黑龙江省佳木斯市汤原高级中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（文）试卷 19页

www.ks5u.com 汤原高中2018—2019下学期期末测试高一学年 数学试卷（文科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。‎ ‎1.若直线经过点，则此直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值。‎ ‎【详解】，选D.‎ ‎【点睛】先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值。需要注意的是斜率不存在的情况。‎ ‎2.在ΔABC中,若 ,则=（ ）‎ A. 6 B. 4 C. -6 D. -4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向量的点乘，‎ ‎【详解】,选C.‎ ‎【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC的补角 ‎3.设等差数列，则等于（ ）‎ A. 120 B. 60 C. 54 D. 108‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质解决。‎ ‎【详解】，选C.‎ ‎【点睛】题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质 解决。也可将等式全部化为的表达式，整体代换计算出 ‎4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三视图可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成。‎ ‎【详解】几何体可看成由一个长1宽2高1长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成 ‎，选B.‎ ‎【点睛】已知三视图，求原几何体的表面积或体积是高考必考内容，主要考查空间想象能力，需要熟练掌握常见的几何体的三视图，会识别出简单的组合体。‎ ‎5.已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）‎ A. －1或2 B. －1 C. 0或1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】，选A.‎ ‎【点睛】本题考查由两直线平行求参数.‎ ‎6.已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于5，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，,，选B.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题。‎ ‎7.若实数x，y满足条件，则目标函数z＝2x－y的最小值（ ）‎ A. B. －1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。‎ ‎【详解】‎ 可行域如图所示，当目标函数平移到A 点时z取最小值，‎ 故选A ‎【点睛】线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。‎ ‎8.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则； ‎ ‎②若则；‎ ‎③若则；‎ ‎④若m、n是异面直线，则 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面面平行的判定定理及性质定理和推论判断即可。‎ ‎【详解】①正确，若两平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面平行。‎ ‎②错误，时与可平行可相交 ‎③错误，时与可平行可相交 ‎④正确，m、n是异面直线，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查面面平行的判定，需熟练掌握，面面平行的判定定理及性质定理和推论。‎ ‎9.已知数列的前项和为，，，则等于（ ）‎ A. 32 B. 16 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式计算即可。‎ ‎【详解】，‎ 为以1为首项，为公比的等比数列，‎ 故选C ‎【点睛】已知和的关系，利用公式计算，需要注意的是这个公式可以计算也可以计算，根据题目要求，方可避免不必要计算。‎ ‎10.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与 所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建系，再利用计算所成角的余弦值 ‎【详解】‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，则 故选C ‎【点睛】异面直线所成角，能建系的一般建系较简单，再利用计算所成角的余弦值.‎ ‎11.在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的值为（ ）‎ A. 6 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正、余弦定理角化边。化简解出即可。‎ ‎【详解】‎ 故选A ‎【点睛】解三角形有两个方向，角化边、边化角，本题适用于角化边。‎ ‎12.直线l经过两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. ∪ B. [0，π)‎ C. D. ∪‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值取值范围。‎ ‎【详解】‎ 故选A.‎ ‎【点睛】已知直线上两点求斜率利用公式。需要注意的是斜率不存在的情况。‎ 二、填空题：请把答案填在题中横线上。‎ ‎13.已知为正实数，且，则的最小值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 乘1法，化简，利用均值不等式解出即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】题干给了分式等式，所求最值不能直接利用基本不等式，需要进行转化。在使用基本不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。‎ ‎14.