2020届二轮复习圆锥曲线中的定值与定点问题课时作业（全国通用） 23页

第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题 一、解答题 ‎1．（2017年全国1卷理）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ ‎2．已知椭圆过点，且离心率．（12分）‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标。‎ ‎【解析】‎ 椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，‎ 设的方程为，点，‎ 则得，‎ 即， ，‎ ‎， ，‎ 由题可得直线方程为，‎ 又∵， ，‎ ‎∴直线方程为，‎ 令，整理得 ‎ ‎ ，‎ 即直线过点，‎ ‎3．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由题意得： ，‎ 解得： ，‎ 椭圆的方程为．‎ ‎（II）依题意，设直线方程为： ，‎ 则，且．联立，‎ 得，‎ ‎，‎ 又直线的方程为，‎ 即 而，‎ 直线的方程为，‎ 故直线地定点．‎ ‎4．在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线 交椭圆于两点 ， 为 的中点，且 的斜率为 . ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】 (1) 设 ,则 ，两式相减得，‎ ‎ ，又 ， 为的中点，且 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 .‎ ‎(2) 设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 .‎ ‎ ，根据题意，假设轴上存在定点 ，使得 为定值，则有 ‎ ‎ ，要使上式为定值，即与 无关，则应 ，即 ，故当点的坐标为 时， 为定值.‎ ‎5．已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，‎ 整理得： ，方程①的判别式，故时均满足题目要求．‎ 记交点坐标为，则为方程①的两根，‎ 故由韦达定理可知， ．‎ 将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，‎ 整理得，‎ 同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，‎ 联立两条切线的方程，解得点坐标为，‎ 故点P的轨迹方程为， ‎ ‎（Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．‎ 当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，‎ 为定值．‎ ‎6．已知点在椭圆： （）上，设， ， 分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点， （）为椭圆上两点，且满足 ‎，求证： 的面积为定值，并求出该定值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，得直线的方程为，点，‎ 点到直线的距离 ，整理，得.①‎ 又点在椭圆上， .②‎ 联立①②解得， ，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 .‎ ‎ ， ，‎ ‎， ，‎ ‎ .‎ 又，则由题意，得 .‎ 整理，得，则 ，‎ 整理，得（满足）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 又点到直线的距离.‎ ‎ ，为定值.‎ ‎7．已知椭圆： 的离心率为，且过点，动直线： 交椭圆于不同的两点， ，且（为坐标原点）‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知，所以，即，①‎ 又点在椭圆上，所以有，②‎ 由①②联立，解得， ，‎ 故所求的椭圆方程为.‎ ‎（2）设，由，‎ 可知.‎ 联立方程组 消去化简整理得，‎ 由，得，所以， ‎ ‎，③‎ 又由题知，‎ 即，‎ 整理为.‎ 将③代入上式，得.‎ 化简整理得，从而得到.‎ ‎8．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.‎ ‎【解析】（I）椭圆；‎ ‎（II）由直线平分和，而由直线 与，设，则 ‎，由 恒成立直线的斜率为定值．‎ ‎9．已知椭圆右顶点，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．‎ ‎【解析】：⑴依题意得解得 ，则椭圆的方程为.‎ ‎⑵设，则，‎ ‎，令得，则,‎ ‎，令得，则,‎ ‎∴‎ ‎10．平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设，直线为，‎ 由，‎ 所以， ，‎ 所以 ， ‎ 联立解得，‎ 代入上式可得，‎ 综上，直线与过定点.‎ ‎11．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程：‎ ‎(2)设， 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.‎ ‎【解析】‎ ‎(1) ，即，‎ ‎ 又 ，既 故椭圆的方程为.‎ ‎(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为 ‎ 由可得， ‎ ‎ 设点，则， ①，②‎ 由于直线的方程为 所以令，可得 ‎①②带入到上式既可解得， 所以直线与轴相交于定点.‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点， ，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求点C的坐标；‎ ‎（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.‎ ‎【解析】（1）由已知，得 解得 ‎ ‎ 所以椭圆的标准方程为． ‎ ‎（2）设点 ，则中点为．‎ ‎ 由已知，求得直线的方程为，从而．①‎ ‎ 又∵点在椭圆上，∴．②‎ ‎ 由①②，解得（舍），，从而． 所以点的坐标为． ‎ ‎（3）设， ， ．‎ ‎∵三点共线，∴，整理，得． ‎ ‎∵三点共线，∴，整理，得． ‎ ‎∵点在椭圆上，∴， ．‎ ‎ 从而． ‎ 所以．∴为定值，定值为．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点．设到准线的距离（）．