- 2.36 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
第六章不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b．
(2)a－b＝0⇔a＝b．
(3)a－b＜0⇔a＜b．
2．不等式的性质
(1)对称性a>b⇔bb，b>c⇒a>c；
(3)可加性a>b⇔a＋c>b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方a>b>0⇒ > (n∈N，n≥2)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空
(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；
(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；
(3)a＞b＞0⇒________．
答案(1)＞ (2)＜ (3)＞
2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．
答案v≤40 km/h
3．若00，则与的大小关系为________．
答案>
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bb⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
[小题纠偏]
1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B．<
C．a2>b2 D． a3>b3
答案D
2．若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________．
答案<
[题组练透]
1．已知x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( )
A．m≥n B．m＞n
C．m≤n D．m＜n
答案B
2．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
解析易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a．
答案＜
3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
解析当q＝1时，＝3，＝5，所以＜．
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜．
综上可知＜．
答案＜
[谨记通法]
比较两实数(式)大小的2种常用方法
作差法
其基本步骤作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法
作商法
判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤
[典例引领]
1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a B．>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析选A 取a＝－2，b＝－1，则>不成立．
3．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析选A 由－＞0得a＞b≥0，
则a2＞b2⇒a2－b2＞0；
由a2－b2＞0得a2＞b2，可得a＞b≥0或a＜b≤0等，所以“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件，故选A．
4．(2017·资阳诊断)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则<
C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2
解析选D 当a＝1，b＝－2时，选项A、B、C均不正确；对于D项，a>|b|≥0，则a2>b2．
5．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析选B ∵－<α<π，－<β<π，
∴－π<－β<，∴－<α－β<．
又∵α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0．
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0．∴M >N．
2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析选D 法一(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
法二m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
3．(2016·湘潭一模)设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析选A 因为a＋－＝，若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．
4．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
解析选D ∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0．当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0．
综上可知，选D．
5．设a，b∈R，定义运算“⊗和“⊕”如下a⊗b＝
a⊕b＝若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则( )
A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4
解析选A 结合定义及m⊗n≥2可得或
即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；结合定义及p⊕q≤2可得或即qa>ab，则实数b的取值范围是__________．
解析∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1b>0，c．
证明∵c－d>0．
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0．
∴(a－c)2>(b－d)2>0．
∴0<<．
又∵e<0，∴>．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(1,3) D．(0,3)
解析选B 由已知及三角形三边关系得
∴∴
两式相加得，0<2·<4，
∴的取值范围为(0,2)．
2．设a＞b＞0，m≠－a，则＞时，m满足的条件是________．
解析由＞得＞0，因为a＞b＞0，所以＞0．
即或∴m＞0或m＜－a．
即m满足的条件是m＞0或m＜－a．
答案m＞0或m＜－a
3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
解设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx．
所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx
＝x．
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
第二节一元二次不等式及其解法
“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
[小题体验]
1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( )
A．(－2,1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析选C 由题意得T＝ {x|－4≤x≤1}，
根据补集定义，
∁RS＝{x|x≤－2}，
所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．
2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案∅
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
解析由题意知－，
是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
1．不等式≤0的解集为( )
A．{x|x＜1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|1＜x≤3} D．{x|1＜x＜3}
解析选C 由≤0，得
解得1＜x≤3．
2．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．
解析①当m＝0时，1>0显然成立．
②当m≠0时，由条件知得00时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x>0．综上所述，原不等式的解集为．
答案
2．不等式≥－1的解集为________．
解析将原不等式移项通分得≥0，
等价于解得x＞5或x≤．
所以原不等式的解集为．
答案
3．解下列不等式
(1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4．
解(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0．
解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为．
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为．
[谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤
[典例引领]
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜．
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为．
当a＝1时，不等式的解集为∅．
当a＞1时，不等式的解集为．
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
[即时应用]
1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．
D．∪
解析选A 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－．解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
2．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝．
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪．
[锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
常见的命题角度有
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．
[题点全练]
角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．
角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，求b的取值范围．
解由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2．
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1
＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．
∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4．
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3．
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[通法在握]
一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
方法
解 读
适合题型
判别式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
(如“题点全练”第1题、第2题)
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
(如“演练冲关”第2题)
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔
若f(x)<0恒成立⇔
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时
(如“题点全练”第3题)
[演练冲关]
1．(2017·济宁模拟)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，
所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，
解得－8≤λ≤4．
答案[－8,4]
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，
即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜．
