高一数学同步辅导教材(第5讲) 5页

高一数学同步辅导教材（第 5 讲） 一、本讲教学进度 （1.6-1.7）(P28-35) 二、教学内容 1、命题与逻辑联结词 2、真值表 3、四种命题 三、重点、难点选讲 1、命题与逻辑联结词 （1）所谓命题，是指能够判断其真假的语句，因此疑问句、祈使句都不是命题. （2）若一个命题是正确的，该命题叫真命题；若一个命题不正确，该命题叫假命题.由命题的概念， 一个命题不是真命题就是假命题。 （3）由简单命题用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结起来组成的命题叫复合命题.若用小写字母 p、q 表示命题，则复合命题的基本形式是“p 或 q”，“ p 且 q”以及“ 非 p”. （4）逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系，A  BxAxxB  或,| .逻辑联结词 “且”可以与集合中的“交”相联系，A  BxAxxB  且,| 。逻辑联结词“非”，可以与集合中 的“补”相联系， u  AxUxxA  且,| . 例 1：判断下列语句是否是命题？若是命题，请判断其真假. （1）台湾是中国领土不可分割的一部分； （2） 0523 2  xx ； （3）证明：平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和； （4）三角形两边之和等于第三边. 解：（1）它是作出判断的语句，所以是命题，且是真命题. （2）因语句中字母 x 的值不确定，所以这个不等式不能判断是否成立，该语句不是命题. （3）它是祈使句，没有作出判断，不是命题. （4）它是作出判断的语句，是命题，且是假命题. 评析：第（2）题的语句中含有变量 x,当 x 不确定时无法判断这个命题的真假，这种语句也叫“开语 句”，如：“ 0432  xx ”也是开语句. 例 2：指出下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么. （1）6 是 18 和 24 的公因数； （2）x(A )B ; (3) 矩形的对角线相等且互相平分； （4）方程 .4,2086 21 2  xxxx 的解是 解（1）该命题是“p 且 q”的形式，p：6 是 18 的因数，q：6 是 24 的因数. （2）该命题是“非 p”的形式，p： ).( BAx  （3）该命题是是“p 且 q”的形式，p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分. （4）该命题是“p 或 q”的形式，p：x .0862 2 1 的解是方程  xx q: .0864 2 2 的解是方程  xxx 2、真值表 （1）一个简单命题的真假易于判断，但一个复合命题的真假不一定容易判断，真值表是判断复合 命题真假的有力工具。 （2）对一个复合命题，如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词，只要逐一判断简单 命题的真假，就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假. （3）真值表中，“非 p”形式的复合命题的真假与 p 相反；“p 且 q”形式的复合命题，当且仅当 p、 q 都为真时为真，其余情况均为假；“p 或 q”形式的复合命题，当且仅当 p、q 都为假时为假，其余 情况都为真. 例 3：对于简单命题 p、q 的下列几种情况列出“非 p”，“非 q”，“p 且 q”，“p 或 q”的真值表： （1）p 真，q 真； （2）p 真，q 假； （3）p 假，q 真； （4）p 假，q 假. 解：列表如下： 题号 p q 非 p 非 q P 且 q P 或 q （1） 真 真 假 假 真 真 （2） 真 假 假 真 假 真 （3） 假 真 真 假 假 真 （4） 假 假 真 真 假 假 例 4 若用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，对于命题 p 和 q 的下列几种情况列出命题“p 或 q”，“非（p 或 q）”，“（非 p）且（非 q）”，“非（非 p）”的真值表： （1）p 真，q 真； （2）p 真，q 假； （3）p 假，q 真； （4）p 假，q 假. 