高中数学必修5能力强化提升2-3第2课时 4页

第2课时　等差数列前n项和的应用 双基达标　(限时20分钟) ‎1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4等于 (　　)．‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ 解析　Sn是等差数列{an}的前n项和，则S7＝7a4＝35，‎ ‎∴a4＝5.‎ 答案　D ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 (　　)．‎ A．1 B．－1 C．2 D. 解析　＝＝＝＝·＝1.‎ 答案　A ‎3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 (　　)．‎ A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5‎ 解析　由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，‎ ‎∴S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，∴d＝－2.5.‎ 答案　C ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.‎ 解析　∵{an}是等差数列，由S9＝72，得S9＝9a5，a5＝8，‎ ‎∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.‎ 答案　24‎ ‎5．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.‎ 解析　由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)‎ ‎＋(a3＋an－2)＝93，‎ 即a1＋an＝31.‎ 由Sn＝＝＝155，得n＝10.‎ 答案　10‎ ‎6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.‎ ‎(1)求公差d的范围；‎ ‎(2)问前几项的和最大，并说明理由．‎ 解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，‎ ‎∵S12>0，S13<0，‎ ‎∴即 ‎∴－0，S13<0，‎ ‎∴∴.‎ ‎∴a6>0，‎ 又由(1)知d<0.‎ ‎∴数列前6项为正，从第7项起为负．‎ ‎∴数列前6项和最大．‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝，故选A.‎ 答案　A ‎8．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 (　　)．‎ A．11或12 B．12‎ C．13 D．12或13‎ 解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，‎ ‎∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.‎ ‎∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.‎ 答案　D ‎9．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．‎ 解析　法一　在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．‎ ‎∴30,70，S3m－100成等差数列．‎ ‎∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.‎ 法二　在等差数列中，，，成等差数列，‎ ‎∴＝＋.‎ 即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.‎ 答案　210‎ ‎10．在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________.‎ 解析　在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，‎ ‎∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，‎ ‎∴a1＝－7d，∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)，‎ ‎∴n＝7或8时，Sn取得最大值．‎ 答案　7或8‎ ‎11．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.‎ 解　设等差数列{an}的公差为d，‎ 则Sn＝na1＋n(n－1)d，‎ ‎∵S7＝7，S15＝75，∴ 即解得 ‎∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，‎ ‎∵－＝，‎ ‎∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，‎ ‎∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.‎ ‎12．(创新拓展)若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．‎ ‎(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，试写出{bn}的每一项；‎ ‎(2)已知{cn}是项数为2k－1(k≥1)的对称数列，且ck，ck＋1，…，c2k－1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1，则当k为何值时，S2k－1取到最大值？最大值为多少？‎ 解　(1)设{bn}的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，‎ 解得d＝3，‎ ‎∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.‎ ‎(2)S2k－1＝c1＋c2＋…＋ck－1＋ck＋ck＋1＋…＋c2k－1‎ ‎＝2(ck＋ck＋1＋…＋c2k－1)－ck ‎＝2(－2k2＋52k)－50‎ ‎＝－4(k2－26k)－50‎ ‎＝－4(k－13)2＋4×132－50，‎ ‎∴当k＝13时，S2k－1取得最大值．S2k－1的最大值为626.‎