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．[1,2) D．(1,2]
解析选D A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，
由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，
所以A∩B＝{x|10的解集为{x|－2x(x－2)的解集是________．
解析不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
解析原不等式为(x－a)<0，
由00，∴x<－1或x>1．
3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2＜3，则k的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0,2)
解析选A 因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，
1⊙k2＜3，所以＋1＋k2＜3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，
所以－1＜k＜1．
4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
解析选C 设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10，即a2>16．
∴a>4或a<－4．
答案(－∞，－4)∪(4，＋∞)
7．若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．
解析由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故所求解集为．
答案
8．(2017·石家庄质检)在R上定义运算＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
解析原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤．
答案
9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6．
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于
解得
10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R．
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解(1)依题意得y＝＝＝x＋－4．
因为x>0，所以x＋≥2．
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2．
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2．
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥．
则a的取值范围为．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2016·太原模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析选A 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
[小题纠偏]
1．若用阴影表示不等示组所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．
答案15°
2．(2017·兰州诊断)已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
解析画出平面区域如图所示，目标函数可变为y＝2x－z，将直线y＝2x进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z最大，最大值为5．
答案5
[题组练透]
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2
解析选A 先作出不等式组
对应的平面区域，如图．
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．
当k＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．
当k＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A．
2．(易错题)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
3．(2017·广州五校联考)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为________．
解析如图，画出可行域．易得A，B(0,2)，C(0,4)，∴可行域D的面积为×2×＝．
答案
[谨记通法]
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．
[锁定考向]
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．
常见的命题角度有
(1)求线性目标函数的最值；
(2)求非线性目标函数的最值；
(3)线性规划中的参数问题．
[题点全练]
角度一求线性目标函数的最值
1．(2016·全国丙卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A时，z取得最小值，联立解得A(－1，－1)，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．
答案－10
角度二求非线性目标函数的最值
2．(2016·江苏高考)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
解析根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由可得A(2,3)，
所以dmax＝＝，dmin＝＝．
所以d2的最小值为，最大值为13．
所以x2＋y2的取值范围是．
答案
角度三线性规划中的参数问题
3．(2017·郑州质检)已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．
解析画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得
∴2×3－1－m＝0，m＝5．
由图知，平移l经过B点时，z最小，
∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5．
答案5
[通法在握]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型形如z＝(x－a)2＋(y－b)2．
(3)斜率型形如z＝．
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
[演练冲关]
1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足则z＝3x－y的取值范围为( )
A． B．[0,2]
C． D．
解析选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B(该点是直线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3×－＝，因此z的取值范围是，选A．
2．(2017·合肥质检)已知实数x，y满足若z＝kx－y的最小值为－5，则实数k的值为( )
A．－3 B．3或－5
C．－3或－5 D．±3
解析选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z取得最小值时，直线y＝kx－z在y轴上的截距最大，当k≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，zmin＝k－2＝－5，k＝－3适合；当k＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，zmin＝－2k＋1＝－5，k＝3适合，故k＝±3，选项D正确．
3．(2016·山西质检)设实数x，y满足则的最小值是________．
解析如图所示，画出不等式组所表示的可行域，
而表示区域内一点(x，y)与点D(1,1)连线的斜率，
∴当x＝，y＝时，有最小值为－．
答案－
[典例引领]
(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为
即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案216 000
[由题悟法]
1．解线性规划应用题3步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
[即时应用]
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析选C 设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为
目标函数为z＝1 600x＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示，
可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A． B．
C． D．
解析选C 平面区域如图所示．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝．
所以S△ABC＝××1＝．
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔
或画出图形可知选C．
3．(2016·四川德阳月考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最大值为( )
A．7 B．8
C．22 D．23
解析选D 由约束条件作出可行域如图中阴影部分，
由解得则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－x＋．
由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23．
4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
解析因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞．
答案
5．(2017·昆明七校调研)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．
解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8．
答案－8
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于( )
A．－ B．－2
C．－ D．2
解析选A 作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．
由
得点A，
zmin＝2×(－1)－＝－．
2．设动点P(x，y)在区域Ω上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π．
3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．3 D．6
解析选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，
由得C(2，－2)．
由得D(－1,1)．
所以|AB|＝|CD|＝＝3．故选C．
4．(2017·湖南东部六校联考)实数x，y满足(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A． B．
C． D．
解析选B 如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝．
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1．2万元
0．55万元
韭菜
6吨
0．9万元
0．3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
解析选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．
6．若不等式组表示的区域为一个三角形，则实数a的取值范围为________．
解析不等式组
表示的区域如图所示．
易求得A(2,5)．
画出直线lx＋y＝a．
由题意及图可得a＜7．
答案(－∞，7)
7．(2017·河南六市联考)已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________．
解析画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线ly＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，由解得又A(2,3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5．
答案5
8．(2017·西安质检)若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．
解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]．
