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- 2021-06-16 发布
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数学试题
说明:1.本试题满分150分,答题时间120分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上,写在本试题上的答案无效。
3.考试结束后,只回收答题纸,本试题由考生妥善保管。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列几个关系中正确的是( )
A. B. 0{0} C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断出正确选项.
【详解】元素与集合的关系是属于或者不属于,故A,B选项错误.空集是任何集合的子集,故C选项正确.空集没有元素,而有一个元素,故D选项错误.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系;集合与集合的关系,属于基础题.
2.设集合U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3},B={2,5}, 则( )
A. B. C. D. {1,3}
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得,然后求得.
【详解】依题意,所以.
故选:A
【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算,属于基础题.
3.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A. . B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数在上的单调性,由此判断出正确选项.
【详解】对于A选项,在 上递减,不符合题意.
对于B选项,对称轴为且开口向上,所以在上递减,在上递增,不符合题意.
对于C选项.在上递增,符合题意.
对于D选项,函数在上递减,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查基本初等函数的单调性,属于基础题.
4.已知 ,,则( )
A. 36 B. 12 C. 24 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数运算公式,求得所求表达式的值.
【详解】依题意.
故选:A.
【点睛】本小题主要考查指数运算,属于基础题.
5.若函数为幂函数,则实数( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数为幂函数列方程,解方程求得的值.
【详解】由于为幂函数,所以,解得或.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查根据函数幂函数求参数,属于基础题.
6.三个数 之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用“分段法”比较出三者的大小关系.
【详解】,,,所以.
故选:A.
【点睛】本小题主要考查“分段法”比较指数式、对数式的大小,属于基础题..
7.函数的图象恒过定点,则点的坐标( )
A. (2,3) B. (2,4) C. (0,3) D. (3,0)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数型函数定点的求法,求得点的坐标.
【详解】依题意可知,当,即时,,故.
故选:B.
【点睛】本小题主要考查指数型函数所过定点的求法,属于基础题.
8.函数的零点所在区间为 ( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性和零点存在性定理,判断出函数零点所在区间.
【详解】依题意可知为上的单调递增函数.而,,根据零点存在性定理可知,在上的零点所在区间为.
故选:B.
【点睛】本小题主要考查利用零点存在性定理判断函数零点所在区间,考查函数单调性的判断,属于基础题.
9.当时, 在同一坐标系中,函数与的图像是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性,判断出正确选项.
【详解】由于,所以为上的递减函数,且过;为
上的单调递减函数,且过,故只有D选项符合.
故选:D.
【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断,考查函数图像的识别,属于基础题.
10.若函数 ,则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式,解不等式求得的定义域.
【详解】依题意,解得且.所以的定义域为.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法,属于基础题.
11.已知在区间上有最大值3,最小值 -1,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出的图像,根据在区间上的最值,求得的取值范围.
【详解】画出的图像如下图所示,由图可知,要使在区间的最大值为,最小值为,则需的最小值为,的最大值为,所以的取值范围是.
故选:D.
【点睛】本小题主要考查二次函数图像与形式,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
12.求函数的单调增区间( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得的定义域,然后根据复合函数单调性同增异减,求得单调递增区间.
【详解】由,解得或,也即的定义域为.由于在定义域上是增函数,开口向上、对称轴为.根据复合函数单调性同增异减可知,的单调递增区间是.
故选:D.
【点睛】本小题主要考查对数型复合函数的定义域的求法,考查复合函数单调性的求法,属于基础题.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.____________
【答案】1.
【解析】
【分析】
利用对数运算公式,化简求得所求表达式的值.
【详解】依题意,原式.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.
14.函数的图像与函数 的图像关于直线对称,则______
【答案】.
【解析】
【分析】
根据同底的指数函数和对数函数互为反函数,写出解析式.
【详解】由于同底的指数函数和对数函数互为反函数,互为反函数的两个函数图像关于直线对称,所以.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查同底的指数函数和对数函数互为反函数,考查反函数图像的对称性,属于基础题.