题号 p q p 或 q 非（p 或 q） 非 p 非 q （非 P）且(非 q) 非（非 p） （1） 1 1 1 0 0 0 0 1 （2） 1 0 1 0 0 1 0 1 （3） 0 1 1 0 1 0 0 0 （4） 0 0 0 1 1 1 1 0 评析：由表中可以看出，“非（p 或 q）”与“（非 p）且（非 q）”的真值相同，“非（非 p）” 与“p”的真值相同. 例 5 （1）如果命题“p 且 q”是真命题，判断命题“（非 p）或(非 q)”的真假； （2）如果命题“p 且 q”是假命题，判断命题“（非 p）或（非 q）”的真假. 解 （1）若命题“p 且 q”是真命题，由真值表知，命题 p 和 q 都是真命题，因此“非 p”、“非 q” 都是假命题，所以命题“（非 p）或（非 q）”是假命题. （2）若命题“p 且 q”是假命题，由真值表知有三种情况可能出现： ①p 真，q 假，这时“非 p”为假，“非 q”为真，因此“（非 p）或（非 q）”为真. ②p 假，q 真，这时“非 p”为真，“非 q”为假，因此“（非 p）或（非 q）”为真. ③p 假，q 假，这时“非 p”为真，“非 q”为真，因此“（非 p）或（非 q）”为真. 综上可知，“（非 p）或（非 q）”为真 评析：由本题可见，命题“非（p 且 q）”与“（非 p）或（非 q）”的真值相同. 3．四种命题 （1）在初中学习原命题和逆命题的基础上，引进了否命题和逆命题的概念。 （2）将一个命题采用①交换命题的条件和结论，②同时否定命题的条件和结论；③同时否定和 交换命题的条件和结论，分别产生了原命题的逆命题，否命题和逆否命题。如果原命题为“若 p 则 q”， 则逆命题为“若 q 则 p”，否命题为“若¬ p 则¬ q”，逆否命题为“若¬ q 则¬ p”. （3）在四种命题之间关系的图示中，要理解其中互逆，互否，互为逆否的含意.原命题与逆否命 题等价，逆命题与否命题等价. 例 6 分别写出下列命题的否定形式及命题的否命题，并判断它们的真假. （1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； （2）数字和能被 3 整除的整数能被 3 整除； （3）自然数的平方不都是正数. 解 （1）否定形式：如果两个三角形全等，那么它们的面积不相等，是假命题. 否命题：如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等，是假命题. （2）否定形式，数字和能被 3 整除的整数不能被 3 整除，是假命题. 否命题：数字和不能被 3 整除的整数不能被 3 整除，是真命题. （3）否定形式：所有自然数的平方都是正数，假命题. 否命题：有些自然数的平方是正数，真命题. 评析：（1）命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，若原命题为“p→q”则命题的否定形 式是“p→¬q”，而否命题是“¬p→¬q”. （2）要熟悉一些常用语言的否定形式： 语言 是 都是 相等 大于（>） 所有 至少有 n 个 能 一定 … 否定形式 不是 不都是 不相等 不大于（≤） 有些 至多有 n-1 个 不能 不一定 … 例 7 写出命题“直角均相等”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假. 解 原命题可改写为“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”，是真命题. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题. 否命题：如果两个角不都是直角，那么这两个角不相等，是假命题. 逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不都是直角，是真命题. 评析：有些命题不是很明显的 p→q 的形式，在写它的逆命题，否命题，逆否命题之前，应先将它改写为 条件，结论的形式. 例 8 已知原命题如下，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假. （1）若 ,, dbca  则 ;dcba  （2）若 ,0xyz 则 ,0x 或 ,0y 或 0z . 解 （1）逆命题：若 ,dcba  则 ,ca  且 .db  是假命题. 否命题：若 .ca  或 dcbadb  则, 是假命题. 