答案[－2,2]
9．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域
(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组．
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0．原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，
即(14－a)(－18－a)＜0，
解得－18＜a＜14．
故a的取值范围是(－18,14)．
10．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，
过C(1,0)取最大值1．
所以z的最大值为1，
最小值为－2．
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2．
故所求a的取值范围为(－4,2)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2016·通化一模)设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．
解析∵＝1＋，
而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，
易知a>0，作出可行域如图所示，由题意知的最小值是，
即min＝＝＝⇒a＝1．
答案1
2．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y．
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在
y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112．
答生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
第四节基本不等式
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件a>0，b>0．
(2)等号成立的条件当且仅当a＝b．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记和定积最大)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
答案81
2．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
所以x2＋2y2的最小值为2．
答案2
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
[小题纠偏]
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的( )
(3)x＞0且y>0是＋≥2的充要条件( )
答案(1)√ (2)× (3)×
2．若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于( )
A． B．3
C． D．4
答案B
3．函数f(x)＝x＋的值域为____________________．
答案(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[典例引领]
1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )
A．3 B．
C．4 D．
解析选C 由x＋y＋＋＝5，
得5＝x＋y＋，
∵x＞0，y＞0，
∴5≥x＋y＋＝x＋y＋，
∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，
解得1≤x＋y≤4，
∴x＋y的最大值是4．
2．(2017·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．
解析∵x＞－4，∴x＋4＞0，
∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 －4＝2，
当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．
答案2
3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案4
[由题悟法]
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
[即时应用]
1．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
解析y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
又∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为．
答案
2．(2017·郑州质检)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
解析由题意得y＝，
∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，
等号成立．
答案3
3．若[典例引领]3中条件和结论互换，即已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________．
解析由＋＝4，得＋＝1．
∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2 ＝1．当且仅当a＝b＝时取等号．
答案1
[典例引领]
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2 －200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
[由题悟法]
解实际应用题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[即时应用]
某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
解(1)由题意得，y＝，
即y＝x＋＋1．5(x∈N*)．
(2)由基本不等式得
y＝x＋＋1．5≥2 ＋1．5＝21．5，
当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
[典例引领]
1．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解析(1)∵x＞0，a＞0，
∴f(x)＝4x＋≥2 ＝4，
当且仅当4x＝，
即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又∵f(x)在x＝3时取得最小值，
∴a＝4×32＝36．
答案36
2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析对任意x∈N*，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3．设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝．∵g(2)＞g(3)，∴g(x)min＝．∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是．
答案
[由题悟法]
求解含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[即时应用]
1．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析选B (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故选B．
2．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．
答案2
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析选A 由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A．
2．当x＞0时，f(x)＝的最大值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析选B ∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
3．(2017·合肥调研)若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析选C 因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
4．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
解析y＝＝
＝－＋15≤－2 ＋15＝3．
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．
答案3
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．
解析设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，都为5 m时面积取到最大值25 m2．
答案25
二保高考，全练题型做到高考达标
1．下列不等式一定成立的是( )
A．lg＞lg x(x＞0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．＞1(x∈R)
解析选C lg＞lg x⇔x2＋＞x(x＞0)⇔4x2－4x＋1＞0(x＞0)．当x＝时，4×－4×＋1＝0，∴A错；当sin x＝－1时，sin x＋＝－2＜2，∴B错；x2＋1≥2|x|⇔(|x|－1)2≥0，∴C正确；当x＝0时，＝1，∴D错．
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析选D ∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2．
4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是( )
A．9 B．
C．4 D．
解析选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B．
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析选B 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．
6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝2x图象上两个不同的点，若x1＋2x2＝4，则y1＋y的最小值为________．
解析y1＋y＝2x1＋22x2≥2＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)．
答案8
7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，
所以log2x＋log2y的最大值为1．
答案1
8．已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy．
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2．
当且仅当x＝y＝1时右边等号成立．
所以x＋y的最大值为2．
答案2
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－．
(2)∵00，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为．
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18．
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析选D 因为a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6．
2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解(1)因为每件商品售价为0．05万元，
则x千件商品销售额为0．05×1 000x万元，依题意得
当0＜x＜80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250．
当x≥80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－．
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950．
此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－
≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000．
此时x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．
命题点一 不等关系与一元二次不等式
命题指数☆☆☆☆
难度中、低
题型选择题、填空题
1．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析选C 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|．选C．