15.设,则的值为______________(用表示)
【答案】.
【解析】
【分析】
利用对数运算公式,求得的值.
【详解】依题意.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查对数运算,考查化归与转化数学思想方法,属于基础题.
16.用“二分法”求方程在区间内的实根,取区间中点为,那么下一个有根区间是__________________
【答案】.
【解析】
【分析】
构造函数,利用零点存在定理,判断出下一个有根的区间.
【详解】令,,,所以下一个有根的区间是.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查零点存在性定理和二分法的运用,属于基础题.
三、解答题(本大题共6题,共70分)
17.计算
(1)
(2).
【答案】(1)2;(2)-1.
【解析】
【分析】
(1)根据根式、指数运算,化简所求表达式.
(2)根据对数运算化简所求表达式.
【详解】(1)原式.
(2)原式.
【点睛】本小题主要考查根式、指数运算,考查对数运算,属于基础题.
18.设全集为R,.
求(1)
(2)
(3).
【答案】(1);
(2);
(3).
【解析】
【分析】
(1)根据交集的概念和运算求得两个集合交集.
(2)根据补集的概念和运算求得集合的补集.
(3)由(2)的结论,求得.
【详解】(1)依题意.
(2)依题意
(3)由(2)得或.
【点睛】本小题主要考查集合交集、并集、补集的概念和运算,属于基础题.
19.解下列方程或不等式.
(1)
(2).
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)将方程化为同底的形式,由此求得方程的解.
(2)利用对数函数的定义域和单调性列不等式组,解不等式组求得不等式的解集.
【详解】(1)依题意:.
(2)因为在上递增,所以由得,解得,所以不等式的解集为.
【点睛】本小题主要考查指数方程的解法,考查对数不等式的解法,属于基础题.
20.已知函数,
(1)求的定义域;
(2)当时, 求的值;
(3)判断函数的奇偶性.
【答案】(1)(-2,2);(2);(3)奇函数.
【解析】
分析】
(1)利用求得的定义域.
(2)利用对数运算,求得值.
(3)定义域关于原点对称,且通过验证,由此证得为奇函数.
【详解】(1) 由求得函数的定义域为 (-2,2) ;
(2) 当时, ;
(3) ∵函数的定义域为(-2,2)
又 ∵ f(-x)=
∴ 函数f(x)为奇函数.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,考查函数值的求法,考查函数奇偶性的判断,属于基础题.
21.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为 试回答下面的问题:
(1)写出该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确度为0.1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确度为1年).
(提示:; )
【答案】(1);
(2)112.7万人;
(3)16年后.
【解析】
【分析】
(1)利用指数函数模型,写出与的函数关系式.
(2)令代入(1)中求得的函数解析式,由此求得年后该城市人口总数.
(3)令代入(1)中求得的函数解析式,根据题目所给数据求得的值,由此判断大约需要的年份.
【详解】由题意得:
(1)该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式为;
(2)当 时,得(万人);
(3)设经过 年后该城市人口总数将达到120万人,则
,,两边取以底的对数得,代入题目所给数据,解得
即经过16 年后该城市人口总数将达到120万人.
【点睛】本小题主要考查指数函数模型的应用,考查指数方程的解法,考查运算求解能力,属于基础题.
22.函数是定义在上的偶函数,当时, .
(1)求函数的解析式;
(2)作出函数的图像,并写出函数的单调区间;
(3)方程有两解,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2)图象见解析,单调递增区间为,单调递减区间为;
(3).
【解析】
【分析】
(1)利用求得时函数的表达式,由此求得的解析式.
(2)根据(1)求得的解析式,结合指数型函数图像的画法,画出函数图像.
(3)利用(2)中函数的图像,结合有两解列不等式,解不等式求得的取值范围.
【详解】(1)∵是偶函数,∴,
当时, ,∴
∴
(2)图像如图所示,
所以:单调递增区间为. 单调递减区间为.
(3)由(2)知,,可得
【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式,考查指数型函数、分段函数图像的画法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.