‎ ‎（1）若，求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若，求证：直线的斜率为定值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由条件知， ，‎ 代入抛物线方程得． ‎ 所以抛物线的方程为． ‎ ‎（2）设，直线的方程为．‎ 将直线的方程代入，消得，‎ 所以， ． ‎ 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 所以直线的斜率为定值．‎ ‎14．在直角坐标系中， 分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于两点，过作平行于 轴的直线交椭圆于另外一点,连接，求证：直线经过一个定点。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得： 解得： ‎ ‎（2）设，直线的方程为则 将代入椭圆方程得 ‎ ‎ 直线的方程 令得 ‎ ‎ 所以直线经过定点 ‎ ‎（注：由对称性可知，若过定点，则必在轴上）‎ ‎15．已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为 ‎（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，‎ 由题意得：动圆半径 圆心到轴的距离为，‎ 依题意有，‎ 化简得，即动圆圆心的轨迹方程为： ‎ ‎（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为： ‎ 得 所以，故为定值.‎ ‎②当直线的斜率存在，则设直线的方程为： ，‎ 得，所以，‎ 即，‎ 又点在抛物线上，所以，‎ 于是 综合①②，为定值，且定值为 ‎16．已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）已知两点的坐标分别为， ，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意有， ，‎ 且，‎ 所以点的轨迹方程为： ．‎ ‎（Ⅱ）依题意设直线的方程为： ，‎ 代入椭圆方程得： ‎ 且： ①，② ‎ ‎∵直线： ，直线： ‎ 由题知， 的交点的横坐标为4，得：‎ ‎，即 即： ，整理得：‎ ‎③ ‎ 将①②代入③得： ‎ 化简可得： ‎ 当变化时，上式恒成立，故可得： ‎ 所以直线恒过一定点.‎ ‎17．已知抛物线的准线为，焦点为， 为坐标原点.‎ ‎（1）求过点，且与相切的圆的方程；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点， 关于轴的对称点为，求证：直线过定点.‎ ‎【解析】：解法一：（1）抛物线的准线的方程为： ，焦点坐标为，‎ 设所求圆的圆心，半径为， 圆过， ，‎ 圆与直线相切， .‎ 由，得.‎ 过，且与直线相切的圆的方程为.‎ ‎（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，‎ ‎， ， ， ，‎ 联立，消去得.‎ ‎， .‎ 直线的方程为，‎ 令，得 .‎ 直线过定点 ,‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）直线过定点.‎ 证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，‎ ‎， ， ， ，‎ 联立，消去得，‎ ‎， .‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎，即， 三点共线， 直线过定点.‎ 解法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）设直线的方程： ， ， ，则.‎ 由得， .‎ ‎， .‎ ‎， 直线的方程为.‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 直线过定点.‎ ‎18．已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设点，由已知得，‎ 化简得点的轨迹的方程: . ‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为.‎ 由，所以，‎ 所以 ‎ 因为点在曲线上，所以 ，‎ 化简得 ①，‎ 同理，由可得： ， ‎ 代入曲线的方程得 ②，‎ 由①②得是方程的两个实数根(△>0)，‎ ‎ 所以.‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）由题设知， ， ，又，‎ 解得.‎ 故所求椭圆的方程是.‎ ‎（2）①，则有，化简得，‎ 对于直线，同理有，‎ 于是是方程的两实根，故.‎ 考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.‎ 由，得，于是有.‎ 直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令，得，‎ 故直线过定点.‎ ‎20．已知椭圆： 的焦点为，离心率为，点为其上动点，且三角形的面积最大值为， 为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的的方程；‎ ‎（2）若点为上的两个动点，求常数，使时，点到直线的距离为定值，求这个定值.‎ ‎【解析】（1）依题意知： 解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，则（*）‎ 当直线的斜率存在时设其方程为，则点到直线的距离，‎ 消，得， 得，则 ‎， ，代入（*）式：‎ ‎，整理得为常数，则，此时满足 当轴时，由得， 消： ， ‎ 亦成立，‎ 综上： ， .‎ ‎21．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离，‎ 曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 设其方程为， ， ，‎ 动点的轨迹的方程为；‎ ‎（2）设，由得，‎ ‎ ， .‎ ‎ ， ，‎ ‎ ， 或.‎ ‎ ， 舍去， ，满足，‎ 直线的方程为，‎ 直线必经过定点.‎ ‎22．如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为 直线与直线的交点为，∴‎ ‎，由 得……..①‎ 由得…….②，‎ 由①②得 ‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）设点，由得，‎ ‎∴，∴. ‎ 同理： ， ‎ ‎ ‎ ‎，∴‎ 即： ‎ ‎∴当变化时，直线过定点.‎