2．(2014·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且09
解析选C 由题意，不妨设g(x)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，m∈(0,3]，则g(x)的三个零点分别为x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，则c－m＝6，因此c＝m＋6∈(6,9]．
3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8．综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]．
答案(－∞，8]
4．(2014·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－0，b>0，
所以＋＝1(a>0，b>0)，
a＋b＝(a＋b)·＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D．
4．(2015·山东高考)定义运算“⊗”x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析因为x⊗y＝，所以(2y)⊗x＝．又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
答案
第五节合情推理与演绎推理
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2．演绎推理
(1)定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
[小题体验]
1．(教材习题改编)已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，归纳该数列的通项公式an＝________．
答案
2．(教材习题改编)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案1∶8
1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
3．合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
[小题纠偏]
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)×
[题组练透]
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b” 类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析选B 类比结论正确的有①②．
2．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题若P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
解析类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1．
答案－＝1
[谨记通法]
类比推理的分类及处理方法
类别
解读
适合题型
类比
定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
已知熟悉定义类比新定义
类比
性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
平面几何与立体几何、等差数列与等比数列
类比
方法
有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
[锁定考向]
归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．
常见的命题角度有
(1)与数字有关的推理；
(2)与式子有关的推理；
(3)与图形有关的推理．
[题点全练]
角度一与数字有关的推理
1．(2016·甘肃两市三校3月联考)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为__________________________________________________．
解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2．
答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
角度二与式子有关的推理
2．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2 017(x)的表达式为____________．
解析f1(x)＝，f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝，…，归纳可得f2 017(x)＝．
答案f2 017(x)＝．
角度三与图形有关的推理
3．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．
解析由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n．∴总个数为．
答案
[通法在握]
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
[演练冲关]
1．(2017·贵阳监测)已知不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，照此规律总结出第n(n∈N*)个不等式为________．
解析由已知，三个不等式可以写成
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
所以照此规律可得到第n个不等式为
1＋＋＋…＋＋＜
＝．
答案1＋＋＋…＋＋＜
2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
n级分形图中共有________条线段．
解析分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，
由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，
二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，
三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，
按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3．
答案3×2n－3
[典例引领]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an．
证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn．
故＝2·，(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an．(结论)
[由题悟法]
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[即时应用]
已知函数y＝f(x)满足对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明f(x)为R上的单调增函数．
证明设x1，x2∈R，取x1x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x10，f(x2)>f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调增函数．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析选C 因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
解析选C a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2．
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析选B ①②正确，③④⑤⑥错误．
4．(2017·云南名校联考)观察下列等式13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________________．
解析由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2．
答案13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2
5．(2017·黑龙江哈三中检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则____________________成等比数列．
解析利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．
答案T4，，，
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提无限不循环小数是无理数；小前提π是无理数；结论π是无限不循环小数
B．大前提无限不循环小数是无理数；小前提π是无限不循环小数；结论π是无理数
C．大前提π是无限不循环小数；小前提无限不循环小数是无理数；结论π是无理数
D．大前提π是无限不循环小数；小前提π是无理数；结论无限不循环小数是无理数
解析选B A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．
2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{an}的前n项和为Sn．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断f(x)＝xcos x为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
3．(2017·济宁模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是( )
A．25 B．250
C．55 D．133
解析选B 由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，…．因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2 016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数是250．
4．给出以下数对序列
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )
A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)
解析选A 由前4行的特点，归纳可得若an m＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴an m＝(m，n－m＋1)．
5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析选C 观察三角形数1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n．
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
观察正方形数1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2．把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有 1 225．
6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________．
解析∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得f(2n)≥．
答案f(2n)≥
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．
解析由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2．
答案6n＋2
8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f．若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝．
答案
9．在锐角三角形ABC中，求证sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．
证明∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，
∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．
10．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”
＋＋＝＋＋＝＝1．
请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
解在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则＋＋＋＝1．
证明在四面体OBCD与ABCD中，
＝＝＝．
同理有＝；＝；＝．
∴＋＋＋
＝＝＝1．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·河北“五校联盟”质检)古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式
