【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何第1讲直线的方程学案 7页

第1讲　直线的方程 最新考纲　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线的倾斜角与斜率 ‎(1)直线的倾斜角 ‎①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).‎ ‎(2)直线的斜率 ‎①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.‎ ‎2.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)‎ 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1‎ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 所有直线 ‎3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)‎ ‎(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)‎ ‎(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.(　　)‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)‎ 解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.‎ ‎(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.‎ ‎(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.‎ ‎(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.(2017·衡水金卷)直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.120° D.150°‎ 解析　由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°故α＝45°，故选B.‎ 答案　B ‎3.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.‎ 答案　C ‎4.已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.‎ 解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，∴x＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎5.(必修2P‎100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________.‎ 解析　当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；‎ 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.‎ 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0‎ ‎6.(2017·金华市调研)直线kx－y－2k＋4＝0过定点P的坐标为________；若幂函数y＝f(x)也过点P，则f(x)的解析式为________.‎ 解析　直线kx－y－2k＋4＝0可化为y－4＝k(x－2)，∴直线过定点P(2，4)，设幂函数y＝f(x)为y＝xα，把P(2，4)代入，得4＝2α，∴α＝2，即y＝f(x)＝x2.‎ 答案　(2，4)　f(x)＝x2‎ 考点一　直线的倾斜角与斜率 ‎【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.‎ 解析　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，‎ 因为α∈，所以≤cos α≤，‎ 因此k＝2·cos α∈[1，].‎ 设直线的倾斜角为θ，‎ 则有tan θ∈[1，].‎ 又θ∈[0，π)，所以θ∈，‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).‎ 答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 规律方法　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).‎ ‎【训练1】 (2017·杭州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B.‎ 答案　B 考点二　直线方程的求法 ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4).‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3，4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋10－5k＝0.‎ 由点线距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 规律方法　根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，‎ 在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.‎ ‎【训练2】 求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；‎ ‎(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.‎ 解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，‎ 若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4，1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).‎ 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ 考点三　直线方程的综合应用 ‎【例3】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ ‎(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).‎ ‎(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，‎ 要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).‎ ‎(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ 得A，B(0，1＋2k).‎ 依题意得 解得k>0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ 规律方法　在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ ‎【训练3】 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解　法一　设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，‎ 从而S△ABO＝ab≥12，‎ 当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，‎ 从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.‎ 法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.‎ 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，‎ 且有A，B(0，2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k) ‎＝≥ ‎＝×(12＋12)＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.直线的倾斜角和斜率的关系：‎ ‎(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎2.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.‎ ‎2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.‎ ‎3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. ‎