达定理,弦长公式将用 表示,换元后利用基本不等式可得结果.‎ 试题解析:(1)根据抛物线的定义知,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)设直线的方程为,代入抛物线方程,得,‎ ‎∵,即,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 令,,则.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求解的.‎ ‎21.已知椭圆方程为:椭圆的右焦点为,离心率为,直线与椭圆相交于两点,且 ‎(1)椭圆的方程 ‎(2)求的面积;‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由题意求出c,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,设出A,B的坐标,利用根与系数的关系求出A,B的横纵坐标的乘积,再由 .得到k与m的关系,利用弦长公式求得弦长,由点到直线的距离公式求出坐标原点O到直线l的距离,代入三角形面积公式得答案.‎ 解析:‎ ‎(1)由已知,∴,∴‎ 椭圆方程为:‎ ‎(2)设,,则的坐标满足 消去化简得,,‎ ‎,得 ‎ ,‎ ‎.‎ ‎,,即 ‎∴‎ ‎, ‎ 到直线的距离 ‎∴,‎ ‎.‎ 点睛:在处理直线和圆锥曲线的位置关系时,往往先根据题意合理设出直线方程,再联立直线和圆锥曲线方程,但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况,如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点,给一般情形找到了目标.‎ ‎22.已知抛物线:的焦点为,点为上异于顶点的任意一点,过 的直线交于另一点,交轴正半轴于点,且有,当点的横坐标为3时,为正三角形.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若直线,且和相切于点,试问直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 直线过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,抛物线的焦点为,由,可得,从而,再由点横坐标与中点横坐标相同可求得.‎ ‎(2)设,可得,由,可设直线的方程为,由它与抛物线相切可求得,也即得出点坐标,求出直线方程,观察得其过定点.注意分类,即按直线斜率是否存在分类讨论.‎ ‎【详解】(1)抛物线的焦点,设,则的中点坐标为,‎ ‎∵,∴,解得,或(舍),‎ ‎∵,∴,解得,‎ ‎∴抛物线方程.‎ ‎(2)由(1)知,,设,,‎ ‎∵,则,由得,即,‎ ‎∴直线的斜率,∵,故设直线的方程为,‎ 联立方程组,得,‎ ‎∵直线与抛物线相切,∴,,‎ 设,则,,‎ 当时,,直线的方程为,‎ ‎∵,∴直线的方程为,∴直线过定点,‎ 当时,直线方程为,经过定点,‎ 综上,直线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线中定点问题.圆锥曲线中定点问题的两种解法:‎ ‎(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.‎ ‎(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.‎

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