重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中考试数学（文）试卷 10页

数学（文科）‎ 注意事项：‎ 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。‎ 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ 3. 考试结束后，将答题卡交回。‎ 第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1. 设集合，，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 已知向量，，若 ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 复数，若复数与在复平面内的对应点关于虚轴对称，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( ) ‎ A．甲同学三个科目都达到优秀 B．乙同学只有一个科目达到优秀 ‎ C．丙同学只有一个科目达到优秀 D．三位同学都达到优秀的科目是数学 ‎ ‎5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 已知一组数据的平均数是，方差是，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是( )‎ A．这组新数据的平均数是 B．这组新数据的平均数是 ‎ C．这组新数据的方差是 D．这组新数据的标准差是 ‎ ‎7. 已知表示的平面区域为，若对都有，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 若函数与函数在公共点处有共同的切线，则实数的值为( ) ‎ A．4 B． C． D． ‎ ‎10. 已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是线段的中点，是坐标原点，若的周长为（为双曲线的半焦距）且，则双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时将的图象向左平移个单位后与原图象重合，当且时，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为( )‎ A. 20 B. ‎18 ‎C. 16 D. 14‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知等比数列的前项和为，且，则_________.‎ ‎14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，且点 恰好为线段的中点，则_________.‎ ‎15. 设为数列的前项和，若，，且（），则 ‎_________.‎ ‎16. 在三棱锥中，，若与底面所成的角 为，则点到底面的距离是_________；三棱锥的外接球的表面积是_________.‎ ‎（本小题第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）如图，是等边三角形，是边上的动点（不含端点），‎ 记,.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若，求的面积. ‎ ‎18.（12分）如图，在直三棱柱中，，‎ 是的中点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若异面直线和所成角为，求四棱锥的体积.‎ ‎19.（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5—10月）‎ 的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如右图所示.‎ ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；‎ 使用寿命/材料类型 ‎1个月 ‎2个月 ‎3个月 ‎4个月 总计 A ‎20‎ ‎35‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ B ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎(表1)‎ ‎（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型 号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？‎ 参考数据： ；.‎ 参考公式：回归直线方程，其中， ‎ ‎20.（12分）已知椭圆的长轴长为4，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线的斜率为，且与椭圆交于两点（异于点），过点作的角平分线交椭圆于另一点. 证明：直线与坐标轴平行.‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若对于任意实数，当时，函数的最大值为，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.‎ ‎22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数). 以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，射线分别交、于点（异于极点），当时，求的值.‎ ‎23. [选修4—5：不等式选讲] （10分）‎ 已知，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 数学（文科）试题卷（参考答案）‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎ C ‎ D ‎ A ‎ C ‎ C D ‎ A ‎ B ‎ C ‎ B ‎ B ‎ ‎ C 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），2cos－cos=2cos－cos＝sin，‎ 又，故当时，原式取最大值. 6分 ‎（2）由cos β＝ ，得sin β＝，故sin α＝sin＝sin βcos－cos βsin＝，‎ 在中，由正弦定理，得AB＝BD＝×1＝，‎ 故S△ABD＝AB·BD·sin B＝. 12分 ‎18.（1）证明：如图，连交于点，连.‎ 因为直三棱柱中，四边形是矩形，故点是中点，‎ 又是的中点，故，‎ 又故. 6分 ‎（2）解：由（1）知，又，故或其补角为异面直线和所成角.‎ 设，则，故为等腰三角形，故，故为等边三角形，则有，得到.‎ 故为等腰直角三角形，故，又，‎ 故，又，故，‎ 又梯形的面积，‎ 则四棱锥的体积. 12分 ‎19. 解：（1）由折线图可知统计数据共有组，即，，，，，，‎ 计算可得，，‎ 所以，.‎ 所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为. 6分 由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当时，（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元. 8分 ‎（2）型新材料对应产品的使用寿命的平均数为（个月），‎ 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为（个月），‎ ‎，采购型新材料更好. 12分 注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。‎ ‎20.（1）解：由条件得：. 4分 ‎（2）证明：欲证与坐标轴平行，即证直线的方程为或，‎ 又因为平分，故只需证明的斜率都存在时满足即可. 6分 当的斜率不存在时，即点或的坐标为，而经检验此时直线与椭圆C相切，不满足题意.故的斜率都存在，下证. 7分 设直线，联立，‎ 此时， 9分 ‎（※），‎ ‎（※）式的分子 ‎，得证. 12分 ‎21.（1）解：（I）当时，，则，‎ 整理得， 1分 令得，，当变化时，变化如下表：‎ 极大值 极小值 由上表知函数的极大值为，极小值为. 4分 ‎（2）由题意，‎ ‎1°当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为. 6分 ‎2°当时，令，有，，‎ ‎（i）当时，函数在上单调递增，显然符合题意. 7分 ‎（ii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值且，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是. 9分 ‎（iii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，‎ 代入化简得 ‎ 令，因为恒成立，‎ 故恒有，所以时，恒成立， ‎ 综上，实数的取值范围是. 12分 ‎22.（1）曲线的普通方程为将代入的普通方程，得到的极坐标方程为：. 5分 ‎（2）设点的极坐标为，点的极坐标为.‎ 由；由，‎ ‎，. 7分 是圆的直径，，又直角中，故，‎ 故，即. 10分 ‎23. （1）证明：由（当且仅当，即时取得“＝”）.‎ 所以，即，所以（当且仅当时取得“＝”）5分 ‎（2）‎ ‎（※），‎ 因为，所以.‎ 又，当且仅当时取得“＝”，又，故，‎ 又由（1）知，又，故，故，即，‎ 故（※）式成立，即原不等式成立. ‎ ‎10分