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- 2021-06-16 发布
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高三理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合,按交集定义即可求解.
【详解】,
.
故选:D.
【点睛】本题考查交集的运算,以及不等式的解法,属于基础题.
2.若复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到,再计算共轭复数得到答案.
【详解】,则,故.
故选:.
【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,意在考查学生的计算能力.
3.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】特称命题的否定是全称命题,
故命题“”的否定是:.
故选:.
【点睛】本题考查了特称命题的否定,意在考查学生的推断能力.
4.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.
【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,
在中,,故,即.
故选:.
【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.
5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.
【详解】设函数解析式为,
根据图像:,,故,即,
,,取,得到,
函数向右平移个单位得到.
故选:.
【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D. 84
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.
【详解】该几何体的直观图如图所示:
故.
故选:.
【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
7.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式将所求的角化为与已知同角,再利用同角间的三角函数关系,即可求解.
【详解】,
,
,
.
故选:C.
【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值,应用平方关系要注意角的范围判断,属于中档题.
8.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,
,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为( )
A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年
【答案】D
【解析】
【分析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.
【详解】依题意在回归直线上,
,
由,
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.
9.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.
【详解】,
当时,,当时,,
当时,,当时,,
当时,,当时,,
最小值为.
故选:D.
【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.
10.函数在内有且只有一个零点,则a的值为( )
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.
【详解】,
若,,
在单调递增,且,
在不存在零点;
若,,
在内有且只有一个零点,
.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.
11.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为( )
A. -4 B. -2 C. 0 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,
,即,表示直线与轴截距的相反数,
根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值.
故选:.
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.
12.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,
,,根据勾股定理计算得到答案.
【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,
,故,
在中,,故,故,,
根据勾股定理:,解得.
故选:.
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项:
请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.在试题卷上答题无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.展开式中的系数为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
变换,根据二项式定理计算得到答案.
【详解】的展开式的通项为:,,
取和,计算得到系数为:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.
14.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.
【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,
基本事件总数n126,
其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,
所以包含的基本事件个数m72,
∴其中三种颜色的球都有的概率是p.
故答案为.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据图像归纳,根据等差数列求和公式得到答案.
【详解】根据图像:,,故,
故.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等差数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.
16.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.
【详解】,
,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,.
(1)求cosC;
(2)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为,求sin∠ADB.
【答案】(1);(2).
【解析】
分析】
(1)根据诱导公式和二倍角公式,将已知等式化为角关系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;
(2)在中,根据面积公式求出长,根据余弦定理求出,由正弦定理求出
,即可求出结论.
【详解】(1),
,
;
(2)在中,由(1)得,
,
由余弦定理得
,
,在中,
,
.
【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.
18.在以为顶点的五面体中,底面为菱形,,,,二面角为直二面角.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)连接交于点,取中点,连结,证明平面得到答案.
(Ⅱ)分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,平面的法向量为,平面的法向量为,计算夹角得到答案.
【详解】(Ⅰ)连接交于点,取中点,连结
因为为菱形,所以.
因为,所以.
因为二面角为直二面角,所以平面平面,
且平面平面,所以平面所以
因为
所以是平行四边形,所以.
所以,所以,所以平面,
又平面,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直,分别以为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
设
设平面的法向量为,由,
取.
平面的法向量为 .
所以二面角余弦值为.
【点睛】本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19.改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们交通安全意识也需要不断加强.
为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
(Ⅰ)求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;
(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人,求抽到的女性人数的分布列及期望.
附:,其中
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
【答案】(Ⅰ).0.2(Ⅱ)见解析,有
的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)见解析,
【解析】
【分析】
(Ⅰ)直接根据频率和为1计算得到答案.
(Ⅱ)完善列联表,计算,对比临界值表得到答案.
(Ⅲ)的取值为,计算概率得到分布列,计算数学期望得到答案.
【详解】(Ⅰ) ,解得.
所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.
(Ⅱ)
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
16
34
50
女性
4
46
50
合计
20
80
100
,
所以有的把握认为交通安全意识与性别有关
(Ⅲ)的取值为
所以的分布列为
期望.
【点睛】本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20.已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;
(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.
【详解】(1)抛物线的准线方程为,
,直线,点F到直线l的距离为,
,
所以椭圆的标准方程为;
(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,
联立,消去得,,
,设,
,
,
,
线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,
,,
,平方整理得,
解得或(舍去),,
所求的直线方程为或.
【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.
21.设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证:.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求导得到,讨论,,三种情况得到单调区间.
(Ⅱ)设,要证,即证,,设,根据函数单调性得到证明.
【详解】(Ⅰ) ,
令,,
(1)当,即时,,,在上单调递增;
(2)当,即时,设的两根为(),
,
①若,,时,,
所以在和上单调递增,
时,,所以在上单调递减,
②若,,时,,所以在上单调递减, 时,,所以在上单调递增.
综上,当时,在上单调递增;
当时, 在和上单调递增,
在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)不妨设,要证,
即证,
即证,
由(Ⅰ)可知,,,可得,
,
所以有,
令,
,
所以在单调递增, 所以,
因为,所以,所以.
【点睛】本题考查了函数单调性,证明不等式,意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.
请考生在第22~23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求取值范围.
【答案】(Ⅰ)6(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)化简得到直线的普通方程化为,,是以点为圆心,为半径的圆,利用垂径定理计算得到答案.
(Ⅱ)设,则,得到范围.
【详解】(Ⅰ)由题意可知,直线的普通方程化为,
曲线的极坐标方程变形为,
所以的普通方程分别为,是以点为圆心,为半径的圆,
设点到直线的距离为,则, 所以.
(Ⅱ)的标准方程为,所以参数方程为(为参数),设,
,
因为,所以,
所以.
【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.
23.已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)或.(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.
(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.
【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,
变形为或或,解集为或.
(Ⅱ)当时,,
由此可知在单调递减,在单调递增,
当时,同样得到在单调递减,在单调递增,
所以,存在满足不等式,只需,即,
解得.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.