逆否命题：若 ., dbcadcba  或则 是真命题. （2）逆命题：若 .0,0,0,0  xyzzyx 则或或 是真命题. 否命题：若 ,0,0,0,0  zyxxyz 且且则 是真命题. 逆否命题；若 .0,0,0,0  xyzzyx 则且且 是真命题. 评析：（1）原命题的条件“ dbca  , ”的命题结构是“p 且 q”的形式，它的否定是“¬p 或¬q”，而 不是“¬p 且¬q”. （2）原命题的结论是“p 或 q 或 r”的形式，它的否定是“¬p 且¬q 且¬r”，而不是“¬p 或¬q 或¬r”. 练 习 一、选择题 1．如果命题 p 为真，命题 q 为假，则下列结论中错误的是 （ ） A．命题“p 且 q”为假 B．命题“p 或 q”为真 C．命题“非 p”为假 D．命题“非 q”为假 2．命题 p 与命题“非 p” （ ） A．可能都是真命题 B．可能都是假命题 C．有且只有一个是真命题 D．以上情况都有可能 3．已知命题 p：若 x 、 y 是实数，且 022  yx ，则 0 yx ，命题 q：若 0ab ，则 0a ，且 0b ，下列说法中正确的是（ ） A．p 真，q 假，p 且 q 假 B．P 真，q 假，p 或 q 假 C．P 假，q 假，p 或 q 假 D．P 真，q 真，p 且 q 真 4．命题“若 1x ，则 12 x ”的否命题是（ ） A．若 1x ，则 12 x B．若 1x ，则 12 x C．若 12 x ，则 1x D．若 1x ，则 12 x 5．已知 p: a 、 Rb ，且 022  ba ，命题①若 p 则 a 、b 全为0 ；②若 p 则 a 、b 不 全为 0 ；③若 p 则 、 全不为 ；④若 p 则 、 至多有一个为 ；⑤若 p 则 、 至少有一个为 .其中真命题有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．与命题“能被 5 整除的整数的末位数是 5”等价的命题是（ ） A．能被 5 整除的整数的末位数不一定是 5 B．不能被 5 整除的整数的末位数不是 5 C．末位数不是 5 的整数不能被 5 整除 D．末位数是 5 的整数能被 5 整除 二、填空题 7．若复合命题“p 或 q”是假命题，则命题 p 与命题 q 的真、假情况是 。 8．已知命题 p:0 是自然数，命题 q: 9 是无理数，则命题“非 p”，“非 q”，“p 或 q”，“ p 且 q”中，假 命题是 。 9．命题“若 012,1 2  xxx 则 ”的否定命题是 ；否命题 是 。 10．命题“未位数字是偶数的整数能被 2 整除”的逆否命题是 。 三、解答题 11．已知命题 p：4 是 2 的倍数；命题 q:6 是 2 的倍数，写出命题“p 或 q”，“p 且 q”，以及“非 p”。 12．已知命题 p: 是无理数，命题 q: 2 是有理数，写出命题“非 p”,“非 q”，“ p 或 q”，“p 且 q”并 判断它们的真假。 13．写出命题“若α =β ，则 tanα =tanβ ”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。 14．写出命题“若 1x 或 ,2x 则 0232  xx ”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真 假。 答案与提示 [答案] 一、1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 二、7．P 假，q 假 8．非 p，p 且 q 9．若 012,1;012,1 22  xxxxxx 则若则 10．不能被 2 整除的整数的末位数字不是偶数. 三、11．P 或 q:4 是 2 的倍数或 6 是 2 的倍数，p 且 q:4 是 2 的倍数且 6 是 2 的倍数.非 p:4 不是 2 的倍 数 12．非 p: 不是无理数，为假, 非 q: 2 不是有理数，为真， p 或 q： 是无理数或 是有理数，为真， p 且 q: 是无理数且 是有理数，为假. 13．逆命题：若 tanα =tanβ ，则α =β ,为假， 否命题：若α ≠β ，则 tanα ≠tanβ ，为假， 逆否命题：若 tanα ≠tanβ ，则α ≠β ，为真. 14．逆命题：若 .21,0232  xxxx 或则 为真. 否命题：若 023,2,1 2  xxxx 则且 ，为真， 逆否命题：若 .21,0232  xxxx 且则 为真.