四川省泸县第二中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题 10页

‎2020年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为 ‎ A．10 B．‎11 ‎C．12 D．13‎ ‎4．已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为 ‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ ‎5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因使第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为 ‎ ‎196‎ ‎197‎ ‎200‎ ‎203‎ ‎204‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ A．8.3 B．‎8.2 ‎C．8.1 D．8‎ ‎6．函数的部分图象如图所示，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎8．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生和都不是第一个出场，不是最后一个出场”的前提下，学生第一个出场的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为 A．3 B．‎1 ‎C．2 D．‎ ‎10．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于 A． B． C． D．‎ ‎11．已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，的夹角为，，，.若，则__________．‎ ‎14．展开式中的系数为__________．‎ ‎15．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则的最小正值为__________．‎ ‎16．椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是椭圆和抛物线的一个公共点，点满足，则的离心率为__________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）锐角中，角的对边分别为，的面积为，‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，，求的最大值.‎ ‎18．（12分）在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，．‎ 若三棱锥的体积为，求的长;‎ 证明：平面．‎ ‎19．（12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示.‎ ‎（I）试估计该校学生在校月消费的平均数；‎ ‎（II）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额（元）和服务部可获得利润（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为，求的分布列及数学期望.‎ ‎（ii）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？‎ ‎20．（12分）设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.‎ ‎（I）是否存在实数，满足，并说明理由；‎ ‎（II）求面积的最大值.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（I）对于，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（II）当时，令，求的最大值；‎ ‎（III） 求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（I）求曲线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.‎ ‎2020年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．B ‎13． 14．3. 15． 16．.‎ ‎17．依题意，得，即 由正弦定理得：‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎∵为锐角，∴，‎ 由余弦定理得，即，‎ ‎∴，整理得：，即，当且仅当时取等号 故的最大值为6.‎ ‎18．（1）设，‎ ‎∵，‎ 三棱锥的高为，‎ ‎∴，‎ 解得，即.‎ ‎（2）如图，连接交于，连接.‎ ‎∵为 的中点，∴， ‎ 又，∴，‎ 而平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎19．（1）学生月消费的平均数 ‎ .‎ ‎（2）（i）月消费值落入区间、、的频率分别为0.05、0.80、0.15，‎ 因此，，，‎ 即的分布列为 ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎0.05‎ ‎0.80‎ ‎0.15‎ 的数学期望值.‎ ‎（ii）服务部的月利润为（元），‎ 受资助学生人数为，‎ 每个受资助学生每月可获得（元）.‎ ‎20.设直线方程为，，，，，‎ 联立和，‎ 得，‎ 则，，.‎ 由，所以，得.‎ 联立和，得 ‎，‎ 所以，.‎ 由，得.‎ ‎（1）因为，，‎ 所以.‎ ‎（2）根据弦长公式，得：‎ ‎.‎ 根据点到直线的距离公式，得，‎ 所以，‎ 设，则，‎ 所以当，即时，有最大值.‎ ‎21．（1）由，得：，‎ 因为，所以，‎ 令，，‎ 再令，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，则在上单调递减，‎ 所以，所以.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴，，‎ 由，得：，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减；‎ ‎∴.‎ ‎（3）由（2）可知，当时，，‎ 即，‎ 令，则，即，‎ 分别令得，‎ ‎，‎ 将上述 个式子相加得：.‎ ‎22.（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，‎ 整理可得直角坐标方程为，‎ 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.‎ ‎（2）设曲线与轴异于原点的交点为，‎ ‎∵，∴过点，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入可得，解得或，‎ 可知，‎ 代入可得，解得，‎ 可知，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以线段长度的最小值为.‎ ‎23．（1）‎ 所以等价于或或，解得或，‎ 所以不等式的解集为或 ‎（2）由（1）可知，当时，取得最小值，所以，即 故，‎ 由柯西不等式，整理得，‎ 当且仅当，即，，时等号成立 所以的最小值为.‎