过点P(-1,3)，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 截距相等分为截距为0和不为0‎ ‎【详解】1）截距为0，设直线为将带入得直线为 ‎2）截距不为0，设直线为将带入得直线为 所以直线为或 ‎【点睛】截距相等分为截距为0和不为0 ‎ ‎1）截距为0，设直线为，2）截距不为0，设直线为。‎ ‎15.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。‎ ‎【答案】20π ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎16.数列满足，则数列的前200项和为___‎ ‎【答案】20200‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列的递推公式，写出前几项，即可找出规律。‎ ‎【详解】设 的周期为的周期为2‎ 当n为奇数时，当n为偶数时，‎ 于是有 同理可求出 设为以12为首项，16为公差的等差数列 所以数列的前200项的和可转换为的前50项和，‎ 所以数列的前200项和为 ‎【点睛】本题主要考查数列的递推与通项、数列的求和以及等差数列。求数列的前200项和，可先写出前几项，再找规律。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知的三个顶点 求：（1）边上高所在的直线方程 ‎（2）边中线所在的直线方程 ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据高与垂直，求出的斜率，再利用点斜式，写出直线。‎ ‎（2）E为中点，先求出E点坐标，再利用两点式，写出直线 ‎【详解】解：（1） ‎ 直线的方程为 ‎ 即 ‎（2）边中点E ，中线的方程为 ‎ 即 ‎【点睛】熟练掌握直线的几种表达形式，一般式、斜截式、点斜式、两点式、截距式。‎ ‎18.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2)周长范围 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理边化角，化简即可解出角A.‎ ‎（2）利用正弦定理边化角，最后全部用角B表示，再根据角B的取值范围，解三角函数的值域。‎ ‎【详解】(1)‎ ‎(2) ‎ 周长 又 ‎【点睛】解三角形有两个方向，角化边、边化角，本题适用于边化角，第二问求周长的取值范围，一般化为三角函数，转化为求三角函数的值域问题。‎ ‎19.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. ‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求：数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意所给等式全部化为的表达式，列方程组，解方程组。‎ ‎（2）根据题意写出的表达式，为差比数列，利用错位相减求前n项和。‎ ‎【详解】解：（1）数列是公差为 则据题得 解得 ‎ 数列的通项公式为 ‎（2）由（1）知 所以 ‎【点睛】等差数列中知三求二；差比数列，利用错位相减求前n项和。‎ ‎20.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面 底面,且.‎ ‎（1）求证:平面平面 ‎ ‎（2）求:点到面的距离 ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证面面垂直，先证线线垂直，利用面面垂直的判定定理证明之。‎ ‎（2）求点到面的距离一般利用等体积法，本题利用可求出。‎ ‎【详解】（1）证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,, 平面,所以平面. ‎ 又平面,所以 ‎ 又,所以是等腰直角三角形,且,‎ 即 ,又,‎ 且面,所以面 ‎ 又面, 所以面面 ‎ ‎（2）取中点，连接，，‎ 平面平面，平面平面 ‎ 平面，,线段为三棱锥的高 ‎ ‎，‎ 三棱锥的体积 ，即 所以，即点到面的距离是 ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，以及利用等体积法求点到面的距离。‎ ‎21.如图，在底面为矩形的四棱锥中，，，且，其中分别是线段的中点。‎ ‎（1）证明：平面 ‎ ‎（2）证明：平面 ‎（3）求：直线与平面所成角的正弦值 ‎【答案】(1) 见证明；(2) 见证明；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1）在平面内找到一条直线与这条直线平行，再利用线面平行的判定定理说明线面平行。2）在平面内找到两条相交直线与这条直线垂直，再利用线面垂直的判定定理说明线面垂直。3）线面所成角的正弦值，几何法：过线上一点做平面的垂线段，垂线段与这点到线面交点线段的比值即为线面所成角的正弦值。‎ ‎【详解】（1）证明：分别是线段的中点 ‎ 在中，‎ 又四边形是矩形，‎ 直线平面，直线平面，平面 ‎ ‎（2）证明：（法一）向量法 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。‎ ‎，‎ ‎ ‎ 又因为，所以，平面 ‎（法二）设，因为四边形是矩形，‎ ‎ ，‎ 又因为 ‎ ‎ 因为 所以，，‎ 因为所以，‎ 因为，所以，平面 ‎ ‎（3）取中点，连接，连接 因为是中点，所以在中，‎ 又因为，所以 所以， ‎ 又因为，‎ 所以，‎ ‎【点睛】（1）线面的位置关系需要熟练掌握其判定定理、性质定理；（2）线面所成角的正弦值一般有两种方法：几何法：过线上一点做平面的垂线段，垂线段与这点到线面交点线段的比值即为线面所成角的正弦值；向量法：求出平面的法向量，法向量与直线的方向向量所成角的余弦值的绝对值即为线面所成角的正弦值。‎ ‎22.已知点关于直线的对称点为，且对直线恒过定点，设数列的前项和，且,‎ ‎(1) 求数列的通项公式;‎ ‎(2) 设为数列的前项和，证明:对一切正整数,有 ‎【答案】(1) ；(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先通过点线的位置关系求出的值，再带入与的关系式中，再利用公式求出 ‎（2）由（1）知，再利用放缩法证明不等式。‎ ‎【详解】解：(1)由已知解得， ‎ ‎. ‎ ‎ ① ‎ 当时, ② ‎ 由① — ②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数列是以首项为,公差为1的等差数列. ‎ ‎ ‎ 当时,上式显然成立,‎ ‎(2)证明:由(2)知, ‎ ‎①当时,,原不等式成立. ‎ ‎②当时, ,原不等式亦成立. ‎ ‎③当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,原不等式亦成立. ‎ 综上,对一切正整数,有.‎ ‎【点睛】关于的常见放缩有。‎ ‎ ‎