三角形数 N(n,3)＝n2＋n
四边形数 N(n,4)＝n2
五边形数 N(n,5)＝n2－n
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________．
解析原已知式子可化为N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n；
N(n,4)＝n2＝n2＋n；
N(n,5)＝n2－n＝n2＋n；
N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n．
故N(n，k)＝n2＋n，
N(20,15)＝×202＋×20＝2 490．
答案2 490
2．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°．
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解(1)选择②式，计算如下
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝．
(2)法一三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝．
证明如下
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝．
法二三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝．
证明如下
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝．
第六节直接证明和间接证明
1．直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．
(1)综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法又称为由因导果法(顺推证法)．
(2)分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法又称为执果索因法(逆推证法)．
2．间接证明
反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
[小题体验]
1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
答案A
2．下列条件①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．
解析要使＋≥2成立，
则＞0，即a与b同号，
故①③④均能使＋≥2成立．
答案3
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
[小题纠偏]
1．－2与－的大小关系是________．
解析假设－2>－，由分析法可得，要证－2>－，只需证＋>＋2，即证13＋2>13＋4，即>2．因为42>40，所以－2>－成立．
答案－2>－
2．用反证法证明“如果a＞b，那么a3＞b3”时假设的内容为________．
答案a3≤b3
[题组练透]
1．已知a≥b＞0，求证2a3－b3≥2ab2－a2b．
证明要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0．
∵a≥b＞0，
∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b．
2．(易错题)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c．
求证＋＝．
证明要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
[谨记通法]
1．利用分析法证明问题的思路
分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．如“题组练透”第2题．
2．分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[典例引领]
(2016·天津高考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．
(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝(－1)kb，n∈N*，求证＜．
证明(1)由题意得b＝anan＋1，
cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1．
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，
所以{cn}是等差数列．
(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2d·
＝2d2n(n＋1)．
所以＝
＝
＝·
＜．
[由题悟法]
综合法证题的思路
[即时应用]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1．
(1)求证a，b，c成等差数列．
(2)若C＝，求证5a＝3b．
证明(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，
因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，
所以＝，即5a＝3b．
[典例引领]
设a>0，b>0，且a＋b＝＋．证明
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，
得ab＝1．
(1)由基本不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0，得0b>c，且a＋b＋c＝0，求证0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
解析选C 0
⇔(a－c)(2a＋c)>0
⇔(a－c)(a－b)>0．
2．(2017·新乡调研)设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析选C 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c＜6矛盾，
∴a，b，c都小于2错误．
∴a，b，c三个数至少有一个不小于2．故选C．
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
解析选A 假设P＞Q，要证P＞Q，只需证P2＞Q2，只需证
2a＋13＋2＞2a＋13＋2，只需证a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40，只需证42＞40，因为42＞40成立，所以P＞Q成立．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)8．
证明因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，
所以－1＝＝>，①
－1＝＝>，②
－1＝＝>，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，
得>8．
8．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证≤．
证明a⊥b⇔a·b＝0，
要证≤．
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
9．如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．
(1)求证EC∥平面PAD；
(2)求证平面EAC⊥平面PBC．
证明(1)作线段AB的中点F，连接EF，CF(图略)，则AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
则CF∥AD．
又EF∥AP，且CF∩EF＝F，∴平面CFE∥平面PAD．
又EC⊂平面CEF，∴EC∥平面PAD．
(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC．
∵四边形ABCD是直角梯形，
且AB＝2AD＝2CD＝2，
∴AC＝，BC＝．
∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，
∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
二上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明Tn＜．
证明(1)由已知可得，当n∈N*时，an＋1＝，
两边取倒数得，＝＝＋3，
即－＝3，所以数列是首项为＝2，
公差为3的等差数列，
其通项公式为＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝．
(2)由(1)知an＝，
故bn＝anan＋1＝
＝，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝×＋×＋…＋×＝＝－·．
因为＞0，所以Tn＜．
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00．
(1)证明是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明－20，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
∴≥c，又∵≠c，
∴>c．
(3)证明由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac．
又a>0，c>0，∴b<－1．
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<．
又a>0，∴b>－2，∴－21，都存在m∈N* ，使得 a1，an，am成等比数列．
解(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2．
(2)证明要使得a1，an，am成等比数列，
只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，
即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n．
所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
2．(2015·北京高考节选)已知数列{an}满足a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明M的所有元素都是3的倍数．
解(1)6,12,24．
(2)证明因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．
由an＋1＝可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．
从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．
命题点三 数学归纳法
命题指数☆☆
难度高
题型解答题
(2015·陕西高考)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
(1)证明函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
解(1)证明Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fn＝1＋＋2＋…＋n－2
＝－2＝－＜0，
所以Fn(x)在内至少存在一个零点．
又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn．
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x．
(2)由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，
gn(x)＝，x＞0．
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)．
①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2＜0，
所以f2(x)＜g2(x)成立．
②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．
那么，当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝＋xk＋1＝．
又gk＋1(x)－
＝，
令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，
则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1
＝k(k＋1)xk－1·(x－1)．
所以当0＜x＜1时，hk′(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；
当x＞1时，hk′(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．
所以hk(x)＞hk(1)＝0，
从而gk＋1(x)＞．
故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．
由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．
微信/支付宝扫码支付下载