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- 2021-06-16 发布
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高三数学冲刺卷
数学Ⅰ试题
一、填空题:不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,则________.
2.已知复数(其中为虚数单位),若,则的值为________.
3.已知一组数据4,,7,5,8的平均数为6,则该组数据的标准差是________.
4.在平面直角坐标系中,若双曲线:的一条准线与抛物线:的准线重合,则正数的值是________.
5.运行如图的程序框图,则输出的结果是________.
6.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为________.
7.已知为等差数列,为其前n项和,若,则的值是________.
8.圆柱形容器的内壁底面半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了,则这个铁球的表面积为________.
9.若直线与曲线相切,则实数k的值为________.
10.计算:________.
11.已知向量,,满足,,则的最小值为________.
12.在平面直角坐标系中,已知,为圆:上两个动点,且.若直线l:上存在点P,使得,则实数的取值范围为________.
13.已知函数,若存在,,使得成立,则实数的取值范围是________.
14.已知在锐角三角形中,于点,且,若,则的取值范围是________.
二、解答题:请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,,求c的值;
(2)若,求的值.
16.已知直三棱柱,E,F分别是BC,的中点,,.
求证:(1)平面;
(2).
17.如图,已知边长为2的正方形材料ABCD,截去如图所示的阴影部分后,可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设.
(1)用表示此容器的体积,
(2)当此容器的体积最大时,求的值.
18.如图,点为椭圆C:的左焦点,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在椭圆上,且满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)过定点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别交直线,于点,,求证:以为直径的圆经过轴上的两定点(用表示).
19.若数列满足:存在实数,使得对任意,都成立,则称数列为“倍等阶差数列”.已知数列为“倍等阶差数列”.
(1)若,,,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,设.
①求数列的通项公式;
②设数列的前项和为,是否存在正整数,,且,使得,,成等比数列?若存在,求出,的值,若不存在,请说明理由.
20.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在定义域内有两个零点,求的取值范围;
(3)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵,,若直线l依次经过变换后得到直线lˊ: ,求直线l的方程.
B.选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数),点P(1,2)在直线l上.
(1)求m的值;
(2)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=4与直线l交于两点A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
C.选修4—5:不等式选讲
设a,b,c都是正数,求证:
【必做题】第22题、第23题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.某商场在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动,举办方设置了A,B两种抽奖方案,方案A的中奖率为,中奖可以获得2分;方案B的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分,每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,并凭分数兑换奖品.
(1)若顾客甲选择方案A抽奖,顾客乙选择方案B抽奖,记他们的累计得分为X,若的概率为,求;
(2)若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A或都选择方案B进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?
23.已知
(1)求的值;
(2)求的值.
参考答案
数学Ⅰ试题
一、填空题:
1. 2.-2 3. 4.3 5.
6. 7.75 8. 9. 10.-4
11. 12.
13. 14.
解答与提示:
1.由交集定义可知.
2.,所以,,所以.
3.由平均数公式得,所以.
4.抛物线:的准线方程为,双曲线:的一条准线方程为,根据题意,解得.
5.分析流程图,可得输出的结果是.
6.从阳数和阴数中各取一数,有25种取法,其差的绝对值为5的有5种,所以概率为.
7.由,得,即,所以,则.
8.设该铁球的半径为rcm,则由题意得,解得,所以,所以这个铁球的表面积.
9.曲线在切点处的切线方程为,所以解得.
10.原式.
11.,故的最小值为.
12.由题意知圆的圆心,半径.取的中点,连结,则.所以,所以点在圆上.延长交于.
法一:因为,所以,
所以点在圆上,所以直线与圆有公共点,
从而,解得.
法二:因为,设,,
则,,
所以则
因为在圆上,
所以,即,
所以点P在以为圆心,1为半径的圆D上,
又点P在直线l:上,
所以直线l与圆D有公共点,所以,
解得.
13.当时,单调递减,;
当时,成立,
单调递增,,
所以的值域为.
设的值域为,因为存在,使得成立,
所以.,.
①,任意,成立,在单调递增,
所以,,.
因为,所以,;
②,任意,成立,在单调递减,
所以,,,
则,不合题意;
③,令,,
在递减,递增,
所以,,.
又,,
则,不合题意.
综上所述,.
解:法一:由,
得,
所以,即,.
设边上的高为,则,,
所以,所以
因为的面积,所以,
所以.
法二:由,
得,
所以,即,,
所以.
以中点为原点,为轴建立坐标系,
则,,,
从而,即(舍去)或.
设边上的高为.
因为的面积,
所以,即.
由得.
因为为锐角三角形,所以,
所以.
法三:由,
得,
所以,即,.
因为角为锐角,所以,
所以.
因为的面积,所以,
所以.
法四:设,,,
因为,
所以,
所以,所以,
又因为,所以,.
又因为,所以,
所以,所以,
所以.因为的面积,
所以,所以.
法五:设.
因为,所以,
所以.
因为,
所以,
所以,所以,
即,
,所以,
所以.下略.
二、解答题:
15.解:(1)在中,,,,
由余弦定理得,
得,即,
解之得或(舍去).
(2)由,得,
所以.
又因为,所以
.
16.证:(1)设,交于点,连接,.
在中,点,分别是,BC中点,
所以,.
因为直三棱柱,所以,,
又因为是中点,所以,,所以.
因为平面,平面,所以∥平面.
(2)因为直三棱柱,所以侧面是矩形.
又因为,所以四边形是正方形,所以.
因为直三棱柱,所以平面,
因为平面,所以,
又因为,,,平面,
所以平面.
因为平面,所以.
因为直三棱柱,所以,所以.
因为,,平面,所以平面.
因为平面,所以,
因为,所以.
17.解:取的中点,连接,连接交于,如图.
由题意知,在直角三角形中,.
在直角三角形中,,
所以,所以.
因为,所以.
从而,
正四棱锥的高
,
所以正四棱锥的体积
,.
(2)令,,
则,
.
令,得.
+
0
-
↗
极大值
↘
所以在单调递增,在单调递减,
所以在时取到最大值,此时.
18.解:(1)由,在椭圆:上得①,
如图,由为的右顶点,为的上顶点可知,,
因,所以,则②.
联立①②得方程组解得
故所求椭圆的方程为.
(2)设,,又,
所以直线的方程为,
令,得,
所以.同理.
设是以为直径的圆上的任意一点,
则,所以,
令,得.
设直线的方程为,与椭圆的方程联立,
消去得,
所以,,
所以
.
所以,
因为-2