2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：专题十三　推理与证明（讲解部分） 16页

专题十三　推理与证明 高考理数 考点一    合情推理与演绎推理 考点清单 考向基础 　         考向突破 考向    合情推理与演绎推理 例     (2018山东淄博部分学校摸底考试,10)《聊斋志异》中有这样一首诗: “挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.” 在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2   =   ,3   =   ,4   =   ,5   =   ,则按照以上规律,若8   =   具有“穿墙 术”,则 n =   (　　) A.35　　　　    B.48　　　　    C.63　　　　    D.80 解析 　根据规律得3=1 × 3,8=2 × 4,15=3 × 5,24=4 × 6, …… ,所以 n =7 × 9=63,选C. 答案     C 考点二    直接证明与间接证明 考向基础 1.直接证明 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证 ,最后推导出所要证 明的结论 成立 从 要证明的结论 出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 ,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 实质 由因导果 执果索因 框图表示 P ⇒ Q 1   Q 1 ⇒ Q 2   …   Q n ⇒ Q Q ⇐ P 1   P 1 ⇐ P 2   …   得到一个明显 成立的条件 文字语言 因为 …… 所以 …… 或由 …… 得 …… 要证 …… 只需证 …… 即证 …… 反证法:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的 推理,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证 明方法叫反证法. 2.间接证明 考向突破 考向一    直接证明 例1 　已知 x + y + z =1,求证: x 2 + y 2 + z 2 ≥   . 证明 　∵ x 2 + y 2 ≥ 2 xy , x 2 + z 2 ≥ 2 xz , y 2 + z 2 ≥ 2 yz , ∴2 x 2 +2 y 2 +2 z 2 ≥ 2 xy +2 xz +2 yz , ∴3 x 2 +3 y 2 +3 z 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2 +2 xy +2 xz +2 yz , 即3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 , ∵ x + y + z =1,∴( x + y + z ) 2 =1, ∴3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 1,即 x 2 + y 2 + z 2 ≥   . 考向二    间接证明 例2     (2019河北衡水第十三中学模拟,18)已知△ ABC 的内角 A , B , C 对应的 边分别为 a , b , c ,三边互不相等,且满足 b 2 < ac . (1)比较   与   的大小,并证明你的结论; (2)求证: B 不可能是钝角. 解析 　(1)结论:   <   . 证明如下:要证   <   ,只需证   <   . 由题意知 a , b , c >0,则只需证 b 2 < ac .因为 b 2 < ac 是已知条件, 所以   <   . (2)证明:假设 B 是钝角,则cos B <0, 而cos B =   >   >   >0, 这与cos B <0矛盾,故假设不成立.所以 B 不可能是钝角. 考点三    数学归纳法 考向基础 　　一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n = n 0 ( n 0 ∈N * )时,命题成立. (2)(归纳递推)假设 n = k ( k ≥ n 0 , k ∈N * )时,命题成立,证明当 n = k +1 时,命题也成立. 只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对于从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 注意:(1)两个步骤缺一不可.(2)初始值 n 0 不一定是1.(3)证明当 n = k +1时命题 成立一定会用到归纳假设(即假设 n = k ( k ≥ n 0 , k ∈N * )时命题成立).解题时要 特别注意从 n = k 到 n = k +1增加了哪些项或减少了哪些项. 考向突破 考向    数学归纳法 例     (2019辽宁抚顺第十中学期中,21)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 1 =1, S n = n 2 a n ( n ∈N * ). (1)试求 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,并猜想 S n 的表达式; (2)证明你的猜想. 解析 　(1)∵ a 1 =1, S n = n 2 a n ( n ∈N * ), ∴ S 1 = a 1 =1, S 2 =1+ a 2 =4 a 2 ⇒ a 2 =   , ∴ S 2 = S 1 + a 2 =1+   =   . S 3 = S 2 + a 3 =9 a 3 ⇒ a 3 =   , ∴ S 3 = S 2 + a 3 =   +   =   =   =   . S 4 = S 3 + a 4 =16 a 4 ⇒ a 4 =   , ∴ S 4 = S 3 + a 4 =   +   =   =   . 猜测: S n =   . (2)用数学归纳法证明如下: ①当 n =1时, S 1 =   =1,猜测显然正确. ②假设当 n = k ( k ≥ 1, k ∈N * )时, S k =   . 由 S k = k 2 a k 可得   = k 2 a k ,∴ a k =   . 当 n = k +1时, S k +1 = S k + a k +1 =( k +1) 2 a k +1 ⇒   + a k +1 =( k +1) 2 a k +1 ⇒ a k +1 =   , ∴ S k +1 = S k + a k +1 =   +   =   =   . ∴当 n = k +1时,猜测也是正确的. 由①②知,对一切 n ( n ∈N * )都有 S n =   . 方法    归纳推理与类比推理的应用 1.归纳推理的一般步骤   2.类比推理的一般步骤   方法技巧 例 　(1)(2018湖北孝感模拟,7)二维空间中,圆的一维测度(周长) l =2π r ,二维 测度(面积) S =π r 2 ,三维空间中,球的二维测度(表面积) S =4π r 2 ,三维测度(体 积) V =   π r 3 ,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度 V =8π r 3 ,则其 四维测度 W =       (　　) A.2π r 4 　　　　    B.3π r 4 　　　　     C.4π r 4 　　　　    D.6π r 4 (2)德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形,单位分数是分子为 1,分母为正整数的分数,根据前6行的规律,第7行的第3个数是 　　　     .                                                                                                                          ……      ……      …… 　     …… 解析　 (1)二维空间中,圆的一维测度(周长) l =2π r ,二维测度(面积) S =π r 2 ,(π r 2 )'= 2π r ,三维空间中,球的二维测度(表面积) S =4π r 2 ,三维测度(体积) V =   π r 3 ,   '=4π r 2 ,四维空间中,“超球”的三维测度 V =8π r 3 ,∵(2π r 4 )'=8π r 3 , ∴“超球”的四维测度 W =2π r 4 ,故选A. (2)易知第7行的第一个数和最后一个数都是   ,第2个数加   要等于   ,所以 第2个数是   ,同理第3个数加   等于   ,故第3个数是   . 答案　 (1)A　(2)